电路模型及电路定律

1、第第一一章章 电电路路模模型型及及电电路路定定律律重点：重点：1、参考方向、参考方向 Reference direction2、几种元件的基本概念、几种元件的基本概念3、基尔霍夫定律、基尔霍夫定律 Kirchhoff s Law难点：难点：1、 深入理解基尔霍夫定律的重要性深入理解基尔霍夫定律的重要性2、 灵活应用灵活应用 L、C 伏安特性分析相关的问题伏安特性分析相关的问题3、 熟练地解决含有受控源的简单电路计算熟练地解决含有受控源的简单电路计算在本章中要着重理解解决电路问题的两个基本约束：网络拓扑约束及元件约束。电路的状态取决于网络的拓扑结构与网络中元件或电路部分本身的特性。1-1 电电路

2、路及及电电路路模模型型1.1.1 电路的作用电路的作用1提供能量供电电路2传送及处理信号电话电路，音响的放大电路3测量万用表电路4存储信息如存储器电路1.1.2 电气图用图形符号电气图用图形符号 开关 +干 US电 灯泡 _ RL池 R0 (a)实际电路 (b)电气图 (c)电路图（电路模型）图图 1-1 电电气气图图与与电电路路图图1.1.3 集总元件与集总假设集总元件与集总假设 LUMPED ELEMENT /LUMPED ASSUMPTION1电路研究的理想化假设在一定的条件下，电路中的电磁现象可以分别研究，即可以用集总元件来构成模型，每一种集总元件均只表现一种基本现象，且可以用数学方法

3、精确定义。如电阻元件为只消耗电能的元件，电容为只存储电场能量的元件，电感为只存储磁场能量的元件等等。也就是说，能量损耗、电场储能、磁场储能三种物理过程可以在 R、C、L 三个理想元件中分别进行。2采用“集总”概念的条件只有在辐射能量忽略不计的情况下才能采用“集总”的概念，即要求器件的尺寸远远小于正常工作频率所对应的波长。比如本来在中低频情况下可以用 R、L、C 等理想模型描述的器件，在高频情况下就不在满足集总假设，或者在中低频情况下可以基本忽略电路状态影响的平行导线，在高频情况下必须重新考虑其高频模型；还有类似输电线这样的特殊情况也是不能满足集总假设的例子。1-2 电电路路变变量量描述电现象的

4、基本（原始）变量为电荷和能量，为了便于描述电路状态，从电荷和能量引入了电压、电流、功率等电量，它们易于测量与计算。1.2.1 电流电流 CURRENT1 定义：单位时间内通过导体横截面的电量。习惯上讲正电荷运动的方向规定为电流的方向。其定义式为：dtdqti)(2符号：i (或 I )3单位：安 A4 分类：直流（direct current，简称 dc 或 DC）电流的大小和方向不随时间变化，也称恒定电流。可以用符号 I 表示。 交流（alternating current） ，简称 ac 或 AC）电流的大小和方向都随时间变化，也称交变电流。1.2.2 电压电压 VOLTAGE1 定义：a

5、、b 两点间的电压表征单位正电荷由 a 点转移到 b 点时所获得或失去的能量。其定义式为：dqdwtu)(如果正电荷从 a 转移到 b，获得能量，则 a 点为低电位，b 点为高电位，即 a 为负极，b 为正极。2符号：u (或 U )3单位：伏 V分类：直流电压与交流电压关于电位电位（有关“电位”在物理理论与电工实际中的概念的不同之处，请同学们自行查阅相关资料，进行总结。 ）例如： 1 a b 5 + c10 _ 4图图 1-2 电电位位概概念念VUab1VUVaoa10VUbc5VUUVcobcb9VUco4VUVcoc41.2.3 参考方向（参考方向（REFERENCE DIRECTION

6、）1概念的引入：在求解电路的过程中，常常出现许多的未知电量，其方向不能预先确定，因此需要任意选定电压电流的方向作为其参考方向，以利于解题。规定如果电压或电流的实际方向与参考方向一致则其值为正，若相反，则为负。这样我们就可以用计算得出值的正负与原来令定的参考方向来确定电量的实际方向。2 应用参考方向的应用可以使用箭头或双下标两种表示方式。例如：ir，abv + rv1 ri1 - + rv2 ri2 - a b c d图图 1-3 参参考考方方向向示示意意图图电路中的电压、电流的参考方向可以任意指定。一般来说，参考方向一经指定，在计算与分析过程中不再任意改变。3关联参考方向（associated

