多重分形谱的计算程序及应用

1、多重分形谱的计算程序设计与应用*李平1，2） 胡可乐2） 汪秉宏1）（1）中国科学技术大学近代物理系及非线性科学中心 合肥 230026 ）( 2)南京工程学院 基础部 南京 210013 )摘要：基于多重分形谱的物理意义，本文通过图像分析与处理技术，利用Delphi语言设计了材料的多重分形谱的计算程序。通过该程序，可方便地从材料分形图像上提取相应的动力学特征参数，使我们能从多分形角度对材料的非线性现象作出分析与解释。关键词：分形，多重分形谱，计算程序设计分类号：O415 , O733 , TB3011 引言 分形理论致力于研究自然结构的几何特征，并力求从表征几何特征方面的一系列参数来阐述、揭

2、示其非线性动力学机理。许多物理现象的时间或空间函数关系的图形都呈现出分形的特征，因而在材料、地质、无线电、金融，甚至社会生活等方面分形理论都有着广泛的研究与应用13。 在研究分形结构时，人们主要侧重于测定、计算简单的分形维数。但是在一系列问题的研究中，在各种复杂的分形结构的形成过程中，其局域性条件是十分重要的。如在材料科学中材料的某种处理与未处理的区分；雷达回波中的杂波与目标信号的区分等等；地质统计中元素在介质中的局部富集和贫化的区分，依靠简单的分形维数作为分析、判别和评价的指标是远远不够的。简单的分形维数对所研究的对象只能作一整体性的、平均性的描述与表征，无法反映不同区域、不同层次、不同局域

3、条件形成的各种复杂的分形结构全面精细的信息，不能完全的揭示出产生相应分形结构的动力学过程，为此人们提出了多重分形的概念4。 多重分形是定义在分形结构上的有无穷多个标度指数所组成的一个集合，是通过一个谱函数来描述分形结构上不同的局域条件、或分形结构在演化过程中不同层次所导致的特殊的结构行为与特征，是从系统的局部出发来研究其整体的特征，并借助统计物理学的方法来讨论特征参量的概率测度的分布规律，多重分性理论是现今分形理论研究的热点。现实中存在的分形结构几乎都是无规分形，其多重分维谱的计算十分复杂，需要进行大量的图像分析与统计运算。基于这一现状，我们采用Delphi语言工具设计了分形结构的多重分形谱的

4、计算程序，可准确、高效的完成材料分形图像的分析、处理，方便的计算与绘制出相应的多重分形谱。应用该程序我们分析了两个实际材料的多分形结构。2多重分形谱的计算理论21 基于盒计数法的概率测度的计算5,6分形理论为研究自然界不规则的复杂对象提供了一种极好的数学框架，它的广泛应用依赖于分形结构图像的提取、处理与计算。多重分形谱的计算是用多重分形理论处理实际问题的关键，求多重分形谱，首先应计算出物理量在相应的分形结构上的概率测度分布。本文用盒计数法进行概率测度的计算。* 基金项目：国家重点基础研究发展规划项目(973计划专项经费)“非线性科学中的前沿问题研究” ；国家自然科学基金重点项目（批准

5、号：19932020）；江苏省教育厅科研基金项目（批准号：02KJD140015）;南京工程学院科研基金项目（批准号：K02-54）设想用尺度为的方格（1,若=1时，方格尺度即为分形图像的大小）去覆盖分形图像；对每个尺度的方格再细分成20×20个小方格，如每个小方格内有分形图像，则定义该小方格为黑，否则为白。统计每个尺度下20×20个小方格中黑色小方格的格子数，并除以整个分形图像的总的黑色小方格子数，就可以得到每个尺度为的方格中分形图像的占据率即概率测度 (1)由此可获得物理量在所讨论的分形结构上的一种概率测度的分布。 22 概率测度的两个标度指数及物理意义 分形理论指出，

