复数题型归纳

1、北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷、选择题：1、复数z 1 i （i是虚数单位），则复数（z 1）（z 1）虚部是（）【答案】DD、2A -1+2 iB、-1C、2i1、a 0是复数a bi （a,b R）为纯虚数的（1、已知复数Z1A、充分条件B 、必要条件 C、充要条件D、非充分非必要条件3 4i , Z2 t i ,且z1gz2是实数，则实数t等于（A ） .期中考试题一 一.一、， 一一、”.-3 一.一解析 Z1Z2 =(3+4i)( t-i) =(3t + 4)+(4t-3)i.因为 Z1 Z2 是实数，所以 4t 3=0,所以 1 =彳.因此选 a.1、

2、若复数（m2 3m 4） （m2 5m 6）i是虚数，则实数m满足（）【答案】D（A） m 1（B） m 6 （C） m 1或 m 6（D） m 1且 m 61、若Zi,Z2 C ,则Z1 Z2 Z1 22是（）【答案】BA 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定1、若（x2 1） （x2 3x 2）i是纯虚数，则实数x的值是（） 【答案】AA 1 B 1 C 1 D以上都不对1 .已知复数zim 2i,z23 4i,若亘为实数，则实数m的值为（）Z2A 2B.2C、3D.-222. i表示虚数单位，则i1 i2 i3i2008的值是（）答案AA. 0B. 1C. i D2、已知z，则1 z

3、50z100的值为（A2、复数(22i)4 2(1 3i)答案：BA . 1V3iB .1V3iC . 1V3iD1 .3i2、复数（L）10的值是 （）【答案】A1 iA . 1B, 1C. 32 D . -32112、已知x 1 1,则x1996 /的值为（）【答案】AxxA 1 B 1 Ci D i2、f（n） in i n,（n N ）的值域中，元素的个数是（B ）A 、 2 B 、 3 C 、 4 D 、 无数个3、在复平面内，若复数满足|z 1| |z i|,则所对应的点的集合构成的图形直线y x3、|z 3 4i| 2,则|z|的最大值为（B ）A 3 B 7 C 9 D 53.

4、若z C且|z|1,则|z 2 2i|的最小值是（C ）A. 2 2B, 2.2 1C. 22 1 D. 23.如果复数z满足|z+i| +|z-i| =2,那么|z+1 + i|的最小值 是（） J:HA. 1C. 2解析|z + i| +|z-i| =2,则点Z在以（0,1）和（0, 1）为端点的线段上，|z+1 + i|表示点Z!J（ 1, 1）的距离.由图知最小值为1.答案 A3.若 z 2且 z i| z 1 ,则复数 z=z 72（1 i）或 z/2（1 i）3.如果z C,且z 1,则z 1 2i的最大值为【答案】5 13.若z C且|z 2 2i | 1,则|z 2 2i|的最

5、小值是（）答案：BA. 2B. 3C. 4D. 53.已知复数z x yi （ x, y R , x j ,满足z 1 x ,那么z在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是().A.圆 B .椭圆 C .双曲线D.抛物线一I-222,2,斛析z=x+yi( x, y e R x),满足 |z1|=x, ：(x1)+y=x，故 y=2x1. 答案 D3、已知方程|z 2|z 2| a表示等轴双曲线，则实数a的值为(A )A、242B 、2 品C4.已知复数z 1 i ,则Z在复平面内对应的点在第几象限（） 【答案】CA. 一B.二C.三D.四4.在复平面内，复数 L 对应的点位于（）【答案】D1 i

6、A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在复平面内，复数（1内）2对应的点位于（）【答案】BA.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限4.已知i为虚数单位，则 所对应的点位于复平面内点（）【答案】A1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、（m i）3 R,则实数m的值为（B ）出D、旦 2)4 3i D、1 iA、2mB、 等 C、5、若x C,则方程|x|1 3i x的解是（CA、- i B、x1 4, x21 C、2 2225、复数 z 1 cos isin ,（2 ）的模是（B ）A 2cos B 2cos C6. 2- 2_L 的值是()1 2i