7、 reference direction）所谓参考方向关联时指所取定的参考方向一致，如上图中的电压电流方向。在关联参考方向下，反之，在非关联参考方向情况下，Riu uip Riuuip1.2.4 功率功率 POWER1定义：单位时间内能量的变化。其定义式为：)( )()()(titudtdqtudtdwtp把能量传输（流动）的方向称为功率的方向，消耗功率时功率为正，产生功率时功率为负。2符号：p（ P ）3单位：瓦 W4功率计算中应注意的问题功率的计算公式为：)( )()(titutp实际功率 p(t)0 时，电路部分吸收能量，此时的 p(t)称为吸收功率实际功率 p(t)0，而电阻元件为消耗

8、电能能量的元件。那么在电压电流方)( )()(titutp a i v b图图 1-4向取定为关联方向时，如果计算得出的功率值大于零，则说明该电路部分吸收功率，耗能。 + rv1 ri1 - a b图图 1-52)当独立电压源为电路供能时，流过它的电流与其两端的电压实际上总为相反方向，因此，其功率0，而此时独立电源为产生电能的元件。那么在)( )()(titutp电压电流方向取定为关联方向时，如果计算得出的功率值小于零，则说明该电路部分发出功率，电路部分产生电能。 + ri2 rv2 -图图 1-65电能的计算如图 1-2，在电压电流取定关联参考方向时，在到时刻部分电路所吸收的能量为diudp

9、ttwtttt00 )()( )()(0，电能的单位是焦 J。1-3 电电阻阻、电电容容、电电感感元元件件、独独立立源源及及受受控控源源1.3.1 电阻元件电阻元件 RESISTOR1定义任何一个二端元件，如果在任意时刻的电压和电流之间存在代数关系，即不论电压和电流的波形如何，它们之间的关系总可以由 u - i 平面上的一条曲线所决定，则此二端元件称为电阻元件。单位：欧姆 。2元件符号与图形 R r 线性电阻 非线性电阻图图 1-73伏安特性曲线电阻元件可以分为线性（linear） 、非线性(nonlinear)，时不变（time-invariant） 、时变（time-varying）等几类

10、。其伏安特性曲线见下图。 u u 所有 t t1 i t2 i 线性非时变电阻 线性时变电阻 u u t1 所有 t t2 i i 非线性非时变电阻 非线性时变电阻图图 1-8 电电阻阻定定义义示示意意图图注意关于短路与开路两种特殊状态、电阻的有源性与无源性以及负电阻等概念即意义请同学自学。在本课程中，除非专门说明，电阻均指线性时不变的正值电阻。4功率分析对于任意线性时不变的正值电阻，因为，因此，也0)()(tituR0)()()(titutp就是说，这种电阻元件始终吸收功率，为耗能元件。电阻元件从到 时间内的热量即为这段时间内消耗的电能，为：0tttdiRQ0t2 )( 5说明：电阻为耗能元

11、件。1.3.2 电容元件电容元件 CAPACITOR1.定义任何一个二端元件，如果在任意时刻的电压和电流之间的关系总可以由 q - u 平面上的一条过原点的曲线所决定，则此二端元件称为电容元件。单位：法拉 F2.元件符号与图形 + u - i q C图图1-9 线线性性电电容容元元件件3.线性电容的库伏特性曲线 q 所有 t u图图 1-10 线线性性非非时时变变电电容容电容 C表征元件储存电荷的能力的参数，不随电路情况变化的量。对于极板电容而言，其大小取决于介电常数、极板相对的面积及极板间距。(=)dSCtg4.线性电容的伏安特性由于，而，所以电容的伏安（u-i）关系为微分关系，即：dtdq

12、i Cuq 。由此可见，电路中流过电容的电流的大小与其两端的电压的变化率成正比，dtduCi 电压变化越快，电流越大，反之。可以得出结论：电容元件隔直通交，通高阻低隔直通交，通高阻低。而（i-u）的关系即为积分关系。即，2121qqttidtdqq212112ttqqidtqqdq2112ttidtqq两边同时除以 C，有21)(112ttdttiCCqCq21)(1)()(12ttdttiCtutu如果取初始时刻，则：00ttdttiCutu0 )( 1)0()(由此可见，电容元件某一时刻的电压不仅与该时刻流过电容的电流有关，还与初始时刻的电压大小有关。可见电容是一种电压“记忆”元件。5.功

