大学物理刚体力学基础习题思考题及答案

1、119 mg5-2 .如图所示，一均匀细杆长为l ,质量为m ,平放在摩擦系数为的水平桌面习题55-1 .如图，一轻绳跨过两个质量为 m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端 分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr2 / 2 ,将由两个定滑轮以及质量为 2m和m的重物组成 的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：广 2mg T2 2ma T1 mg ma J (T2 T)r J (T T1)r J 2la r , J mr /2 1联立，解得：a -g , T4上，设开始时杆以角速度0绕过中

2、心。且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为:一小质元dmd f dmg微元摩擦力矩:d x ,有微元摩擦力:gd x dMgxd x,考虑对称性，有摩擦力矩:l1M 2 2 g xd x -04mgl（2）根据转动定律Jddt或利用:有:mglt1一m12l2J 0,考虑到0,Mdt工 ml2,125-3 .如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。 假设定滑轮质量为 M、半径为 R，其转动惯量为 MR2/2 ,试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系

3、。解：受力分析如图，可建立方程：r mg T ma TR J 1 2la R , J -mR 2联立，解得：a 2mg , tMmg ,M 2m M 2mdv v ,t 2mg 口 七2mgt考虑到 a ,.1. dv -dt ,有：v dt 00 M 2mM 2m5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 M /4,均 匀分布在其边缘上， 绳子A端有一质量为 M的人抓住了绳端，而 在绳的另一端 B系了一质量为 M/4的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量J MR2 /4 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬 时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度解一：分别对人、滑轮与重物列

4、出动力学方程T2MTgaB物Mg T1 MaA人T1R T2R J 滑轮2 .一.由约束万程：aA aB R 和J MR /4,解上述方程组得到a g.2解二：选人、滑轮与重物为系统，设 u为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，注意到 u为匀速,0,系统对轴的角动量为:1M 2L MvR M(u v)R ( R )44(B物体)(人)(A物体)3-MvR M u R 2v13而力矩为：MMgRM gR-MgR,44dL3d 3g根据角动量定理 M 一有：-MgR -(-MvR MuR) , . a - odt4dt 225-5.计算质量为 m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。解：设球的半径

5、为 R,总重量为m ,体密度-m-,4 R3考虑均质球体内一个微元：dmr2 sin d rd d ,由定义：考虑微元到轴的距离为rsinJ (rsin )2dm ,有：2 RJ(r sin )2r2 sin drd d0001 5 R22 - r 0 (1 cos )d cos c022mR。55-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k 40N/m,当 0时弹簧无形变，细棒的质量 m 5.0kg ,求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度,才能转动到水平位置解：以图示下方的三角桩为轴，从 0900时，考虑机械能守恒，那么：0时的机械能为： l 11mg 一（重力势

6、能）一（ml j（转动动能），22 30 1290时的机械能为：一kx士l 1 12212有：mg ml )kx2 2 32根据几何关系：(x 0.5)21.52 12,得： 3.28rad s 15-7 .如图所示，一质量为 m、半径为R的圆盘，可绕 O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：(1)盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C和盘缘A点的速率；(2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，心/有： mgR 1J 2，而 J 1mR2 mR2 mR2222|Z lO与，O/n(2) Fy mg(重力)mR 2(向心力) 7

7、mg ,方向向上。35-8.如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕1 一 2 ,一水平光滑固定轴 O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为-1和一l .轻杆原来静33止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度 v0与杆下端小球m作对心1 .碰撞，碰后以一v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。2解：根据角动量守恒，有：2 .12121 21、2mv0 l m -v0 l m()2m (-)3 2333 z4,2 2|2、2,1有： 91 )3vo| 3vo|3 v02l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ,半径为R,放在一粗糙水平面上（圆盘 与水平面之

8、间的摩擦系数为），圆盘可绕通过其中心。的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为m的子弹以水平速度 v垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上， 求：（1）子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止 转动。（圆盘绕通过。的竖直轴的转动惯量为12一一-MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。21 cmR2得:2mv .(2 m M )R (2)选微分dmrdrd,其中：面密度Mfgrdmgr有:M c-2 2 TtrdrR2gR知:2mR4 Mg2mv代入,M 2m R即得:M gR1 (MR 23mvTo2 M g斛：（1）利用角动重寸恒：mvR MR 25-10

