数列练习题以基础知识点训练篇

1、数列基础知识点总结及训练A、i.概念与公式:等差数列：1.定义：若数列an满足an i and（常数），则an称等差数歹I;等比数列:n inan aq akq.通项公式：an ai (n i)d ak.前n项和公式：公式：Sn na.定义若数列an满足aq ank;30 .前n项和公式：Snaii(nk)d；an)2（常数）ai(1nai 皿42,则an称等比数列；2.通项公式:qn)(q i),当 q=i 时 S i qn nai.2.简单性质:首尾项性质：设数列an：ai，a2，a3,，an，i0.若an是等差数列，则aiana2an1a3an2a3 an2°.若an是等比数列

2、，则aiana?ani中项及性质:i0.设a,A,b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2。.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G设p、q、r、s为正整数，且pqrs,i0.若an是等差数列，则apaqaras；2.若a是等比数列，则apaqaras；顺次n项和性质：n2n3ni0.若an是公差为d的等差数列，则ak,ak,ak组成公差为n2d的等差数列；kiknik2nin2n3n2.若a。是公差为q的等比数列，则ak,ak,ak组成公差为qn的等比数列.kiknik2ni（注意：当q=i,n为偶数时这个结论不成立）若an是等比数列，2则顺次n项的乘积：aa2an,an冏2

3、a2n,a2nia2n2a3n组成公比这q的等比数列.若an是公差为d的等差数列，1。 .若n为奇数，则Snna中且S奇S偶a中(注：a中指中项，即a中a,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和)；2。 .若n为偶数，则S偶S奇nd.2(二)学习要点：1 .学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差dw0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b；公差dw0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数S=an2+bn;公比qw1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2 .解决等差、等比数列问题要灵活运用

4、一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为"a,a+m,a+2m(或a-m,a,a+m)”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或a,a,aq)"四数成等差数列，可设q四数为“a,am,a2m,a3m(或a3m,am,am,a3m);"四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq2,aq3(或a_,a,aq,aq3),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验qq由递推公式求通项公式的方法一、an1anf(n)型数列，(其中f(n)不是常值

5、函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an1anf(n),从而就有a2a1f(1),a3a2f(2),K,anan1f(n1).将上述n1个式子累加，变成anaf(1)f(2)Kf(n1),进而求解。例1.在数列an中，a12自1an2n1,求an.解：依题意有a2a11,a3a23,K,anan12n3逐项累加有ana113K2n3(12n；)(n1)(n1)2n22n1,从而ann22n3。二、an1anf(n)型数列，(其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为an 1anf(n),从而就有aa2a-f(1),-f(2),KKf(n1)

6、aa2an1将上述n1个式子累乘，变成a1f(1)f(2)Kf(n1),进而求解。(n 2),求an的通项公式。例2.已知数列中&1a竺f烝i解：当n 2时，曳1,曳 a15 a21 31从而an (2n 1)(2n 1) 3三、an 1 pan q型数列32n1(2n 1)(2 n 1)3,电5,K,三曳小，将这n1个式子累乘，得到包7a39an12n1a1一1，当n1时，一1一1a1,所以an-1。4n14n134n1此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设an1mp(anm),展开整理an1panpmm

7、,比较系数有pmmb，所以m旦，所以an上是等比数列，公比为p,首项为a1。二是用作差法直p1p1p1接构造，an1panq,anpan1q,两式相减有an1anp(anan1),所以an1an是公比为p的等比数列。例3.在数列an中，a11,当n2时，有an3an12,求an的通项公式。解法1:设anm3(an1m),即有an3an12m对比an3an12,得m1,于是得an13(an11),即-a3an11所以数列an1是以a112为首项，以3为公比的等比数列则烝23n11。解法2:由已知递推式，得an13an2冏3an12,(n2),上述两式相减，得an1an3(anan1),即an-1

8、an3anan1因此，数列an1an是以a2a14为首项，以3为公比的等比数列。所以aman43n1,即3an2an43n1,所以an23n11。四、an1panfn型数列(p为常数)a . a f n此类数列可变形为玉霁R ,则pppan可用累加法求出，由此求得 pan.例4已知数列an满足a 141 3an 2n 1,求an.解：将已知递推式两边同除以2n 1得a42,53 c 11L «n 1_n 1bn n一 2,从而 an5 32.2i r，设 bna3n ,故有 bn 1 2 一 (bn 2),221.例5.已知数列 an湎足a1 1,当n 2时,an -an 1 2n

9、1,求an.2解：作 bn an An B ,则 an bn An Ban 1 bn 1 A(n 1) B代入已知递推式中1111_彳#飞2bn1(1A2)nVib1).A 4这时bnB 61A20令21A1B10221,口，c一bn1且bnan4n623一一3显bn*,所以an2T4n6.五、an品型数列（ABC为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为an1Panq型数列例6.已知数列an满足ai2,an i -2,求 an.an 2解：两边取倒数得1an 111一 111n，,所以 一 一 (n 1) ，故有 anan2 ana122