13、率分析对于任意线性时不变的正值电容，其功率为dtduCutitup)()(那么从到 时间内，电容元件吸收的电能为0tt)()(000)( )( )( )( )( )(tututtttduuddduCudiuW )(21)(21022tCutCu则从到时间内，电容元件吸收的电能为1t2tW21222121CuCu 也就是说，当时，电容吸收能量 ，为充电过程；当时，12uu 0W12uu ，电容放出能量 ，为放电过程。0W6.说明：电容为储能元件，并不消耗电能电容为电压记忆元件，其电压与初始值有关电容为动态元件，其电压电流为积分关系电容为电压惯性元件，即电流为有限值时，电压不能跃变电容元件隔直通交

14、，通高阻低1.3.3 电感元件电感元件 INDUCTOR1.定义任何一个二端元件，如果在任意时刻的电压和电流之间的关系总可以由自感磁通链-电流（-i）平面上的一条过原点的曲线所决定，则此二端元件称为电感元件。单位：亨利 H2.元件符号与图形 L i + u -图图1-11 线性电感元件3.线性电感的韦安特性曲线 L 所有 t i 图图1-12 线线性性非非时时变变电电 感感电感 L表征元件线圈储存电磁能的能力的参数，是不随电路情况变化的量。对于密绕长线圈而言，其 L 的大小取决于磁导率、线圈匝数、线圈截面积及长度。(=)lSNL2tg4.线性电感的伏安特性由楞次定理可得，而，所以电感的伏安（i

15、 - u）关系为：dtduLLiL。由此可见，电路中电感两端的电压的大小与流过它的电流的变化率成正比，dtdiLu 电流变化越快，电压越高，反之。可以得出结论：电感元件通直隔交，通低阻高通直隔交，通低阻高。而（u - i）关系即为积分关系。即21)(1)()(12ttdttuLtiti如果取初始时刻，则：00ttdttuLiti0 )( 1)0()(由此可见，电感元件某一时刻流过的电流不仅与该时刻电感两端的电压有关，还与初始时刻的电流大小有关。可见电感也是一种电流“记忆”元件。7.功率分析对于任意线性时不变的正值电感，其功率为dtdiLititup)()(那么从到 时间内，电容元件吸收的电能为

16、0tt)()(000)( )( )( )( )( )(titittttdiidddiLidiuW )(21)(21022tLitLi则从到时间内，电感元件吸收的电能为1t2tW21222121LiLi 也就是说，当时，电感吸收能量 ，为充电过程；当时，12ii 0W12ii ，电感放出能量 ，为放电过程。0W8.说明：电感为储能元件，并不消耗电能电感为电流记忆元件，其电流与初始值有关电感为动态元件，其电流电压为积分关系电感为电流惯性元件，即电压为有限值时，电流不能跃变电感元件通直隔交，通低阻高例题例题 2已知：已知：，流过该电容的电流波形如下图所示，求初始电压为 0V 时FC 6 )(Ai 1

17、 t (s) 0 1 2 -2求：求：1波形)(tu 2)(tp3时的储能， sst2 1解：解：1波形)(tu我们知道，因此可以先写出 i(t)的函数方程：tdttiutu0)()0()(stststtti22110 0 42 1)(， 当时，；而st10ttdtutut01)0()(0Vu1) 1 (当时，st2144)4(1)42() 1 ()(2121ttxxdtxututt而 Vu04242)2(2当时，st20000)2()(2tdtutu所以，函数为：)(tustststttttu22110 0 44 )(2，波形为：)(tu )( Vu 1 0 1 2 t (s) 2)(tp因

18、为， stststtti22110 0 42 1)(，stststttttu22110 0 44 )(2，而 ststssttttttitutp22110 0 1624122 )()()(23，3时的储能， sst2 1因为，所以0)0(u0)0(21)0(2CuW当时，st1Vu1) 1 ()(1031621) 1 (21) 1 (622JCuW当时，st20)2(u0)2(21)2(2CuW当时，t0)(u0)(21)(2CuW1.3.4 独立电压源独立电压源 INDEPENDENT VOLTAGE SOURCE所谓独立源（independent source） ，意味着电压源的电压（电流