7、1 2iA. iB. 2i6.复数z L3的虚部是（）1 iA.2B,22sin D2tan 【答案】C-_4C. 0D.-5【答案】BC . 2i D. 2i_2-26, UT以二等于（）A. 36.若复数4i1 ai(iA. -16.已知复数乙A. 6B.7 .对于两个复数B.3 4i是虚数单位）B.C. 3 4iD.3 4i的实部和虚部相等，则实数D.A. 1 B7.下面是关于复数P1 ： |z 2,其中真命题为bi, Z2-61,P2 ： ZA.P2, P3B.8.若复数z满足方程z2A.2.2 B12.定义运算a b =adc d3 + 2i的复数z等于2i,若亘是实数，则实数b的值

8、为（）【答案】A z2C. 0D.1*i，有下列四个结论:D 1；一1;其中正确的结论的个数为（）的四个命题:2iPl, P22 0,P3 : z的共腕复数为C. P2, P42.2D.P4 ： z的虚部为1P3,P4z3的值为（2 2i2. 2 i一bc,则对复数z=x+yi（ xyCR）符合条件z z12i z解析由定义运算，得 z2i3 + 2i=2zi z= 3+ 2i ,则 z =. o.=1 十 2i3+2i 12i1 + 2i 1 - 2i8.5i.二、填空题：1 .若复数z 2t2 3t 2 (t2 4)i(t R)为纯虚数，则t的值为【答案】-22 .已知i为虚数单位，复数z

9、 土，则| z | =.【答案】士”1 i23.若i为虚数单位，则复数.【答案】1 2i1 i4.已知-m- 1 ni,其中m, n是实数，i是虚数单位，则m ni【答案】2 i1 i5 .若(a 2i)i b i ,其中a, b R , i是虚数单位，复数a bi 【答案】1 2ia 3i6 .若复数 (a R, i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为1 2i【答案】67、设 1 争，则集合A=x|x kk(k Z)中元素的个数是 2 _。8、已知复数Z1 2 iz 1 3i ,则复数L2=i 5一13 2.一 1069、计算：1农i一答案22.2三、解答题：【复数的分类问题】(1 ) m=

10、1 (2)m=01、实数m取什么值时，复数z m(m 1) (m 1)i是(I )实数 (n)纯虚数(m)虚数 答2、已知复数z (2m2 3m 2) (m2 m 2)i , (m R)根据下列条件，求m优(i) z是实数；(n) z是虚数；(m) z是纯虚数；(iv) z 0.【答案】(1)当南+m- 2=0,即m= 2或m=1时，z为实数；，一 2(2)当m+m- 2* 0 ,即 mw 2且 mw 1时，z为虚数;,2m2 + 3m 2 = 0 5口 m = -或m= 2当 2,解得 2，m2 + m 2 0m 2M m 1即m =2时，z为纯虚数;222m + 3m当 2m + m :m

11、 = .m= 2,即 m=- 2 时，z=0.3、m取何值时，复数zm2 m 6m 3(m22m 15)i(i)是实数;n)是纯虚数.=4 *切=5或-3又 1 2i z在复平面上对应的点在直线y x上，x 2y 2x y【答案】(1)2m 152时，z是纯虚数4、设复数z 1g m2 2m 2m2 3m 2 i ,当m取何实数时(I ) z是纯虚数；( n) z对应的点位于复平面的第二象限。 .2【答案】(1) z是纯虚数当且仅当gm m 0,m 3m 2 0解得，m 32,1g m 2m 20(2)由“2m 3m 2 01 m 1 3,或 1 /3 m 3 m2或 m1所以当 1 m 1

12、J3或1 33 m 3时，z对应的点位于复平面的第二象限。【求复数类型】1、设复数z满足z J而，且1 2i z( i是虚数单位)在复平面上对应的点在直 线y x上，求z.【答案】设 z x yi ( x、y R) v |z| 屈,：,x2 y2 10而(1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i3或12、求虚数z ,解：设z a又由y2 103ybi(a, b9z9b3.z (3 i)bi0), 9a bi(a9aa2 I(b9b 、.Pi0,2b 0,故 ab29;3得:,(a 3)2 b23,由得323.3 F33i233i 。23、把复数z的共腕复数记作z ,

