九年级数学上册小专题六线段等积式比例式的证明测试题新版湘教版2

1、1小专题（六）线段等积式、比例式的证明方法 1 三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形.针对训练1.已知：如图，/ ABC=ZADE 求证：AB- AE= AC- AD.证明：I /ABC=ZADE/A=ZA,ABSAADEAB ACAETAE，即 AB- AE= AC- AD.2.如图，已知 ABC 中，点 D 在 AC 上，且/ ABD=/ C,求证：AB=AD- AC.证明：/ ABD=/ C,/A是公共角， ABD ACB.AADAC= AB AB = AD- AC.3.已知：如图，在Rt ABC 中，/ ACT90, AB 的

2、垂直平分线交 AB 于 D,交 AC 于 E,交 BC 延长 线于F.求证：CD= DE- DF.证明：在RtAABC 中，/ ACB= 90, D 为 AB 中点,2/A+ZB=90,CD= AD./A=ZDCE.又TDF 垂直平分 AB,/BDF= 90.:丄B+ZF=90./ Dd F.又: Z CD FDCCD0AFDC.CD DE 刚帳右 DC 即CD= DE DF.4.如图，在厶 ABC 中，AB= AC,点 D E、F 分别在 BC AB AC 上，ZEDF=ZB.求证：BD- CD= BE- CF.证明： ABC 中，AB= AC,ZB=ZC./ZB+ZBD+ZDEB= 180

3、,ZBD+ZEDF+ZFDC= 180,ZEDF=ZB,ZFDC=ZDEB.BD0ACFD.型 BECF=CD即 BD- CD= BE- CF.方法 2 等线段代换法从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形.针对训练5.已知：如图，在？ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点， DE 交 AB 于 F.求证：AD- AB= AF- CE.3证明：/四边形 ABCD 是平行四边形,4/A=ZC, AB=CD, AD/ BC./ADF=ZE.AR AFCE= CD6 .如图，在厶 ABC 中，点 D, E 在边 BC 上,且厶 AD

4、E 是等边三角形，/ BAC= 120,求证：DE = BD- CE.证明： ADE 是等边三角形，DE= AD= AE/ADE=ZAED= 60/ADB=ZAEC= 120,/B+ZBAD 60.又/ BAC= 120, ZB+ZC=60. ZBAD=ZC. ABDACAE.AD荷 CE型 DEDE=CE即 DE = BD- CE.7.如图，已知在 ABC 中，AB= AC, AD 是 BC 边上的中线，CF/ BA BF 交 AD 于 P 点，交 AC 于 E 点.求证：Bh= PE- PF.AD AFCE=AB即 AD- AB= AF - CE.5证明：连接 PC.在厶 ABC 中， A

5、B= AC D 为 BC 的中点, AD 垂直平分 BC. PB= PC./PBC=ZPCB./ AB= AC,ABC=ZACB/ABC-/PBC=ZACB-/PCB即/ ABP=/ ACP.CF/ AB / ABP=/ F. / ACP=/ F.又 EPC=/CPFPC0APFC.PC PF荷 PC./ PC= PB,方法 3 等比代换法（找中间比）要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.针对训练DP PE& 如图，在厶 ABC 中，点 D、E、Q 分别在 AB AC BC 上 ,且 DE/ BC AQ 交 DE 于点 P.求证：-BQ= QC证明：在厶

6、ABQ 中，/ DP/ BQADPAABQ. DP：BQ= AP：AQ.同理 AEPAACQPB PFPE=PB即PB=PE- PF.6 PE：QC= AP：AQ.DP PE DP：BQ= PE：QC 即BQ=龙9.如图，在？ABCD 的对角线 BD 上任取一点 P,过 P 点引一直线分别与 BA DC 两边的延长线交于 E、证明：在?ABCD 中,/ AB/ CD AD/ BCPJPB PF_PB PGTPDPH-PD翌 PFPG PH10.如图，已知B、C、E 三点在同一条直线上， ABC 与厶 DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交 AC于点 G 线段 AE 交 CD 于点 F.求证：

7、ACEABCDAG AFCG-EF.证明：（1）ABC 与厶 DCE 都是等边三角形, AC-BC, CE= CD/ACB=ZDCE= 60./DC&ZAC /ACBFZACD 即/ ACE=/ BCD.ACEABCD（SAS.G,又与 BC AD 两边交于 F、H,求证:PE PFB7/ ABC 与厶 DCE 都是等边三角形， AB= AC, Ct ED, / ABC=/ DCE= 60.8/ABG=ZCDG/BAG/DCG.ABGACDG.方法 4 等积代换法（找中间积）针对训练11.如图，在 ABC 中，ADL BC 于 D, DEL AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求证

8、：AE- AB= AF - AC.证明： ADL BC DEL AB/ ADB= / AED 90.又/ DAB / BAD同理， ADFAACD AF - AC= AD. AE- AB= AF - AC.12.（崇明中考）如图，ABC 中，点 D E 分别在 BC 和 AC 边上，点 G 是 BE 边上一点，且/ BAD / BGD =/AB ACCDED，AB/ DC.AG ABCG CD同理AF ACEF=ED，AG AFCGT愛 AEAET2即 AE- AB= AD.常用到基本图形9C,连接 AG.求证：ABTAEAC证明：/BGD=ZC,ZDBG=ZEBCBGD BCE.BG BDBCTBE，即 BG- BE= BC- BD.又/BAD / C,ZABD / CBA ABBACBA.13.如图，在 ABC 中，AD BF 分别是 BC AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于E,交BF 于 G交 AC 的延长线于 H,求证：DE= EG- EH.证明： AD BF 分别是 BC AC 边上高，DEL AB / AD=/ BED= 90. / EBDbZE