6、在无标度的自相似区域内，概率测度存在着如下形式的标度关系 (2)此处指数为描述概率测度局部奇异性强度的参数，称为奇异性标度指数。可以看到的取值与所观察的尺度为方格在分形图像上的实际位置有关，且是有限的，即在分形图像上，对任一尺度，总存在和，使得。 若把分形图像上具有相同奇异指数的标识的盒子数记为，则在无标度的自相似区域内也存在着如下的标度关系： (3)此处为用奇异性标度指数标识的分形子集的维数。由于可取中的无穷多个值，故通常为一光滑的单峰函数。多重分形正是由一系列的奇异性标度指数为的集合相互交织组合而成的，其中每一个子集具有一个确定的分维，不同的对应的便构成了一个刻划多重分形性质的维数谱，简称

7、多重分形谱。 多重分形谱可以反映被考察的物理量在分形结构上不均匀分布的性质，从而给出比简单分维更丰富的结构信息。例如大的反映的是小概率测度区域的性质；小的则反映的是大概率测度区域的性质；多重分形谱的宽度的大小反映了整个分形结构上概率测度分布的不均匀性的程度，从而全面地描述了分形结构上不同区域、不同层次、不同局域条件的特性。因此的物理意义是对分形结构上的复杂程度、不规则程度以及不均匀程度的一种度量。 这里引入的、具有十分明确的物理背景，但不易于直接用于实验测量，为此需要借助一些易于在实验中可进行直接测量的测量量来进行讨论与分析。 23 配分函数与配分函数的标度指数 定义多重分形系统的配分函数为

8、(4)即将它定义为概率测度的q阶矩，q可以从到，但在实际应用中，|q|=1050 就完全可以了。此处q称为权重因子，不同的q表示不同大小的概率测度在配分函数中所具有的比重，从而突出特定的概率测度对的贡献。 当q>>1时，具有较大概率测度的 对的贡献占优势；相反地，当q<<-1时，具有较小概率测度的 对的贡献占优势。因此给出了概率测度的另一种分布形式。基于分形结构的特点，在无标度的自相似区域内也存在着一定的标度关系，即与标度参数之间存在着如下的的幂率关系 (5)其中标度指数称为质量指数。 这样我们共引入了三个标度指数，即奇异性标度指数、多重分形谱和质量指数。作为描述同一物

9、理对象的三个参数，它们之间必有内的在联系，这就是统计物理中的勒让德变换，它将、及联系了起来，并有如下的关系式 （6）利用这种关系，通过计算程序测定并计算概率测度、配分函数和质量指数，便可得到分形结构的多重分形谱。3材料分形图像分析与处理的计算程序设计 分形理论的广泛应用依赖于分形图像上信息的提取、处理、与分形维数的计算7。多重分形谱的计算比较复杂，只有少数比较特殊的集合才有解析解，对一般的集合通常无法获得解析解，只能用数值计算的方法间接进行估计。由于现实中存在的分形图像几乎都是无规分形，计算的复杂性和计算方法的多样性，使得计算结果的可靠性变得很差。通过计算程序来实现分形图像的分析、处理与分形维

10、数计算是一个行之有效的办法。本文通过Delphi软件实现了分形图像的分析、处理以及多重分形谱的计算。 3.1 材料分形图像的黑白二值化处理思想 原始的材料分形图像一般都是多色彩图像，基于分形图像处理的基本特点与要求，图像处理的首要问题是将其转换为黑白二值化的图像。图像的二值化过程可通过设定某个阈值，并以该阈值为门限，把具有多灰度级的彩色图像变换成二灰度级的图像(即黑白图)。不同的材料分形图像根据灰度分布峰值的不同，按分性特征提取的相应要求，可以选择不同的二值化转换阈值。 3.2 计算过程整个计算程序可以分为三大模块：分形图像分析与处理模块、数据库操作模块和数据计算模块。同时，程序中还实现了其它

