角平分线模型的构造13111

1、建筑第二讲角平分线模型的构造 3月角平分线(l)定义：如图2-1,如果/AOB = /BOC,那么/ AOC=2/AOB=2/BOC,像 OB 这样，从一个角 的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线， 叫作这个角的角平分线.(2)角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3)角平分线的判定定理在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线，在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的 四大基本模

2、型，已知P是/ MON平分线上一点，(l)若PAXOM于点A,如图2-2(a),可以过P点作 PBXON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平 分线，可向两边作垂线”.(4)若过P点作PQ/ ON交OM于点Q,如图2-2(d), 可以构造 POQ是等腰三角形，可记为“角平分 线十平行线，等腰三角形必呈现” .例1(1)如图 2-3(a),在zABC 中，/ C=90。, AD 平分 /CAB, BC=6cm, BD=4cm,那么点 D到直线AB的距离是()cm.(2)如图 2-3(b),已知：/ 1 = /2, /3=/4, 求证：AP平分/BAC.11若点A是射线OM上任意一点，如图2-2

3、(b), 可以在ON上截取OB=OA ,连接PB,构造 OPB “OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对 折看，对称以后关系现”.(3)若APLOP于点P,如图2-2(c),可以延长 AP 交ON于点B,构造 AOB是等腰三角形，P是底 边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合例2如图 2-4(a), RtAABC 中，/ ACB=90 ° , CD± AB ,垂足为D. AF平分/ CAB ,交CD于点E, 交CB于点F求证：CE= CF.例3阅读下列学习材料：如图2-5(a)所示，OP平分/ MON , A为OM上一 点，C为OP上一点，连接AC,在射线ON上截

4、 取OB =OA,连接BC(如图2-5(b),易证 AOC 白BOC.请根据上面的学习材料，解答下列各题：(l)如图2-5(c)所示，在4ABC中，AD是 BAC的 外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试 比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.将图2-4(a)中的AADE沿AB向右平移到 A D E的位置，使点E落在BC边上，其它条件不 变，如图2-4(b)所示.试猜想：BE'与CF有怎样的 数量关系？请证明你的结论.(2)如图2-5(d)所示,AD MAABC的内角平分线, 其它条件不变，试比较PC PB与AC AB的大 小，并说明理由.图2-5 (d)例4如图2-6(

5、a),已知等腰直角三角形 ABC中，/A=90° , AB=AC , BD 平分/ABC, CEXBD,垂足为点E,求证：BD=2CE.(2)如图2-7(b), BD、CE分别是AABC的内角平 分线，其它条件不变；(3)如图2-7(c), BD为4ABC的内角平分线，CE 为4ABC的外角平分线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还 平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。(1)如图2-7(a), BD、CE分别是4ABC的外角平 分线，过点A作AD上BD、AEXCE,垂足分别 为D、E,连接DE

6、.求证：DE/BC, DE=1(AB+BC+AC);接写出线段EF与BE、CF有什么关系?变式如图2-8,在4ABC中，AB=3AC, / BAC的平分 线交BC于点D,过点B作BEXAD,垂足为E, 求证：AD=DE(4)如图2-9(d), BD平分/ABC, CD平分外角/ ACG. DE/ BC交AB于点E,交AC于点F线段 EF与BE、CF有什么关系？并说明理由.例6如图 2-9(a), AB=AC , BD, CD 分别平分/ ABC , /ACB.问：(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？过D点作EF/ BC,如图2-9(b),交AB于点E, 交AC于点F,图中又增加了几个等腰三

7、角形？(3)如图2-9(c),若将题中的 ABC改为不等边三 角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直(5)如图 2-9(e), BD、CD 为外角/CBM、/ BCN 的平分线，DE/ BC交AB延长线于点E,交AC 延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什 么关系？例7如图2-10(a)所示，已知 ABC中，AC=BC , /C=90° , AD 平分/ CAB ,求证：AB=ACD变式1如图2-11所示，已知 ABC中，AB=AC , /A=108° , BD 平分/ABC.求证：BC=AB+CD.例8如图2-13(a), OP是/MON的平分线，请你利用

8、该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问 题：(1)如图 2-13(b),在4ABC 中，/ACB 是直角，/ B=60° , AD、CE 分别是 / BAC、/ BCA 的平分 线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD 之间的数量关系；变式2如图 2-12,已知 ABC 中，AB=AC , /A=IOOBD 平分/ ABC,求证：BC=BD+AD.(2)如图2-13(c),在4ABC中，如果/ ACB不是直 角，而(l)中的其他条件不变，请问，你在(1)中 所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成 立，请说明理由.牛刀小试(

9、l)如图 2-14 (a),在zABC 中，/ ABC 与/ ACB 的角平分线相交于点 F,过点F作DF / BC,交 AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段 DE之长为()3、已知如图 2-16,四边形 ABCD 中，/ B+ = D=180° , BC=CD.求证：AC平分/ BAD.(2)如图2-14(b),在4ABC中，BD、CD分别平分 /ABC 和/ACB, DE/AB, FD / AC., BC=6, 求ADEF的周长，图 2-14(b)2 .已知：如图 2-15, / BAD= / CAD , AB>AC , CD LAD于点D.H是BC中点.求证

10、：DH=1(ABAC).4 .如图2-17, AABC的外角/ACD的平分线CP与 内角/ ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP, 若/ BPC=40。，求/ CAP的度数.5 .已知：如图2-18,在四边形中，BC>AB , AD=CD , BD 平分/ ABC.求证：/A+/C=180°(2)若/ABC=90 ° , G 是 EF 的中点(如图 2-19(b), 直接写出/ BDG的度数；6 .在平行四边形ABCD中，/ BAD的平分线交直 线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图 2-19(a)中证明 CE=CF;(3)若/ABC= 120° , FG/CE, FG=CE,分别连 接DB、DG(如图2-19 (c),求/ BDG的度数.7 .已知：如图 2-20,在A