9、.有一质量为 m1、长为l的均匀细棒，静止平放 在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点 O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动 的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为V1和V2,如图所示。求碰撞后从细棒开 始转动到停止转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点的转动惯量J解：由碰撞时角动量守恒，考虑到12-mil ）3U和V2方向相反，以逆时针为正向，有:,1.2m2vj - ml2m2v2l ,得:2 13 1223m2(v1 v2)m1l又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:tdt0m1，g xd x1

10、 2 .0丑1 d312 Mm1gl，利用d .J，有:dtth2m2(v1V2)o5-11 .如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgmig2,半径为7cm ；物体的质量为5kg ,用一细绳与劲度系数 k 200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：(1) 物体由静止而下落的最大距离； 的位置及最大速率。解：(1)设弹簧的形变量为 x,当绳拉直、弹簧无伸长时使(2)物体的速度达最大值时卜落最大距离为xmax 1c由机械能寸恒：一k xmaxxmax2 2mgmgxmax，0.49m；(2)当物体下落时，由机械能守恒:考虑到 ，有： kx2 R 2欲求速度最大值，将

11、上式两边对12kx(mR2 J ) 22dx有:1kx2 21 2 一mv2-J 212 2mR22J2mgx,x求导，且令dx0代入，有：xmg0.245(m),当x 0.245m时物体速度达最大值，有:vmaxmgx 2 kx21 / J、2(m 72)，代入数值可算出:Vmax 1.31m/S5-12.设电风扇的功率恒定不变为P,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 k,并已知叶片转子的总转动惯量为 J。（1）原来静止 的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大（ 3）电扇以 稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度解：（1）已知M f

12、k通电时根据转动定律有:MfMP/ ,J dtt代入两边积分有：dt02d ,可求得:2kP(1e J ) .H(1e )，(2)见上式，当t时,电扇稳定转动时的转速:(3)断开电源时，电扇的转速为,只有M0f作用，那么:J J dtdtkdJ得:5-13.如图所示,Jk物体A放在粗糙的水平面上,细绳的一端系住物体 A ,另一端缠绕在半径为与水平桌面之间的摩擦系数为，R的圆柱形转轮 B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大物体A 运动后，细绳的张力多大解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、绳看成一个系统，

13、系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，0绕其转轴转J 0 JRmvA ,又 vA3 0（2）物体A运动后，由牛顿定律:对转轮B,由定轴转动定律：T mg TR J ,ma(1)（2）约束关系:a R (3)一一 1mg。可求出：T 35-14.质量为m的小孩站在半径为 R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台 边缘上（平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动）。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少解：此过程角动量守恒：mRv J 0,有:mRvO5-15.在半径为 R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在1距转轴为

14、1R处，人的质量是圆盘质量的1/10.开始时盘载人对地以角速度0匀2速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示.已知圆盘对中心轴的转动惯量为2MR2求：（1）圆盘对地的角速度.2/2物/（2）欲使圆盘对地静止，人应沿着；R/周对圆盘的速、-v度v的大小及方向解：（1）设当人以速率 v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角2vR速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为v1R 2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒.设盘的质量为M,则人的质量为M / 10,有:2 MR2M102MR2M10将式代入式得:2v21R（2）欲使盘对地

15、静止，则式必为零.即0 +2v / (21R) = 0得:v= - 21R0 / 2式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方 向一致.答案:2v21Rv=- 21R0 / 2式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方 向一致.思考题mgTim1a(1)T2m2 gm2a(2)(TiT2)rJ(3)ar(4)联立方程可得T1、T25-1 . 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M的定滑轮，绳的两 端分别悬有质量 m1和m2的物体（m1m2）,如图所示，绳与轮之 间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大 解：5-2.一圆盘绕

16、过盘心且与盘面垂直的轴。以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相 等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化答：增大5-3.个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸直水平地举起二哑铃 ，在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。答：（C）5-4.在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都 是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴 的转动惯量：（1）设转轴I、n在质点所在的平面内, 如图a所示；（2）设转轴出垂直于质点所在的平面， 如图b所示。答：以I为轴转动惯量 J 9ma2；以n为轴转动惯量J 3ma2；以出为轴转动惯量J 7.5ma2。5-5.如图a所示，半径分别是 Ri和R2、转动惯量分别是 Ji和J2的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