19、源的电流）一定，与流过的电流（两端的电压）无关，也与其他支路的电流电压无关。1 定义端电压为定值或者是一定的时间函数，与流过的电流无关；其两端的电压由其本身确定，流过它的电流则是任意的。2元件符号与图形 + - + - 直流电压源 一般电压源图图 1-13 电电压压源源3伏安特性曲线独立电压源的伏安特性曲线见下图。 u us(t1) i图图1-14 电电压压源源任任意意时时刻刻的的伏伏安安特特性性4说明1)电压源为一种理想模型。2)与电压源并联的元件，其端电压为电压源的值。3)电压源的功率从理论上来说可以为无穷大。1.3.5 独立电流源独立电流源 INDEPENDENT CURRENT SOU

20、RCE1定义流过的电流为定值或者是一定的时间函数，与其两端的电压无关；即其电流由其本身确定，其两端的电压则是任意的。2元件符号与图形 图图 1-15 电电流流源源3伏安特性曲线独立电流源的伏安特性曲线见下图。 u is(t1) i 图图1-16 电电流流源源在在t1时时刻刻的的伏伏安安特特性性4说明1)电流源为一种理想模型。2)与电流源串联的元件，流过其的电流为电流源的值。4)电路中所含的电源均为直流电源时，电路称为直流电路。直流电路中的电量用大写字母表示。1.3.6 受控源受控源 CONTROLLED(DEPENDENT) SOURCE 1定义受控电压源（电流源）的电压（电流）受同一电路的其

21、他支路的电压或电流控制。受控源是从晶体管、电子管电路中总结出来的一种双口元件模型。每一种线性受控源可由两个线性方程式来表示： VCVS：i1=0 u2=u1为转移电压比 CCVS：u1=0 u2=ri1为转移电阻 VCCS：i1=0 i2=gu1 为转移电导 CCCS：u1=0 i2=i1 为转移电流比2元件符号与图形：CCVS CCCS VCVS VCCSa b a b a b a b + + + + i1 ri1 i1 i1 v1 v1 v1 gv1 _ _ _ _a b a b a b a b图图 1-17 受受控控源源示示意意图图 u i图图1-18a 受受控控电电压压源源的的伏伏安安

22、特特性性 u i图图1-18b 受受控控电电流流源源的的伏伏安安特特性性例题例题 3 已知：已知：电路如图 10 + + 5V 5I _ _ I求：求：1电路中各个元件的功率。 2其中的受控源是否可以用电阻元件代替，若能，电阻值为多少？解：解：列写电路方程：，解出。由受控源的电压电流的实际II10510AI1方向可以看出，受控源吸收的功率为W，因此可以用电阻元件5) 1()5(UIP代替，如果替代的电阻值为 R，则，。5) 1(22RRIP5R1-4 基基尔尔霍霍夫夫定定律律（ KIRCHHOFFS LAW）电路是由电路元件按照一定的方式组成的系统，因此整个电路的表现既取决于电路中各个元件的特

23、性，也取决于电路中的元件的连接方式。实际上，电路的基本规律，就包含两个方面的意义。一是电路作为一个整体来讲，应该服从什么规律；另一个是电路的各个组成部分各满足什么样的规律，也就是各电路部分（电路元件）的特性怎样。这两个方面即表现了电路的元件约束和拓扑约束。其中元件约束指元件应满足的伏安关系 VCR（Voltage Current Relation） ，拓扑约束是指取决于互联方式的约束（即 KCL、KVL 约束） ，它们是电路分析中解决集总问题的基本依据。1.4.1几个名词几个名词1支路(branch)：电路中的每一个二端元件为一条支路，2节点(node)：电路中各个支路的连接点。3回路(loo

24、p)：电路中的任一闭合路径4网孔(mesh)：内部不另含支路的回路下面的定义实际上属于图论中的定义，但是由于是在电路分析中使用，因此又并非严格的图论定义，比如有时候为分析方便，在分析电路过程我们可以把支路看成一个具有两个端钮而由多个元件串联而成的电路部分；又比如分析中，常常指三条或三条以上支路的连接点。 。可以通过下面的例子说明。例：下图中，共八条支路，分析时，也可以看成七条支路，即 4 和 8 为同一条支路。共四个节点，分析时也可以看成是三个节点，即 4 和 8 之间的联接点不算作节点。共四个网孔，十个回路。 1 2 3 4 5 6 7 8图图 1-18 基基本本定定义义1.4.2 KCL

