(完整版)弧长的公式、扇形面积公式及其应用

1、弧长与扇形面积、圆锥侧面积【知识详解】知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C= 2"R,所以1°的圆心角所对的弧长是辿即3151r18口，于是可得半径为R的圆中，n。的圆心角所对的弧长1的计算公式:说明：(1)在弧长公式中,如，圆的半径R= 10,计算20(2)在弧长公式中，已知njrR180n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例=x200 xIOjet的圆心角所对的弧长1时，不要错写成 1班 ,n, R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为n的扇形

2、面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积 成N ,所以圆心角为1。的扇形面积是 兜口，由此得圆心角为no的扇形面积的计算公式是现荷点又因为扇形的弧长，扇形面积 充口用诏。r-1 _ r. 1n由 可以写成一 J?2 1如 ,所以又得到扇形面积-1R的另一个计算公式：知识点3、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那题= F 2 刑=Jiri么这个扇形的半径为1 ,扇形的弧长为2m ,圆锥的侧面积 2,圆锥的全面积二 一%一7一” 一七说明：(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。(

3、2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明 确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点4、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,圆柱的全面积若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积3凶=2尔力% = 5融+£底=2b+ 2疥° =（人十/）圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形Ih3c图形的形成过程由一个直角二角形旋转得 到的，如RtzXSO叫直线 S的转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCDg直线AB旋周。图形的组成一个底间和一个侧面两个底间和一个侧面侧面展开图的特 征扇形矩形面积计算方

4、法ste -4-Sfa +- 71T14-5 砂-271rh腔-Sh +2Sfc - 2叱h+ 补充：知识点5、弓形的面积(1)弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形(2)弓形的周长=弦长+弧长(3)弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把 扇形OAmB勺面积和 AOB勺面积计算出来，就可以得到弓形 AmB勺面积。1所示,当弓形所含的弧是劣弧时，如图吒搀=,周唐Q4洲卫一 与60皂当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示,吒推=品国唐Q4渊卫白月当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示,2 , / ABC= 45 °

5、,则图中阴影部分的面积是所以的玉=- 二匚一二注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。(2)扇形与弓形的联系与区别例：如图所示，。的半径为()(结果用牙表示)分析：由图可知,图彭出感3。一40AC，由圆周角定理可知/ ABG=J /AOC所以/AOC2/ABG= 90° ,所以 OA久直角三角形，所以-M 2 = 27iffrtr 嫉"Ml1H pil = H 乂 2 " ?r2'用犀皿c弼【典型例题】例1.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2, 1, /AO由120° ,则阴影部分的面积是(71B.二二4TI C.-D.分析

6、：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为360°-ZAQB =360= St Sn = tcx 2 几 k 1 = 2ju所以工一 一一-120=AH例2.如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AG 求阴影部分的面积。BC, AB= 10 厘米，tan/BAC=4 ,分析：本题考查的知识点有:(3)组合图形面积的计算。解：因为AB为直径，所以/(1)直径所对圆周角为90° , (2)解直角三角形的知识AC年 90° ,BC在 RtzXABC中，AB= 10, tan / BAC= 4 ,而 tan / BAC=弘0设BO3k, AO4k, (k不为0,且为正数)由勾

7、股定理得9k，=1叽所以k = 2弋1茁电 n 注 1a 2 5= Xox8 = 24= jtC) = JT所以BO6, AO8,2，而象国2 ” 2，匚3但番=3半忸- SnABC = =兀-24所以j例3.如图所示，已知扇形AOB勺圆心角为直角，正方形 OCDEJ接于扇形AOB点C, E, D 分别在OA OB及AB弧上，过点A作AF,ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边 长为1,那么阴影部分的面积为()分析：连接OD由正方形性质可知/ EOD= /DO匿45° ,在RtAOEDt，。氏因为正方形的边长为1,所以。巳Dp1,所以口二应，设两部分阴影的面积中的一部分为M

