2等差数列-简单-讲义

1、知识讲解、等差数列1 .定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,d表本.那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母2 .通项公式:N*, m N*, m n)an a1 (n 1)d am (n m)d ,(nan am*d (n, m N , n m)n m3.前n项和公式：Snn(a1an)2na1n(n 1-d ,(n N*);24.等差数列an的性质(其中公差为1)am a(mam an /n)d , d ,(nm nN*, m N*)2)n ,则有 ap aqa(m"；若 2m p2 amapN );3)在等差

2、数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列,anan 2m , L L 为等差数列，公差为 md,(n N*, m N*);4)等差数列的n项和也构成一个等差数列，即 &,S2nSn , 83nS2n为等差数列，公2；bn为等差数列,S为前n项和,差为 n d ,(n N*)；an为等差数列，Sn为前n项和，则&n 1(2n 1)a5)anS2n 1Sn 1(2n1)bn ；有 bn82n 1A 口6）等差中项：如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，即 27）若an , bn均为等差数列，且公差分别为di，d2,则数列 pa , an q , an H也

3、为等 差数列，且公差分别为 pd1,d1,d1 d2.8）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an m，an 2m 为等差数列，公差为md.9）若数列an）是等差数列的充要条件是前 “项和公式Sn f（n）,是n的二次函数或一次222函数且不含常数项，即Sn刖Bn，（A，B是常数，A B 0）；210）若数列an的前n项和Sn An Bn C（A，B是常数，C 0）,则数列an从第二项起是等差数列；11）若数列an是等差数列，前QS1n项和为Sn,则n也是等差数列，其首项和 an的首1项相同，公差是an公差的2 ;12）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x d,

4、x,x d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为x 3d,x d,x d,x 3d13）在等差数列an中，若公差d 0,则等差数列an为递增数列；若公差 d 0,则等差数列an为递减数列；若公差d 0,则等差数列an为常数列；14）有关等差数列an的前n项和为Sn的最值问题：何时存在最大值和最小值：若a1 0,d 0 ,则前n项和为Sn存在最大值若a1 0,d 0 ,则前n项和为Sn存在最小值如何求最值:an 0方法一： （任何数列都通用）通过 an 1 0 解出 n 可求前 n 项和为Sn 的最大值；通过an0a0an 1解出 n 可求前 n 项和为Sn 的最小值；方法二： 利用等

5、差数列前n 项和Sn 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和Sn 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数， 而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值， 则 n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数； 若对称轴即不是正整数， 又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值， 则 n 就取靠近对称轴的那个正整数；15）用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于an, n,Sn,a1,d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”5.判断一个数列为等差数列的方法1

6、 ）定义法： an an 1 d （常数） （ n N , n 2）an 为等差数列2）等差中项法：2anan 1 an 1 n N ,n 2 an 为等差数列3）通项公式法：ankn b（k,b是常数） 数列an是等差数列；4）前n项和法：数列an的前n项和222S An Bn,（A,B是常数，A B 0）;数列an是等差数列；经典例题一.选择题（共12小题）1. （2018渐课标I）记Sn为等差数列an的前n项和.若3及=&+闻ai=2,则a5=（）A. - 12B, - 10C. 10D. 122. （2018?成都模拟）在等差数列an中，若a+a3+a5+a7+a9=150,则

7、a5的值为（A. 75B.50C. 40D.303. （2018?宁德二模）已知等差数列2满足a3+a5=14, a2a6=33,贝U aa7=（）A. 33B.16C. 13D.124. （2018?安徽模拟）已知等差数列an中，a2=- 1,前5项和3=-15,则数列an的公差为（）一_5A. - 3B. - 25. （2018砧里区校级一模）在等差数列an中，若a3+aii=18, 9=-3,那么a5等于（）B. 5D. 18A. 4C. 96. （2018?商丘二模）已知等差数列an的公差为d,且a8+a9+ai0=24,则ai?d的最大值为（）1A-2D. 4C. 27. （2018

8、?渝中区校级模拟）已知等差数列an中，&=3, a6=13,则an的公差为（）A. 5B. 23C. 10D. 138. （2018?朝阳区校级模拟）我国古代名著九章算术中有这样一段话： 今有 金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从 头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”（）A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤9. （2018?拉萨一模）已知等差数列an的前n项和为8,若a3=8, S6=54,则数列an的公差为（）A. 2B. 39C. 4D.-210. （20

9、18蟆原一模）已知等差数列an的前n项和S1,若a2+a3+aio=9,则S9=（ ）A. 27B. 18C. 9D. 311. （2018?全国二模）已知数列an为等差数列，Sn是它的前n项和，若&二20,34=8,则 S8=（）A. 52B. 72C. 56D. 6412. （2018?t田二模）设等差数列an的前n项和为S,若S3>0, S4<0,则&取最大值时n的值为（）二.填空题（共4小题）13. （2018?内江三模）已知an是等差数列，a3=1,则怎的前5项和为.14. （2018春？石家庄期末）已知数列an的前n项和S=n2+3n,则其通项公式为 an=.15. （2018春？新罗区校级月考）等差数列an中，已知a4+a7=12,那么S10的值 是.16. （2017?淮安四模）设等差数列an的前n项和为Sn,若公差d=2, a5=10,则 Si0的值是.三.解答题（共3小题）17. （2017秋？罗湖区校级期中）已知an是等差数列，a2=4, a6=16,求（1） an的通项公式（2）求前7项的和.18. （2017春?集宁区校级期末）在等差数列an中，