2013周矶中学专题复习二次函数与菱形(共8页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年中考数学专题复习二次函数与菱形28(2012兰州)如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)，抛物线yx2bxc经过点B，且顶点在直线x上(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点

2、(点M与点O、B不重合)，过点M作BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：(1)根据抛物线y经过点B(0，4)，以及顶点在直线x上，得出b，c即可；(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x5或2时，y的值即可(3)首先设直线CD对应的函数关系式为ykxb，求出解析式，当x时，求出y即可；(4)利用MNBD，得出OMNOBD，进而得出，得到ON，进而表示出PMN的面积，

3、利用二次函数最值求出即可解答：解：(1)抛物线y经过点B(0，4)c4，顶点在直线x上，；所求函数关系式为；(2)在RtABO中，OA3，OB4，AB，四边形ABCD是菱形，BCCDDAAB5，C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x5时，y，当x2时，y，点C和点D都在所求抛物线上；(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为ykxb，则，解得：，当x时，y，P()，(4)MNBD，OMNOBD，即得ON，设对称轴交x于点F，则(PFOM)OF(t)，()，S()，(0t4)，S存在最大值由S(t)2，当S时，S取最大值是，此时，点M的坐标为(0，)点

4、评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键26（2012烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中

5、，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值考点：二次函数综合题。分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2；最后根据三角形的

6、面积公式可以求得SACG=SAEG+SCEG=（t2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上解答：解：（1）A（1，4）（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2分）（2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=2x+6点P（1，4t）（3分）将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+（4分）点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为

7、4GE=（4）（4t）=t（5分）又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1（7分）当t=2时，SACG的最大值为1（8分）（3）t=或t=208（12分）（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）点评：本题考查了二次函数的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法28（12分）（2010恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是

8、直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于ABC的面积为定

9、值，当四边形ABPC的面积最大时，BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得（2分）解得：；所以二次函数的表达式为：y=x22x3（3分）（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x22x3），PP交CO于E若四边形POPC是菱

10、形，则有PC=PO；连接PP，则PECO于E，OE=EC=y=；（6分）x22x3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）（8分）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x22x3），易得，直线BC的解析式为y=x3则Q点的坐标为（x，x3）；S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=ABOC+QPOF+QPBF=（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差

11、关系来求解26.( 2012年铁岭市)如图，已知抛物线经过原点O和 轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴 与 轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B（-2，m）且与 轴交于点C， 与抛物线的对称轴交于点F. （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P 是抛物线上的一点，若SADP=SADC,求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.第26题图 备用图26.解：（1）点B

12、(-2,m)在直线上 m=3 即B（-2，3） 1分 又抛物线经过原点O 设抛物线的解析式为 点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上 解得： 设抛物线的解析式为 4分 （2）是抛物线上的一点 若 6分 又点C是直线与轴交点 C(0,1) OC=1 ， 即或 解得： 点P的坐标为 10分 （3）存在： 28.（2012兰州本小题满分12分）解：（1）抛物线经过（0，4）， -1分 顶点在直线上 ，-2分 所求函数关系式为： -3分 （2）在中，四边形是菱形 、两点的坐标分别是、 -4分 当时，当时，点和点都在所求抛物线上 -5分（3）设与对称轴交于点，则为所求的点 -6分设直线对应的函数关系式

13、为则，解得： -7分 当时，P（，）， -8分（4） 即 得 -9分 设对称轴交轴于点F，则 （ -10分存在最大值 由 当时，S取得最大值为 -11分 此时点的坐标为（0，） -12分25（2012六盘水）如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积

14、平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题：代数几何综合题；压轴题。分析：（1）由PQBC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；（2）如解答图1所示，过P点作PDAC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；（3）要点是利用（2）中求得的AQP的面积表达式，再由

15、线段PQ恰好把ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分；（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在RtPQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中AQP面积的表达式，这样可以化简计算解答：解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=102tPQBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDA

16、C于点DPDBC，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=t2+6t=（t）2+，当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=t2+6t，t2+6t=12，化简得：t25t+10=0，=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得：PD=6t，AD=8t，QD=ADAQ=

17、8t2t=8t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（t2+6t）=2（）2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题24(满分12分)已知抛物线y=x2 + 1(如图所示) (1)填空：抛物线的顶点坐标是(_，_)，对称轴是_； (2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点 P作PBx轴，垂足为B若PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上在平面内是 否存在点