曲率和挠率对空间曲线形状的影响

1、曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲 线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。 本文对曲率和挠率的形成 及意义进展了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进展了一定的研究.给出了常曲率和挠率的空间曲线特性关键词：曲率 挠率 空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定 而当一个空间曲线的曲 率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于 对空间曲线这局部容的掌握和理解一曲率的概念和几何意义1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不

2、同。例如半径较大的圆弯曲程度较小， 而半径较小 的圆弯曲程度较大图1-1又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时， 曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。图1-1要从直观的根底上引出曲率确实切的定义， 我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，那么从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在线word.段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在 P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角设空间中c3类曲线c的方程为曲线C上一点P，其自然参数为S另一邻近点pi，其自然参数为s S, 在P, pi两点各作曲线c的单位切向量 s和 s s。两个切向量间的夹角 是 图1-3，也

3、就是把点p/勺切向量 s s平移到点P后，两个向量 s 和 s s的夹角为 。C图1-3定义空间曲线C在P点的曲率为lims 0其中s为P点及其邻近点p间的弧长， 为曲线在点P和p的的切向量 的夹角。2曲率的几何意义利用“一个单位变向量t即| t| 1的微商的模(t)的几何意义是t对于t的旋转速度。把这个结果应用到空间曲线C的切向量 上去，那么? ?由于 =，所以曲率也可表示为由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于 弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程 度。.挠率的概念和几何意义 1挠率的几何意义对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭

4、转离开密切平面 ，所以研究空 间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量挠率。当 曲线扭转时，副法向量或密切平面的位置随着改变如图 1-4，所以我们用 副法向量或密切平面的转动速度来刻画曲线的扭转程度在一点离开密切平 面的程度。ss图1-4现在设曲线C上一点P的自然参数为S，另一邻近点pi的自然参数为 s s，在p, pi两点各作曲线c畐寸法向量 s和s s。此两个副法向量 的夹角我们得到?lismokI，此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量或密切平面对于弧长的旋 转速度。当曲线在 一点的扭转程度越大离开所讨论点的密切平面的程度越大 副法向量或密切平面对于弧长的扭转程度就越

5、大。因此，我们可以用它来刻 画曲线的扭转程度。2挠率的定义? ?根据 丙和曲率的定义，我们有?即 s 。对求微商，有?( )因而又因为是单位向量，所以O由以上两个关系可以推出/现在我们给出挠率的定义如下:定义曲线C在P点的挠率为,当和异向s ? ? ?，当和同向挠率的绝对值是曲线的副法向量或密切平面对于弧长的旋转速度 三.曲率和 挠率对空间曲线形状的影响1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定s 图3证明在 C 类曲线 s上取一点 9，在它邻近在取一点91-5利用泰勒公式有?1 -SosSoSo s2! So13!?so其中lims 0由于图1-5?所以So其中由上式可得S0如果在现在取S00, s

6、 s? ?kSo12 ko0，而0 ko okoo, ko,0等表示在点s0的值s0S。；k。2koko 0。的每一个分量中只取第一项,1 2Sos o 2 ko sO' o如果，那么有0为新坐标系，并取 so为计算弧长的始点，那么有为曲线上 s0的临近点的新坐标，那么有s6 2?k°s63Qk0 0S?它可以看作在 So点邻近，曲线 s的近似方程。由此看出，曲线在某 点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。 即空间曲线的形状完全 由曲率和挠率决定。2曲率和挠率的取值对空间曲线形状的影响由曲率挠率的定义和几何意义可知，曲率刻画了曲线的弯曲程度，曲率越大,曲线在某一点

7、的弯曲程度就越大， 反之亦然。挠率刻画了曲线的扭转程度，挠率 的绝对值越大，曲线在某点的扭转程度越大离开所讨论点的密切平面的程度越 大.上面只讨论了挠率的绝对值对空间曲线的影响， 没有讨论挠率的正负对空间 曲线的影响。下面就接着讨论挠率的正负对空间曲线的影响。在根本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状，来研究挠率的正负对空间曲线的影响。近似曲线在法平面0上的投影是1213°，2k°s，6k° °s消去参数s后有222°3°, ° ,9k°它是半立方抛物线图1-6曲线在从切平面0上的投影是c13

8、6;，S, ko 0S消去参数S后，有0,136也0S它是立方抛物线曲线在密切平面它是抛物线图1-70上的投影01 32 k。0图1-8形状从以上分析可以看出，挠率的正负对空间曲线的影响如下:0 0S-+-+0 0s-+-0是曲线由下往上成右旋曲线图1-800图1-90是曲线由下往上成右旋曲线见图1-9通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似0图 1-10四.特定空间曲线的曲率挠率与曲线的形状的关系1. 曲率恒等于零的曲线是直线.证明 卄0,因而？ 0，?由此得到常向量.再积分即得s b，其中b也是常向量.这是一条直线的参数方程2. 挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明假

