向量的线性运算

1、2.1 向量的线性运算§ 2.1.1 量的概念、自主学习课本P7779,回答下列问题。1、高中阶段，我们暂且把具有 的量称为向量，如无特别说明，以后我们说至y向量，者B指。2、具有方向的线段叫， 表示向量的方向， 叫I3、 的有向线段表示同一向量或相等向量，记作 。4、通过有向线段 AB的直线，叫做向量 AB的,如果向量的基线 例2.设平面内给定一个四边形 ABCD , E、F、G、H分别是边 AB , BC , CD , DA的中点，求证EF = HGo例1.。是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出与 OA、OB、OC相等的向量则称这些向量共线或平行，向量 a平行于b,记作5、有

2、下列物理寸;：质量功其中不是向量的有（速度 位移）力加速度路程密度A. 1个B. 2个6、下列命题中,正确的是（A. b = ）=a = bb- trC. 3个D . 4个)B. a > b 二 a a bD.7、如图，在 ABCD中，E, F分别是 AB、CD的中点，图中的7个向量中，设 AE=a , DA =b,则与a相等的向量有,与b相等的向量有,与a平行的向量有 ,与b共线的向量有 、典型例题四、作业:1、给出下列四个命题力、位移、速度、加速度都是向量所有的单位向量都相等共线的向量一定在同一条直线上 模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是（）A . 0B. 1C, 2D, 4

3、2、 下列结论中，正确的是（）A .向量AB与CD共线和AB / CD同义B ,零向量只有大小，没有方向* ? I- - k ¥C .若a=b则a = b或a=-b D .若两个向量共线，则这两个向量在同一条直线上3、 点0是平面上一定点，点 P在点0 “东偏北60° , 3cm”处，点 Q在点0 “南偏西30 ° , 3cm ”处，则点Q相对于点P的位置向量是（A . “南偏西 60 ° , 6cm ”C . “西偏南 60° , 6cm ”5、BO , CO 是（A?相等向量B.平行向量B. “南偏西 30° , 3cm”D. “

4、西偏南 30° , 3cm”设OABC的外心，则A0 , ）C ?模相等的向量D.起点相同的向量6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时,它们的终点构成的图形是7、在四边形 ABCD中，AB= DC，且| A* = AD ,则四边形 ABCD的形状是8、若A地位于B地东5km处，C地位于A地北5km处，则C地对于B地的位移是 § 2 .1.2向量的加法1 .已知向量a, b,在平面上任取一点 A,作AB = a , BC = b,再作向量AC,则向量AC叫做a与b的,记作,即a+b= AB - BC二上述求两个向量和的作图法则，叫做 。2 .已知两个不共线向量 a,

5、b,作AB?二a , AD = b,则A, B, D三点不共线，以 AB,AD为邻边作平行四边形 ABCD ,则对角线上的向量 AC二.这就是向量求和的 O3 . 已知向量a, b, c, d在平面上任选一点 0,作0A = a , AB = b , BC = c , CD = d ,贝U 0D =0A AB BC CD =a b c d。已知n个向量，依次把这 n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的A. 1B. 2C. 3D. 2. 24 .若0是止方形ABCD的中心，已知 AB = a , BC = b , OD = c,贝9 a b+c表示的向量是(A. ODB. OB

6、C. OAD. OC5.下列命题(1)如果非零向量 a与b的方向相同或相反,那么a- b的方向必与a、b之一的方向相同；(2)A ABC 中,必有 AB BC CA = O(3)若AB BC CA =O,则A、b、C为一个三角形的三个顶点(4)若a , b均为非零向量，则 a + b与a + b 一定相等其中真命题的个数是()A . 0B . 1C . 2D . 36 .已知|AB = 8, AC = 5,则网的取值范围是()A . :3,8B . ( 3,8)C. :3,13 D. ( 3,13)终点 为终点的向量叫做 o这个法则叫做向量求和的 4 .向量加法的性质：交换律结合律 a o =

7、、典型例题例1 .某人先位移a :"向东走3km ”，接着再位移向量b :"向北走3km ”，求a + b四、作业：1 . AB CA BD =()A. ABB. BCC. CDD. BA2 .已知ABCD是菱形，则下列等式中成立的是 ()A. AB BC 二 CA B. AB AC =BC C. AC BA = ADD. AC AD =DC3 .已知正方形 ABCD的边长为1,贝U AB + BC +AD +DC 为()8 .矩形ABCD中，§ 2.1.3 量的减法一、复习：1、向量加法的法则2、向量加法的性质二、自主学习P8485回答下列问题。1 .如果把两个

8、向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以 为起点， 的终点 的向量，即OAOB =*9 -2. 与向量 a ,叫 a的相反向量，记作 ,显然 a (-a) =。3. 一个向量减去另一个向量等于加上 。-?-F 9- ? ?4. ( 1) - (- a ) =(2) a +(- a )= (- a)+ a = -rfc-f fc-(3)如果a , b互为相反的向量，那么 a = , b = , a + b =三、典型例题例女口图，平行四边形 ABCD , AB=a, AD=b ,试用a b表示向M AC、DB。6.若a / b且|a - b ： : : l a - b |,则a与b的关系为变式一

