复变函数04-初等函数

1、2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 1复变函数与积分变换复变函数与积分变换电信系通信工程教研室电信系通信工程教研室 李广柱李广柱 电话：电话手机：手机QQ：46860236 Email：2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 2课前回顾课前回顾复变函数的导数和微分复变函数的导数和微分复变函数的导数复变函数的导数复变函数的微分复变函数的微分解析函数解析函数解析函数的概念解析函数的概念复变函数解析的充要条件复变函数解析的充要条件解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲

2、 - 3本次课讲述的内容本次课讲述的内容初等函数初等函数指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数三角函数三角函数双曲函数双曲函数反三角函数反三角函数反双曲函数反双曲函数2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 4复指数函数的定义复指数函数的定义 定义复数定义复数z=x+iy的的指数函数指数函数为：为：(cossi n )zx iyxeeeyiy 复指数函数复指数函数具有以下性质：具有以下性质：(1). 当当Im(z)=0时，时，f(z)=ex，其中，其中x=Re(z)；(2). |ez|= ex，Arg(z)=y+2k，k是整数；是整数；(3). 加法定理：加法定理：1212zzz

3、zeee2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 5复指数函数的性质复指数函数的性质 复指数函数复指数函数具有以下性质：具有以下性质：(4). ，即，即ez，的周期为，的周期为2ki，该性质是实指数函数所没有的；该性质是实指数函数所没有的；(5). f(z)=ez在整个复平面上解析，且有在整个复平面上解析，且有 ；(6). 注意：注意： 一般不成立。一般不成立。22zk izk izeeee1212()zzz zee( )zzee 12122,zzeezzk ikZ Z2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 6 例：设例：设z=x+iy，求：，求： 解：解：21/(1)| ;

4、 (2)R e()izzee22()2(1 2 )(1) izix iyx iyeee22izxee222211(2) xyix yixyxyzeee22122R e( )cosxxyzyeexy2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 7对数函数的定义对数函数的定义 定义：定义：满足方程满足方程ew=z(z0)的函数的函数w=f(z)称为对数称为对数函数，记为：函数，记为：Lnwz 令令 、 ，则可知：，则可知：wuivizreu iviere(cossi n )uievivrel nl nA rg2uurzervzvkLnl nA rgwzziz2022-2-5 积分变换与复变函数

5、 第4讲 - 8对数函数的性质对数函数的性质 由于由于Argz是多值函数，因此对数函数是多值函数，因此对数函数w=f(z)也是也是多值函数，并且相邻两个值相差多值函数，并且相邻两个值相差2i的整数倍。的整数倍。 如果将如果将Lnz=ln|z|+iArgz中的中的Argz取主值取主值argz，则，则Lnz即转变成一个单值函数，记为即转变成一个单值函数，记为lnz，并称为，并称为Lnz的的主值：主值： 于是有：于是有： 当当z=x0时，时，Lnz的主值的主值lnz=lnx为为实对数函数实对数函数。Lnl n2,zzk ik Z Zl nl n | |argzziz2022-2-5 积分变换与复变函

6、数 第4讲 - 9 例：求例：求Ln2，Ln(-1)。 解：解：(1) l n 2l n |2 |arg(2)l n 2i(2) l n(-1)l n | 1|arg( 1)iiLn( 1)l n( 1)2(21) ,k ikikZ ZLn2l n22,k ik Z Z 在实变函数中，负数无对数，可见，复变数对数在实变函数中，负数无对数，可见，复变数对数函数是实变数对数函数的拓广。函数是实变数对数函数的拓广。2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 10 例：解方程例：解方程 。 解：解：13zeiLn(13 )zi130zeil n(13 )l n |13 |/3l n2/3iiii

7、l n(13 )2l n 2(21/3) ,zik ikik Z Z2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 11对数函数的性质对数函数的性质 (1). ， ；(2). ， ；(3). 对数函数在除去负实轴对数函数在除去负实轴(含原点含原点)外的复平面上处外的复平面上处处连续，处处可导，且导函数为：处连续，处处可导，且导函数为：Lnzez1212Ln()Ln( )Ln( )zzzz1122Ln()Ln( )Ln( )zzzzLn2,zezk ik Z Z1(l n )zz 1(Ln )zz 2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 12对数函数的性质对数函数的性质 证明：鉴于证

