学而思高中题库完整版统计.板块四.统计数据的数字特征.学生版

1、板块四.统计数据的数字特征知识内容一.随机抽样1 .随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为 n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法.随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表.表中每一位置出现各个数字的可能性相同.随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法.简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法.系统抽样：将总体分成均衡

2、的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个 个体，得到所需要的样本的抽样方法.抽出办法：从元素个数为 N的总体中抽取容量为 n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设k N-,先对总体进行编号，号码从 1到N ,再从数字1到k中随机抽取一个数 s作为起始数，然后顺次抽取第s k,s 2k, L , s (n 1)k个数，这样就得到容量为 n的样本.如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样 方法进行抽样.系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样.分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使 总

3、体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按 层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法， 应用广泛.2 .简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.简单随机样本数n小于等于样本总体的个数 N .简单随机样本是从总体中逐个抽取的.简单随机抽样是一种不放回的抽样.简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为.3 .系统抽样时，当总体个数 N恰好是样本容量n的整数倍时，取k若N不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被

4、样本容量n整除.因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍.板块四.统计数据的数字特征.题库好学官普 口患青嚎好学谓智5思音曦然相等，为二.频率直方图列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤:计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差;决定组距与组数：取组距，用决定组数; 决定分点：决定起点，进行分组；列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得 到各小组的频率.频率绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以而应的值为纵坐标绘制直万图，知小长方形的面积=组距 x?吃=频率.组距频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边

5、的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义.总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线 y f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线. 总体密度 曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.三.茎叶图制作茎叶图的步骤：将数据分为 茎”、叶”两部分； 将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线; 将各个数据的 叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出.四.统计数据的数字特征用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差.数据的离散程序可以用

6、极差、方差或标准差来描述.极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根.一般地，设样本的元素为 , X2 , L , %样本的平均数为X ,/ _.板块四.统计数据的数字特征.题库 /_22定义样本方差为s2(X1 x) (X2 x) L 3x),n样本标准差s(% x)2 % x)2 L(xn x)2简化公式：s2 1(x2 x； L x2) nx2. n五.独立性检验1 .两个变量之间的关系；常见的有两类：一类是确定性的函数关系； 另一类是变量间存在关系， 但又不具备函数关系 所要求的确定性，

7、它们的关系是带有一定随机性的. 当一个变量取值一定时，另一个变量的 取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.2 .散点图：将样本中的 n个数据点(x , yi)(i 1,2,L , n)描在平面直角坐标系中，就得到 了散点图.散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系.3 .如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域.反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.此时，散点 图中的点在从左上角到右下角的区域.散点图可以判断两个变量之间有没有

8、相关关系.4 .统计假设：如果事件 A与B独立，这时应该有 P(AB) P(A)P(B),用字母H。表示此式， 即Ho: P(AB) P(A)P(B),称之为统计假设.5 . 2 (读作专方”)统计量：统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为2 n(ni1n22 n12nj ,用它的大小可以ni n2 n in 2用来决定是否拒绝原来的统计假设Ho,如果2的值较大，就拒绝 H。，即认为A与B是有关的.2统计量的两个临界值： 3.841、6.635;当2 3.841时，有95%的把握说事件 A与B有 关；当2 6.635时，有99%的把握说事件 A与B有关；当2W 3.841时，认为事件A与

9、B 是无关的.独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的.1 .独立性检验的步骤：统计假设：Ho ;列出2 2联表；计算 2统计量；查对临界值表，作出判断.2 .几个临界值：P( 2 > 2.706) 0.10, P( 2 > 3.841) 0.05, P( 2 > 6.635) 0.01 .2 2联表的独立性检验：如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张2 2的表，如状态B状态B合计状态Annn12n1状态An21n22n2n 1n

10、2n如果有调查得来的四个数据 nn , n12, n21 , n22 ,并希望根据这样的4个数据来检验上述的两种 状态A与B是否有关，就称之为 2 2联表的独立性检验.六.回归分析1 .回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分 析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性.回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.2 .最小二乘法：记回归直线方程为：？ a bx,称为变量Y对变量x的回归直线方程，其中 a, b叫做回归系数.?是为了区分Y的实际值y ,当x取值x时，变量Y的相应观察值为

11、y ,而直线上对应于 x 的纵坐标是？ a bx .设x,丫的一组观察值为(x,y), i 1,2,L ,n ,且回归直线方程为 y? a bx,.板块四.统计数据的数字特征.题库 当x取值X时，Y的相应观察值为 yi ,差yi y?(i 1,2,L ,n)刻画了实际观察值 yi与回归 直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差.我们希望这n个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点. n记Q(yi a b%)2 ,回归直线就是所有直线中 Q取最小值的那条.i 1这种使 离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法.用最小二乘法求回归系数a , b有如下的公式:好学得智5

