高数D24隐函数求导1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数

2、 的方程)y目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解：解：, 求导求导方程两边对方程两边对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx时时由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy. 1 【注意】求隐函数的导【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因数，结果中允许含有因变量变量y .y .目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导

3、求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解：解： 求导得求导得方程两边对方程两边对 x)1( 04433 yyyxy

4、x得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy )1( 求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy分析分析 此为隐函数的高阶导数此为隐函数的高阶导数目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求)ln(sinlnsinxxexx)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx)(lnsinxxey)sinln(cossinxxxxxx也可这样求:

5、)1sinln(cos lnsinxxxxexx目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数),(),(,xvvxuuuyv其中可用对数uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:求导法求导 :目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, )4)(3(

6、)2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 , )()( 间的函数关系与确定若参数方程xytytx【例如】【例如】 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数【问题】【问题】 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t . 所确定的函数称此函数为由参数方程目录 上页 下页 返回 结束 ),( )(1x

7、ttx 具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数设设函函数数)(1xy , 0)(,)(),( ttxty 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdydtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx 复合函数复合函数参数方程参数方程求导公式求导公式.dxdtdtdy 目录 上页 下页 返回 结束 【注】【注】 )()()(ttdxdytx 为方便见，通常把为方便见，通常把 省去，后同省去，后同. . )(tx 是通过是通过 t 作为媒介成为作为媒介成为 x 的函数的函数,应表示为应

8、表示为dxdy参数参数目录 上页 下页 返回 结束 , )()( 二二阶阶可可导导若若函函数数 tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()( 322tttttdxyd 即即【注】【注】 不必死记，要会方法不必死记，要会方法. .容易出错，容易出错，切勿漏掉切勿漏掉求高阶导数求高阶导数,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式.目录 上页 下页 返回 结束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例6. 设设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tf

9、t )(tf , t dd22xy1)(tf 知解解:)()(tftfty练习练习: 书书P112 题题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :对谁求导? 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyy

10、txx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,那么tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001知,minm140ddth h = 500m 时,1tan2

11、2tan1sec,2sec2td 0)minrad/(目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题: 当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住 , 有一观测者有一观测者以以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002知d100m min ,dxt .ddtx500,m500 x求目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水Rhxhr例例9. 有一底半径为有一底半径为 R cm , 高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,

12、scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,水的VhR231)(231xhrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx体积为 V , 那么Rxr目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对

13、t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P111 1(3) ; 3(2) ; 4 (3) ; 8 (2); 11目录 上页 下页 返回 结束 求 .,exxy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111. 设设yxdd目录 上页 下页 返回 结束 , 求01sine232ytttxy.dd0txy解：方程组两边同时对解：方程组两边同时对 t 求导求导, 得得 txddyetydd0ddtxy2. 设设26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1cosetxtydddd0)26)(sine1 (cosetyyttt2e0t目录 上页 下页 返回 结束 3. 设设)(xyy 由方程eeyxy确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0eyxyyy再