25、定律（定律（KIRCHHOFF S CURRENT LAW）1定律内容对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流进（或流出）该节点的所有支路电流的代数和为零；或对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流进该节点的所有支路电流的和等于流出该节点的所有支路电流的和。即，如果表示流入)(tik（或流出）节点的电流，K 为节点处的支路数，有下面的式子成立 或 Kkkti10)(流出流入ii2定律的来源电荷守恒法则3关于定律的说明1)适用于集总电路，表征电路中各个支路电流的约束关系，与元件特性无关2)KCL 定律可推广到任意闭合面（广义节点、高斯面）3)使用 KCL 定律时，直接用参考方向列写方程。

26、4)例如 i1 i2 i1 i3 i2 i3 (a) 图图 1-19 (b)在上图的（a）中，或；0321iii321iii在图（b）中，0321iii。1.4.3 KVL 定律（定律（KIRCHHOFF S VOLTAGE LAW）1定律内容对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。或：对于任一集总电路中的任一回路节点，在任一时刻沿着该回路的所有支路的电压降的和等于沿着该回路的所有支路的电压升的和相等。即，如果表示)(tvk回路中第 k 条支路电压，K 为回路中的支路数，有下面的式子成立 或 Kkktv10)(降升vv2定律的来源电荷守恒法则和能量守恒法

27、则3关于定律的说明1)适用于集总电路，表征电路中各个支路电压的约束关系，与元件特性无关2)由 KVL 定律可知，任何两点间的电压与路径无关3)使用 KVL 定律时，直接用参考方向根据选定的绕行方向列写方程。4)例如 u1 a u2 + 1 - - 2 + + u4 _ 3 u3 u5 b + 4 - + 5 - d c + - + - u6 6 u7 7 u8 8 u9 9 - + - + e图图 1-20在上图中，选择兰色线所示的方向作为列写方程的绕行方向。对于 1、3、4 组成的回路，有0431uuu对于 1、2、4、5、7、8 组成的回路，有0478521uuuuuu另外，注意列写 KV

28、L 方程时使用双下标表示的方法，在实际使用时常常用到两点间电压与路径无关的结论，例如对于上图，有613923956487 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuubeabcadeadcadecdbecbce1.4.4 电路中电路中 KCL、KVL 方程的独立性方程的独立性对于具有 n 个节点、b 条支路、m 个网孔的平面电路，独立的 KCL 方程为个，独立的 KVL 方程 m 为个，其中。1n) 1( nbm1-5 电电路路中中电电位位的的计计算算1.5.1 电位电位 ELECTRIC POTENTIAL1定义：电路中某点的电位定义为该点到参考点的电压2与电压的关系某点电位 v = 该点

29、到参考点参考点的电压某两点（如 ab）间的电压 u = a 点电位b 点电位3参考点的选取理论分析多条支路的交汇点电子线路多条支路的交汇点供配电线路大地日常生活电器机壳，大地1.5.2 简化电路简化电路1简化电路的意义在电子线路中由于电路中的各个支路常常具有公共交汇点，因此为了方便绘制电路图及简便计算过程，于是采用简化电路。2简化方法选取多条支路的交汇点作为电路参考点（地） ，一般将“地”选取在与电源直接相连处将与地相连的电源及其与地的连线去掉，并用带有+-符号及大小的标注代替保留电路的其他所有部分例如 R1 R2 + R3 _ _10V 20V _ 30V + + R1 R2 10V R3

30、-20V -30V R1 R210V -20V R3 -30V1.5.3 简化电路的分析方法简化电路的分析方法一般均直接采用 KCL 定律。1例题 1 已知：电路如图 5k B 5k A 10k-10V +20V I1 I2 I3 S 10k I4 +50V求：求：S 开关断开与闭合时 A 点的电位。解：解：1. S 断开时 因为 101055)10(21AAVVII10203AVI10504AVI对节点 A 列写 KCL 方程：，可以解出所求的 VA20V432III2. S 闭合时当开关 S 闭合时，VB=0，则552AABVVVI10203AVI10504AVI 对节点 A 列写 KCL 方程：，可以解出所求的 VA17.5V432III答：答：S 断开时，VA20V； S 闭合时，VA17.5V。2例题 2已知：已知：三极管特性为，由三极管组成的放大电路BBCIII5 .37VUBE7 . 0的静态电路如下图 UCC IC +12V 300k RC 4k RB IB U