8、明：鉴于 除原点与负实轴，除原点与负实轴，在复平面其它点在复平面其它点lnz处处连续，处处连续，z=ew在区域：在区域： 内的反函数内的反函数w=lnz是单值的，因此可以采用反函是单值的，因此可以采用反函数求导的法则：数求导的法则：l nl nargzzizargzd l n111dddwwzezezw2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 13幂函数的定义幂函数的定义 定义：定义：对任意的复数对任意的复数以及复变量以及复变量z，定义，定义幂函数幂函数w=z：Lnzze 即：即：Ln(l n|arg2)zz izk izee 注意：注意：由于由于Lnz是多值的，因而幂函数是多值的，因

9、而幂函数w=z也是也是多值的。多值的。 思考：思考：为什么复指数函数为什么复指数函数ez不是多值的？不是多值的？2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 14幂函数幂函数 当当为整数时：为整数时： 可见，可见，zn具有单一的值，且：具有单一的值，且：Ln(l n| (arg2)(l n|arg ) 2(l n|arg ) nnznzizknzizkn inzizzzeeeeLnl nl nl nl n nnznzzzzzeeeeez zz2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 15幂函数幂函数 当当 (p、q互质，且互质，且q0)时：时： 可见，可见，zp/q具有具有q个值。

10、即取个值。即取k=0,1,q-1时取的值。时取的值。/(l n| (arg2)/l n| /(arg2)/l n| cos(arg2)si n(arg2)p qpzizkqpz q ipzkqpzqzzeeppezkizkqq/p q2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 16幂函数幂函数 特殊情况特殊情况，当，当 ，n为正整数时，有：为正整数时，有： 此即通常所见的幂函数此即通常所见的幂函数w=zn。 当当 时，时，nzzn1/n1/(l n| (arg2)/l n| /(arg2)/1/(arg2)/ | |,0,1,1nz izknz n izknnizknnzzeezez k

11、n2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 17幂函数幂函数 当当 是无理数或者虚数时，有：是无理数或者虚数时，有： 注意到注意到 对不同的对不同的k取不同的值，此时幂函取不同的值，此时幂函数具有无穷多个取值。是个数具有无穷多个取值。是个无穷无穷多值函数。多值函数。2i ke(l n| (arg2)l n2zizkz i kzee2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 18 例：求例：求 、 的值。的值。 解：解：22Ln1221 cos(2 2)si n(2 2),k ieekikk Z Z22Ln22,iik ikiiiieeek Z Z 可见，可见，ii虽然底数和指数都

12、是虚数，但结果却是虽然底数和指数都是虚数，但结果却是实数。实数。21ii2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 19幂函数的性质幂函数的性质 (1) 幂函数幂函数zn在复平面内是单值解析的，且有：在复平面内是单值解析的，且有：1( )nnznz (2) 幂函数幂函数z1/n是多值函数，具有是多值函数，具有n个多支，它的个多支，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，且满足：且满足：111Ln11znnnnzzezn2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 20幂函数的性质幂函数的性质 (3) 幂函数幂函数w=z(除去除去

13、等于等于n和和1/n两种情况之两种情况之外），当外），当为无理数或负数时，是无穷多值的。为无理数或负数时，是无穷多值的。 它的各个分支它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，且有：解析的，且有：1()zz2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 21三角函数的定义三角函数的定义 根据根据Euler公式可知：公式可知：cossi niyeyiycossi niyeyiy 将两式相加与相减，得到：将两式相加与相减，得到：cos2iyiyeeysi n2iyiyeeyi 现在把现在把余弦函数余弦函数和和正弦函数正弦函数的定义推广到自变数的定义推广到自变

