双曲线的定义及其标准方程

1、双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 双曲线在生活中双曲线在生活中 . 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义

2、思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？（2）若）若2a |F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴所在的直线作为坐标轴.).) 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的

3、方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(对称、对称、“简简洁洁”)1F2FMOxy方案二方案二F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()

4、(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22, yx222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线

5、F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1. 过双曲线过双曲线 的焦点且垂直的焦点且垂直x轴的弦的长度轴的弦的长度 为为 .14322yx3382. y2-2x2=1的焦点为的焦点为 、焦距是、焦距是 .),(260 6练习巩固练习巩固:3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示双曲线的充要条件表示双曲线的充要条件 是是 . -2 680|AB|680m, ,所以爆炸点所以爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. .

6、 例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点

7、的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .例例2 2: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1

8、)0m m由由例例3【名师点评名师点评】双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用用跟踪训练跟踪训练1对双曲线定义的理解对双曲线定义的理解双曲线定义中双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不要漏了绝对值，不要漏了绝对值符号，当符号，当2a|F1F2|时表示两条射线时表示

9、两条射线解题时，也要注意解题时，也要注意“绝对值绝对值”这一个条件，若去掉定义中的这一个条件，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支2双曲线方程的求法双曲线方程的求法求双曲线的标准方程包括求双曲线的标准方程包括“定位定位”和和“定量定量”“定位定位”是是指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使方程的右边为方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，“定量定量”是指确定是指确定a2，b2的值，即根据条件列出关于的值，即根据条件列出关于a2和和b

10、2的的方程组，解得方程组，解得a2和和b2的具体数值后，再按位置特征写出标准的具体数值后，再按位置特征写出标准方程方程精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示易错警示易错警示 双曲线定义运用中的误区双曲线定义运用中的误区例例4【常见错误常见错误】(1)利用双曲线定义利用双曲线定义|PF1|PF2|8求求|PF2|时，时，易忽略绝对值号，而错选易忽略绝对值号，而错选A.(2)根据双曲线的定义可得到答案根据双曲线的定义可得到答案C，但由于双曲线上的点到，但由于双曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是双曲线焦点的最小距离是ca642，而，而|PF2|12，不，不合题意，所以应该舍去，造成错误的原因是忽略双曲线的相合题意，所以应该舍去，造成错误的原因是忽略双曲线的相关性质，没有检验关性质，没有检验|PF1|PF2|10|F1F2|造成的造成的【解析解析】双曲线的实轴长为双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得，由双曲线的定义得|PF1|PF2|8，所以所以|9|PF2|8，所以所以|PF2|1或或17.因为因为|F1F2|12，当，当|PF2|1时，时，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合公理不符合公理“两点之间线段最短两点之间线段最短”，应舍去，应舍去所以所以|PF2|17.【答案答案】B【失误防范失误防范】运用双曲线的定义解决相关问