10、六、an 2 Pan1 qan型数列（P，q为常数）这种类型的做法是用待定系数法设an 2 an1an 1 an构造等比数列N ,n 2 ,求an.例7.数歹Uan中，a12,a23,且2anan1an1nc求数列前n项和.公式法：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。(1)等差：Sn(a1an)n2na1X；2na等比：Sa(1qn)1q(2)122232(q1)产(q1);1qn(n1)(2n1).;1323336n3廿数列部分测试题、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列(A)为常数数列(B)为非零的常数数列(C)存在且唯一(D)不存在2.、在等差数

11、列an中，ai4,且ai,a5,ai3成等比数列，则an的通项公式为(A) an3n 1(B) ann 3(C) an 3n 1 或 a。4(D) an n 3或 an 43、已知a,b,c成等比数列,且x, y分别为a与b、b与c的等差中项,的值为y(A) 1(B)2(C)2(D)不确定24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2,b2,y2三个数()(A)成等差数列不成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列5、已知数列an的前n项和为Sn,S2n1(B)成等比数列不成等差数列(D)既不成等差数列，又不成等比数列4n22n,则此数列的通项

12、公式为(A) an 2n 2(B) an8n2(C)an2n1(D)ann2n6、已知(zx)24(xy)(yz),则(A)x,y,z成等差数列(B)x,y,z成等比数列111(C),i1,1成等差数列xyz111(D),，成等比数列xyz7、数列an的前n项和Snan1,则关于数列an的下列说法中，正确的个数有一定是等比数列,可能是等差数列(A)4(B)但不可能是等差数列可能既不是等差数列,(C)2定是等差数列,又不是等比数列(D)1但不可能是等比数列可能既是等差数列,可能是等比数列，也又是等比数列11118、数列1,3,5_,7,前n项和为24821(A)n2-116(B)12n1(C)(

13、D)n22n19、若两个等差数列anbn的前n项和分别为An且满足AnBn4n25n5a5a13的值为b5b13(A)-9(B)(C)1920(D)10、已知数列an的前n项和为Snn25n2,则数列an的前10项和为(A)56(B)58(C)62(D)6011、已知数列an的通项公式ann5为，从an中依次取出第3,9,27,3n，项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为(A)n(3n13)2(B)3n5(o3n10n312、下列命题中是真命题的是A.数列an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)B.已知一个数列an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列，那么此数

14、列也是等比数列C.数列an是等比数列的充要条件anabn1D.如果一个数列an的前n项和Snabnc(aQb0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是13、各项都是正数的等比数列、填空题an,公比q1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=14、已知等差数列an，公差d0,a1,a5,a17成等比数列,则aa5a”=a?a6怎_115、已知数列an满足Sn1an,则an=416、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为三、解答题求公比17、已知数列an是公差d不为零的等差数列，数列abn是公比为q的等比数列，b1,b210,b346,q

15、及bn。5b5,18、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d(d0,d1),a1b1，a33b3,a5求an,bn。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216,后三个数成等差数列，其和为36,求这四个数。2020、已知an为等比数列，a32,a2a4求an的通项式。321、数列an的前n项和记为Sna1冏1201n1(I)求an的通项公式；(n)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn,且T315,又a1匕0b2,出4成等比数列，求*.22、已知数列an满足a11,an12an1(nN).(I)求数列an的通项公式；(II)若数列bn满足4bl1.4b214bn1

16、(an1)bn(nN),证明：bn是等差数列;数列部分参考答案、选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD、填空题1526“41n13. 14.-15.()n16.6322933三、解答题17.ab=a1,ab2=a10=a1+9d,a%=a46=a1+45d2由abn为等比数例，得(a1+9d)=a1(a1+45d)得a3d,即ab1=3d,ab2=12d,%3=48d.1.q=4又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d-4n-1,a+(bn-1)d=3d4n-1bn=3-4n-1-218.，a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d

17、2)=-2da5=5b5,a+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4dbn=a1dn-1=-J5 - ()515d4cc1.5一.5，得2-=2,=1或=一，由题息，d=,a1=-55oan=a1+(n-1)d=(n-6)1 3d55519.设这四个数为a,a,aq,2aqaqa4aaq2163则q由，得a=216,a=6aaq(3aqa)36代入，得3aq=36,q=2二.这四个数为3,6,12,18a3220.解：设等比数列an的公比为q,贝Uqw0,a2-=一，a4=a3q=2qqq所以2+2q=20,解得qi=1,q2=3,q33当q1=",a1=18.所以an=18x(")=n-1=2X3.333当q=3时，a1=I,所以an=|x3n1=2x3n3.9921.解：(I)由an12Sn1可得an2Sn11n2，两式相减得an1an2an,an13ann2又a22s13a23a1故an是首项为1,公比为3得等比数列an3n1(n)设bn的公差为d由T315得，可得b1b2b315,可得b25故可设b15d,b35d又a11,a23,a39由题意可得5d15d9解得d