14、数取复值的情况，定义：取复值的情况，定义：cos2izizeezsi n2izizeezi2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 22三角函数的性质三角函数的性质 (1). 当当z为实数为实数x时，定义的三角函数与通常的三时，定义的三角函数与通常的三角函数定义式一致的。角函数定义式一致的。(cos )si nzz (si n )coszz (2). sinz是奇函数，是奇函数，cosz是偶函数：是偶函数：sin(-z)=-sin(z)，cos(-z)=cos(z) (3). 正弦函数和余弦函数都是以正弦函数和余弦函数都是以2为周期的：为周期的：sin(z+2)=sin(z)，cos(

15、z+2)=cos(z) (4). 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数，且导函数分别为：数，且导函数分别为：2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 23三角函数的性质三角函数的性质 (5). 正弦函数和余弦函数的几组重要的公式：正弦函数和余弦函数的几组重要的公式：,zkk Z Z12121212121222cos()coscossi nsi nsi n()si ncoscossi nsi ncos1zzzzzzzzzzzzzz (6). sinz=0的根是的根是 cosz=0的根是的根是(0. 5) ,zkk Z Z2022-2-5 积分变换

16、与复变函数 第4讲 - 24 例：解方程例：解方程sinz=0。 解：根据正弦函数的定义，解：根据正弦函数的定义，21si n022izizizizeeeziie21,izezkk Z Z2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 25三角函数的性质三角函数的性质 (7). 在复数域内，以下关系不成立：在复数域内，以下关系不成立：|si n| 1z|cos | 1z 当当z为纯虚数的时候，记为纯虚数的时候，记z=yi，则根据正弦函数和，则根据正弦函数和余弦函数的定义可知：余弦函数的定义可知：cos2yyeeyisi n2yyeeyii 注意到：注意到：l i m si n, l i m

17、cosyyyiyi 2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 26其它三角函数其它三角函数 其它三角函数可以通过正弦函数和余弦函数来定其它三角函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义：义：正切函数：正切函数： 余切函数：余切函数：正割函数：正割函数： 余割函数：余割函数： 与与sinz和和cosz类似，可以讨论它们的周期性、奇类似，可以讨论它们的周期性、奇偶性和解析性。偶性和解析性。si ntancoszzzcoscotsi nzzz1seccoszz1cscsi nzz2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 27双曲函数的定义双曲函数的定义 与三角函数类似，可以将双曲函数推广到

18、复数域，与三角函数类似，可以将双曲函数推广到复数域，定义定义双曲余弦函数双曲余弦函数为：为： 双曲正弦函数双曲正弦函数为：为：ch2zzeezsh2zzeez 双曲正切函数双曲正切函数为：为：shthchzzzzzeezzee2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 28双曲函数的性质双曲函数的性质 (1). 当当z为实数为实数x时，定义的双曲函数与实数域中时，定义的双曲函数与实数域中双曲函数的定义式一致的。双曲函数的定义式一致的。 (2). shz是奇函数，是奇函数，chz是偶函数：是偶函数：sh(-z)=-sh(z)，ch(-z)=ch(z) (3). 正弦函数和余弦函数都是以正弦

19、函数和余弦函数都是以2i为周期的：为周期的：sh(z+2i)=sh(z)，ch(z+2i)=ch(z)2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 29双曲函数的性质双曲函数的性质(ch )shzz (sh )chzz (4). 双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内都双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内都是解析函数，且导函数分别为：是解析函数，且导函数分别为： (5). 双曲正弦函数和双曲余弦函数满足以下一些双曲正弦函数和双曲余弦函数满足以下一些公式：公式：si nshizizcoschizzshsi nizizchcosizz22chsh1zz2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 30反三角函数的定义反三角函数的定义 设设z=cosw，则称，则称w为为z的反余弦函数，并记为：的反余弦函数，并记为：w=Arccosz。由：。由：cos2iwiweezw 可得：可得：2210iwiweze 解此方程，可知根满足：解此方程，可知根满足：2211A rccosLn(1)iwezzwzzzi2022-2-5 积分变换与复变函数 第4讲 - 3