9、：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂宜？变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|?变式三：a+b与a-b可能是相等向M吗？变式四：证明：11a - b| w|a为+b| ,并说明什么时候取等号？7 .若向量 AB 与 BC 共线反向，| AB |=2003 , | BC |=2004 ,则 | AB BC |=四、课后练习P85 A五、作业：1、AB BC - AD 二(A)AD (B)CD2.如图四边形ABCDA. a -b cC. b -( a c)3.已知非零向量A .方向相同Bo复习1、向量加法的运算法则有2? 1? 4数乘向量(C)DB (D)DC中，设A

10、B =a,D. b-a cb满足关系式：B ?方向相反AD =b, BC =c,则ab应满足的条件是2、向量加法满足的运算律有 自主学习：自学课本 P 86- 87 ,回答：4.化简 AB -AC BD -CD AD 等于(a+b =a b,那么向量C .模相等D.互相垂直1、实数与向量a的积是一个 ,记作 ,它的模与方向规定如下：卜一F F(1)a|=(2) > 0时，'a的方向与a的方向当几<0时，a的方向与a的方向； = 0时，2、实数与向量的积的运算律(1)“(a)二(2) A!，-)a =A. ADB. ACC. AB.(a b) = 5.在 ABC 中，/ C

11、= 90 , | AC F 5 , | BC |=12，设 a = CA ,3、向量的加法、减法和向量数乘的综合运算,通常叫做向量的大小是三、典型例题自学课本P88例1 一例3,完成练习P89,练习A、B 补充例4：在二ABCD中，AB =a, AD =b, AN =3NC,M 为BC的中点，试用a,b表示MN1(4) (a - 2x)= 3(x- a) 26、解关于x的方程。(1) 2(a b)二 3(b- x)3(b -x),则 x等于( 3 -5厂B、一 a b8 8w -w=0,则笔-0或a)5,3, C、a b8 8一 b-fc- r-2a的几何意义就是将向量3_ . 5;C、 a

12、b8 8一 !a沿着a的、作业1、已知 5(x a)5 3 A、一 ab8 82、下列命题：若)a相反方向放大2倍2(a bA (a a) (b b)向量 a的方向与向量a的方向2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算、复习1、向量的运算有、2、向量共线：如果向量的基线互相 或 ,则称这些向 量或 。二、自主学习：自学课本 P90 P92,完成下面的填空：相同，其中正确命题的个数是(A、 1B、 23、l 】(2a 8b)-(4a -2b)二 3 2w f fc- rA、2a -bB、2b -a4、在 ABC 中，已知 BC =3BD ,1 f u (AC 2AB)1 -C、丁 (AC 3A

13、B)_ * f_ ? _ fc-5、化简：(1) 2(a -b) 3(a b)b - aAD =()B、一(AB 2AC)31D、±(AC 2AB)4(2)3(a 2b) -2(a 3b) -2(a b)1、平行向量基本定理：如果 a =-b,则a/b ;反之，如果a/b(b= 0),则一定存在一个实数，使。已知两个向量，我们可以应用平行向量定理来确定它们是否共线，我们可以应用定理来证明几何中的三点共线问题和向量平行问题。零向量方向 , 一般规定零向量 与任何一个向量 。2、 a的单位向量：给定一个非零向量，与 a 且，叫做向量a的单位向量。3、轴上向量的坐标:已知轴I ,单位向量e

14、与I同方向，对轴I上任意向量a, 一定这里的向量e叫做轴l的x叫做a在l上的4、轴上两个向量相等的条件是它们的坐标 ;轴上两个向量和的坐标等于两个 向量坐标的。即：若 a =为e,6 = x2e,贝y a b = （x X2） e。5、 轴上向量的坐标等于向量 的坐标减去 的坐标，即 AB=X2 -xA!o6、 数轴上两点间的距离公式：o三、典型例题：自学课本 P9。一 P91例1 一例3,完成练习A、B补充例4、已知非零向量q和e2不共线，向量 AB = xei3e2,向量AD = 12e, - xe 2,若向量 AB与AD共线，试确定实数 x的值。行，则a二|a|a。；设8 =八？ +入2$2 （需，九2R），则当ei与e2共线时，a与ei也共线，其中正确命题的个数是（）A、。B、1C、2D、35、若a。是a的单位向量，贝 U a与a。 的方向,-与a。的长度。|a|6、 已知数轴上 A , B两点的坐标为 xi, X2,若X2=-1 , BA=-7 ,贝U xi= ;若X2=-6, |AB|=2 ,贝 U X1=四、作业1、下面给出三个命题：非零向量 a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量 a与b共线，则存在唯一实数 ,使a =b ；若a =b,则a与b共线。其中正确的命题的个数 是（）A、 。B、 1C、 2D、 32、 下列命题正确的是（