9、设 0，那么 是固定向量，但是我们? 0，因而有?r? 0，积分后得a常数，所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线3曲率为常数.挠率恒为零的曲线是圆或圆弧证明设该曲线C的方程为r r s .曲率为a(a常数且大于零)和挠率恒为零由弗雷Frene公式建立微分方程组aa其中s是C的三个根本向量且于对方程组，由得两边关于s求导并应用Frenet公式，得? ?2a a(531)令 s x(s), y(s), z(s)代入5.3.1那么有?x(s)a"? ?2x s y(s) ays z(s)2a zs给出初值当s=0时,X(s) 1,y(s)0,z(s)0。我们先看方程?X(s)?2 2 a

10、 x s 即 x (s) a x s这是一个关于实函数x(s)的二阶常系数线性奇次微分方程。它的特征方程为特征根为1 ai, 2ai因此通解为O, cosas ©sinas将初值s=0时，x(s) 1代入有x s cosassin as令C20有x s cosas同理y s ©sinas令© 1有y ssin as同理取z s 0这里解不惟我们取一组比拟简单的特解即scosas, sin as,0 是特解又因为 (s) k a a cosas,sin as,0所以sa cosasds sinasds，0dssin as, cosas,0为了保证 s是单位向量，取积

11、分 0ds 0 由于s，因此上式两边积分可以得到dsr ssinasds (cosas)ds, 0ds1 cosas, sin as, cs ,(c为常数) aa2 211 .1那么cosassin as2aaa1这说明给定曲率为常数a和挠率恒为零的空间曲线r(s)在一个半径为-的a圆或圆弧因为它的切向量(s)sin as, cosas,0用它和单位基向量k 0,0,1作积，有 (s)?k(s)sinas, cosas,00,0,10这说明r(s)的切向量与z轴平行，从这两点很明确地说明曲线r(s)是半径1为丄的圆或圆弧a4曲率和挠率都是常数，曲线为圆柱螺线证明 用和前题一样的方法，我们知道，

12、给定曲率为a,挠率为b的曲线方程a .2222sin a b dsa ba /22a22( cos a b )ds，22 ds b那么a22硏厂a bs'22 aj a cos JaJa2 b22a2 .2 2a b2 b2s2 b2sa ba这说明给定曲率为常数a和挠率为常数b的空间曲线r(s)在一个半径为2的圆柱面上a b它的切向量1 . 2 1'22 1(s) a22sin a bs，22( cos a bs)，22a ba ba b用它和单位基向量k 0,0,1作积，有(s)?k(s)sina"21.bs，22(va bcos a?2b s)，0,0,1_1_

13、 a2 b2这说明r(s)的切向量与z轴的正向夹定角，从这两点很明确地说明曲线r(s)是半径为 2 * 2的圆柱螺线a b5设曲线s的曲率 s和挠率s都不为零，s是弧长参数。如果该曲线落在一个球面上，那么它的曲率和挠率必满足关系式证明假定曲线关系式将上式两边对于=常数。s ds s落在一个球面上,该球面的球心是5.5.15.5.00，半径是a那么有s求导，得到故 s 0是曲线的法向量。不妨设5.52将上式对于s求导并且利用Frenet公式得到s s,因此比拟等式两边的系数得到，于是s ds，5.5.4将式代入5.52式得到1s1 d1s，ss dss因此根据关系式21 d 1a s ds s结

14、束语本文试图通过对曲率和挠率的概念、 形成及意义进展论述，进而讨论了空间 曲线的曲率和挠率对空间曲线形状的影响，还给出了特定曲率和挠率与空间曲线 的形状关系.对特定曲率和挠率下空间曲线的形状的认识，有利于理解曲率和挠 率对空间曲线形状的决定性，有利于对一般曲率和挠率函数的空间曲线形状的研 究.参考文献1 梅向明，黄敬之编著.微分几何第三版M.:高等教育，2003.2 维桓编著.微分几何M.:大学，2006.3 孟道骥，梁科编著.M.微分几何.：科学，1999.4 王申怀，继志编著.微分几何M.:师大学1998 闫焱，惠存阳.给定曲率和挠率为常数的空间曲线方程J文理学院学报自然科学版第8卷第4期

15、The effect for the shape of space curves restricted with curvature andtorsionZhang Kai Department of Mathematics ,X'i an University of Arts and Science,X'i an710065,ChinaAbstract: Curvature and torsion is the characteristics ofspace curves of different functions restricted with curvature and torsion decide different characteristics of the curve, it will get important significance if we study space curves about constant curvature and to