12、围宫障nx yi nXyk?3，a y bX,其中a,b上方加、表示是由观察值按最小二乘法求得的2 _2Xi nx i 1 回归系数.3 .线性回归模型：将用于估计y值的线T函数a bx作为确定性函数；y的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将 y a bx 称为线性回归模型.产生随机误差的主要原因有：所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差； 忽略了某些因素的影响，通常这些影响都比较小； 由于测量工具等原因，存在观测误差.4 .线性回归系数的最佳估计值： 利用最小二乘法可以得到 ,?, ?的计算公式为n(Xix)(yi y)$ 口n一 2(XiX)i 1由此得到的直线 ？ anX

13、i yi nxy_1 n _1 n二，夕 y ?X ,其中 x - Xi , y -yi22n i 1n i 1c?, $ 分Xi n(x) i 1$x就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程.其中y?称为回归值.别为a, b的估计值，a称为回归截距，自称为回归系数,5.相关系数：n_(Xi X)( yi i 1y)nX yi nxy i 16.相关系数n一 2- 2X) (yi y) i 1的性质：n2=2(Xin(x)(i 1i2 2yi n(y)1|r|越接近于1, x, y的线性相关程度越强;|r|越接近于0, x , y的线性相关程度越弱.可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量

14、间的相关系数密切相关.7 .转化思想：根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数.8 . 一些备案回归(regression)一词的来历： 回归”这个词英国统计学家 Francils Galton提出来的.1889 年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高， 但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高.Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为回归现象”.后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个

15、变量的变化的方法称 为回归分析. .板块四.统计数据的数字特征.题库回归系数的推导过程:Q (y a) b42y222na 2a(b 玉yi) b22a yi na 2b xyi22x 2byiyi ,2abXi把上式看成a的二次函数，a2的系数n 0,因此当a球y2yi b x时取最小值.2nn同理，把Q的展开式按b的降哥排列，看成b的二次函数，当bxiyia xi时取最小值.x解得：bnx y nxyi 1-n2 一2Xinxi 1(xi X)(yiy)一, ，(xi x)y bx ，其中y 1yi , x - xi是样本平均数.nn9.对相关系数r进行相关性检验的步骤：提出统计假设 H

16、0:变量x, y不具有线性相关关系;如果以95%的把握作出推断，那么可以根据 1 0.95 0.05与n 2 （ n是样本容量）在相 关性检验的临界值表中查出一个r的临界值G.05 （其中1 0.95 0.05称为检验水平）；计算样本相关系数r;作出统计推断：若|r|0.05,则否定H。，表明有95%的把握认为变量 y与x之间具有线性相关关系；若|r性0.05 ,则没有理由拒绝 H。，即就目前数据而言，没有充分理由认为变 量y与x之间具有线性相关关系.说明：对相关系数r进行显著性检验，一般取检验水平0.05,即可靠程度为95%.这里的r指的是线性相关系数，r的绝对值很小，只是说明线性相关程度低

17、，不一定不相 关，可能是非线性相关的某种关系.这里的r是对抽样数据而言的.有时即使 |r| 1,两者也不一定是线性相关的.故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释.典例分析题型一.数字特征的计算【例1】（2010海淀二模）某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 6, *分别表示甲、乙两班各自 5名学生学分的标准差，则§S2 .（填、“”或" ”）.板块四.统计数据的数字特征.题库5好学官智 IS患育嚎20次，三人的测试成绩如下表【例2】（2010崇文二模）甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各

18、射击.板块四.统计数据的数字特征.题库8好学百智5思音曦甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664X1,X2,X3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则7,7,X3的大小关系为.； S1 ,S2,S3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的 标准差，则Si ,S2 ,S3的大小关系为.【例3】10个正数的平方和是 370,方差是33,那么平均数为（A. 1B. 2C. 3D. 4【例4】 若M个数的平均数是是（）X, N个数的平均数是Y,则这M N个数的平均数A.B.XYC.MXNYMNMND.MX NYX Y【例5】

19、且(为 3)2 (x2 3)2 L已知一组数据xi , x2 , L , xio的方差是2 ,（xio 3）2 380 ,则这组数据的平均数x【例6】 求下列各组数据的方差与标准差（精确到0.1 ）,并分析由这些结果可得出什么更一般的结论. 123456789; 11 12 13 14 15 16 17 18 19; 2 4 6 8 10 12 14 16 18【例7】（2009上海18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为 连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体均为 3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0C.丙地：中