11、的辅助功能。图1是各功能模块之间的关系图：主控模块图像分析与处理模块数据库操作模块数据计算模块获得多重分形谱数据添加，删除，修改获得计算数据 图1 分形处理程序设计流程图图像分析与处理模块主要进行图像的二值化过程、多重填充过程、图像的统计分析与计算（如在某个格子中有无图像的像素点判断、与的计算等）。数据库操作模块中涉及的是程序运行后，对存储在数据库中的数据库记录进行的删除、修改与手动添加等操作。数据计算模块主要涉及的是对图形处理后的数据按多重分形谱的计算理论进行的相关计算、列表与绘图等工作。图2显示了多重分形处理系统的主窗口界面。它有“文件”、“编辑”、“控制”、“结果”、“帮助”等菜单及其各

12、自的下拉菜单组成。图2 多重分形处理系统的主窗口界面4实测材料表面多重分形谱的计算和分析应用本程序，我们对硅铝合金在1000oC和2000oC热处理后的照片进行了分析。图3是硅铝合金在1000oC时未经处理的灰度照片；图4是硅铝合金在2000oC时未经处理的灰度照片；图5是硅铝合金在1000oC时经过黑白二值化处理后的图片；图6是硅铝合金在2000oC时经过黑白二值化处理后的图片； 图3 硅铝合金在1000oC时的灰度照片 图4 硅铝合金在2000oC时的灰度照片图5硅铝合金(1000oC)黑白化处理后的图片 图6 硅铝合金(2000oC)黑白化处理后的图片表1、表2是图像分析与处理后所得的数

13、据；图7是通过数据计算模块对数据库数据处理、计算后所绘制的多重分形谱图像。表1 AlSi合金(1000oC)运算数据3.3032.7612.2501.9961.8641.7781.7141.6661.6291.601f()0.4011.4851.9961.9961.8641.6911.5011.3081.1240.9561.5801.5631.5501.5401.5321.5261.5211.5171.5131.510f()0.8500.6730.5570.4560.3680.2920.2240.1660.1140.068表2 AlSi合金(2000oC)运算数据3.6683.4192.972

14、2.3751.9551.7261.5921.5071.4501.412f()0.0050.4631.3581.9551.9551.7261.4581.2020.9760.7841.3851.3671.3531.3441.3371.3321.3281.3241.3221.320f()0.6250.4950.3890.3040.2330.1750.1260.0850.0500.020 图7 硅铝合金的多重分形谱f()对图7作分析可知，关于为凸的，并与直线相切，该切点恰又是两条多重分形谱与的交点。这些特性是完全符合多重分形谱的判定准则的8,9。同时我们也注意到，AlSi合金作1000oC热处理后，其

15、多重分形谱的谱宽为而AlSi合金作2000oC的热处理后，其多重分形谱的谱宽为我们知道多重分形谱的谱宽反映了分形结构上物理量的概率测度分布的不均匀程度，即描述了分形结构上不同局域或不同层次的物理特性。从上述两组数据的对比可知，材料在不同方式（温度）的处理下，其多重分形谱是有着显著差别的，经高温处理后的材料其表面形貌的多分形特征更为显著。这也表明多重分形谱是对材料进行分析的有实际意义的表征参数，为材料分析提供了一种有价值的分析手段。5结论（1） 盒计数法是计算多重分形谱的一种较为有效的方法。（2） 基于可视化编程语言Delphi设计的分形图像处理系统具有数据共享性好、计算可靠性高的特点。（3）

16、多重分形谱是对材料表面特征进行分析的合适的、有意义的表征参数。参考文献1. Mandelbrot B B, Passoja D E, Paullay A J. Fractal character of fracture surface of metals J. Nature, 1984, 308 (19): 7217232. Stanley H E, Meakin P. Multifractal Phenomena in physics and chemistry J. Nature, 1998, 335 (6189) : 4054093. Chen Z W, Wang X P, Tan S,

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