8、另一部分为N,则期士网即地一%白卦及 网惠3口- £段施ma ,阴影部分面积可求，但这 种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P,因为/ BOD= /DOC所以：m1，,滴ill. '''' "二 十, ；一 L.l所以依P,所以$飕= M + N = P + N = S的遮c = $强易OAFE- S正方意“de = 0E QA - 0E* =五-1例 4.如图所示，直角梯形 ABCD中，/ B= 90° , AD/ BG AB= 2, BO 7, AA 3,以 BC 为轴把直角梯形ABC或转一周，求所得几何体的

9、表面积。D分析：将直角梯形ABCDg BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的, 所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解：作DHL BC于H,所以DH AB= 2CYH= BC- BH= BC- AD= 73 = 4在CDHfr,I 二一 四所以。一：“，丁 一 ：一例5.已知扇形的圆心角为120° ,面积为300厅平方厘米(1)求扇形的弧长。(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少?分析：(1)由扇形面积公式,3的 ，可得扇形半径R,扇形的弧长可由弧长公式前求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角

10、形 ABC (1) 问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C= 2r,底面圆半径r即CD的及皿AD-BC长可求，圆锥的高AD可在eADC求得，所以 2 可求。& nJLtiR， 3a0ir = «r2解：(1)设扇形的半径为R,由 感 收 ,得 36。,解得R= 30.1 = -= 20h所以扇形的弧长1配1配(厘米)。(2)如图所示，在等腰三角形 ABC, AB= AO R= 30, BO2r,底面圆周长C= Ar, 因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以 二二L -A一在RtzADCt,高aa 历中二面可二加点所以轴截面面积匕立好BC = 1x2072 k20

11、= 渤夜（平方厘米）【模拟试题】一、选择题1 .若一个扇形的圆心角是45。，面积为2刀，则这个扇形的半径是（）A. 4B. 2 忘 C. 47 jiD. 2 屈 ji2 .扇形的圆心角是60° ,则扇形的面积是所在图面积的（）111XA.二B. :C.D. 1 13 .扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）1BJ0 3600A. 90 0B.C. TD.180 04 .两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以OA O明别交小圆于点M N.已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN勺面积的（）A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍D. 9倍5 .半圆O的直径为6cm,

12、 / BA谖30° ,则阴影部分的面积是（）A.B-V"6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）A. 2cmB. 3cmC.4cmD. 6cm7 .圆锥的全面积和侧面积之比是 3 : 2,这个圆锥的轴截面的顶角是（）A. 30 0B. 60 0C.90°D. 120 08 .已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1 :2,则它们的高之比为（）A. 2: 1B. 3: 2C. 2啦：/D.5：2点9 .如图，在 ABC中，/C =Rt/, AC > BC若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧

13、面积为S1,以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥白侧面积为则（）A. S1=&B. S 1 > S2C. S 1 < S 2 D. S 1、&的大小关系不确定、填空题1 .扇形的弧长是12jicmi,其圆心角是90° ,则扇形的半径是 cm ,扇形的面积是 cm2.2 .扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.3 .已知扇形面积是12cm2,半彳全为8cm,则扇形周长为4在4ABC中,AB= 3, AC= 4, / A= 90° ,把RtABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为Si；把RtABC绕AB旋转一周

14、得到另一个圆锥，其全面积为S2,则Si： S25 . 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形 的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。6 .如图，扇形AOB勺圆心角为60。，半径为6cm, C, D分别是晶 的三等分点，则阴影部 分的面积是。7 .如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以 2为半径画弧，则阴 影部分面积为。三、计算题1 .如图，在RtABC中，AO BC ,以A为圆心画弧6F,交AB于点D,交AC延长线于点 F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等，求 AC与AF的长度之比（刀取3）。2 . 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是Si,另一个圆锥的侧面积是如果圆锥和圆柱等底等高，求品.3 .圆锥的底面半径是R,母线长是3R, M是底面圆周上一点，从点 M拉一根绳子绕圆锥 圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度.【试题答案】一、选择题1. A 2. B