13、已知(12i)z4 3i ，解：设 z a bi(a, b R),则 zbi ，由已知得(12i)(a bi) 43i化简彳导:(a 2b)(2a b)i3i ，所以a 2b4,2a b 3,解得a4；-i o54、设a,b为共腕复数，且(ab)23abi求a,b的值【教师用书】解：设a xyi,byi,(x,y R)。带入原方程得4x2 3(x2 vy )i. 一4x212i ,由复数相等的条件得3(x24, y2) 12.x解得y1厂或3.对应四组解略。5、已知乙 为复数，(1 3i)求复数(教师用书章末小结题)x yi,(x, y(1 3i) z = (x 3y) (3x y)i 为纯虚

14、数，所以x 3y0,因为|5.2,所以 |z| , x215 5i(7 i)。(还可以直接解得 x 15, y 5;x15, y 5所以2 i计算）解法 2：设=x+yi(x , yCR),z2n(x yi) 2依题意得(1+3i)(2+i)=(1+7i)为实数，且7x y22x y050,、，口x解之得 y= 1+7i 或解法3：（提示：设复数乙直接按照已知计算，先纯虚数得a3b7b bi)56、已知复数满足|z 4| |z 4i|,且z士为实数，求。z 1解：z x yi,( x, y R),因为 | z4| z 4i |,带入得x y ,所以zxi, x R14 z - 一又因为z 14

15、为实数，所以14 zz 114 z化简得，所以有1|21313得x2,或 x 3。所以z 0； z2i;z 3 3.（也可以直接用代数形式带入运算）7、求同时满足下列两个条件的所有复数;R,且 1 z106；的实部与虚部都是整数解：设z xyi,(x, y R)x yi10因为z10当y 0时，zx yiR,所以y(1yi10(x yi)10-2 x10以在实数范围内无解。x(110-22 )x yy(1102)i y2 ) y6,0。所以所以y0或x210 。2 10z 2x。由 1 2x1x3 2因为x, y为正整数，所以x的值为或2,或3。.o o10当x y 10时，则z z【根的问题

16、】当x 1时，y 3;当x 2时,y乔(舍)；当x 3Bt,y1。则 z 1 3i 或,z 3 i。1、关于x的方程是x2 (tani)x (2 i) 0;若方程有实数根，求锐角和实数根;解：设实数根是a ,则a2 (tani)x (2 i) 0,即 a2 a tan 2 (a 1)i 0, a、tanR,2.a a tana 1 0;2 0,1 a 1,且 tan 1,又 04 1a1；2、若关于x的方程x2 (1 2i)x 3m i0有实根，则实数m等于()B. -i1212D.1 .一 i12【向量计算】2i。过A、B C做平1、在复平面上，设点A、B、C ,对应的复数分别为i,1,4行

17、四边形ABCD ,求此平行四边形的对角线 BD的长。解：由题知平行四边形三顶点坐标为A(0,1), B(1,0),C(4,2),设D点的坐标为uuu uur x 41,x 3D(x, y)。因为 BA CD ,得(1,1) (x 4, y 2),得得 ,y 2 1. y 3uuur一即 D(3,3)所以 BD (2,3),则 | BD | 而。2、(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD勺两个顶点A, B对应的复数分别为1 2i , 3 5i。求另外两个顶点C, D对应的复数。解：设 D (x,y )uuurAD x yi (1 2i) x 1 (y 2)i (x 1,y 2)uuur uuuAD AB (x 1)2 7( y 2) 0uuurADAB 扃J(x 1)2 (y 2)2底6或 x 8Zd6或Zd 8 4i0 y 4由 zuucr ZUUD Zc Zb Zd ZaZcZd Za ZbZd6 或 Zd 8 4izc4 7/zc 10 3iuuu uuir uuu3、在复平面内，O是原点，OA,OC , AB表示的复数分别为 2 i, 3 2i, 1 5i ,uuu那么BC表示的复数为4-4i4.如图在复平面上， 一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1 2i ,正方形的第四个顶点对