一元二次方程的根与系数的关系

1、元二次方程的根与系数的关系一、目标认知学习目标1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系；2能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个数为根的一元二次方程.重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以与在各类问题中的运用.难点一元二次方程的根与系数的关系的运用.、知识要点梳理一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个实根是xi, x 2,那么. 注意它的使用条件为a丰0,A> 0.三、规律方法指导一元二次方程根与系数的关系的用法：

2、不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根； 方程的一个根，求另一个根与未知系数； 不解方程，求一元二次方程的根的对称式的值； 方程的两根，求这个一元二次方程； 两个数的和与积，求这两数； 方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值;四、经典例题透析 讨论方程根的性质。1. 一元二次方程的一个根，求出另一个根以与字母系数的值1.方程x2-6x+m2-2m+5=0 个根为2,求另一个根与 m的值.思路点拨：此题通常有两种 做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出 m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根与m的值.解：法一：把x=2代入原方

3、程，得2 22 -6 x 2+m-2m+5=02即 m-2m-3=0解得 m=3， m=-1当m=3，m=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0/ X1=2，X2=44，m的值为3或-1.x.方程的另一个根为法二：设方程的另一个根为 那么2. 判别一元二次方程两根的符号2. 不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况思路点拨：因为二次项系数，一次项系 数，常数项皆为，可求根的判别式，但只能用于判定根存在与否，假设判定根的正负， 那么需要考察X1 X2或X1+X2的正负情况2解：/ =3-4 X 2X (-7)=65 > 0方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为Xi, X2,原方

4、程有两个异号的实数根总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式，“根与系数的关系结合起来进展确定.另外此题中X1 X2V 0，可判定根为一正一负，假设X1 X2> 0,仍需考虑X1+X2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.举一反三：【变式1】当m为什么实数时，关于 x的二次方程 mX2(m+1)x+m-仁0的两个根都是正 数.思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大 于零，根的判别式大于等于零.解：设方程的二根为Xi, X2,且Xi >0, X 2>0, 那么有2由 =-2(m+1)-4m(m-1) > 0,解得：/0, m>

5、 0 或 m< 0,上面不等式组化为：由得m> 1 :不等式组无解. m> 1当m> 1时，方程的两个根都是正数.总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a工0的条件.【变式2】k为何值时，方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=01两根互为相反数；2两根互为倒数；3有一根为零，另一根不为零.思路点拨：两根“互为相反数、“互为倒数，“有一根为零，另一根不为零等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，那么X1 =-X 2，即X1+X2=0；互为倒数，那么 X1 = ,l卩X1 -X2=1，但要注意考察判别式0.解：设方程的两

6、根为X1, X2,那么X计X2=X1X2=1要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即 x计X2=,. k=0 ,当 k=0 时， =(4k) 2-4 X 2(k+1)(3k-2)=16>0当k=0时，方程两根互为相反数.2要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1,即x 1X2=1，解得 k=4当 k=4 时， =(4k) -4 X 2(k+1)(3k-2)=-144< 0 k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根3要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即 xiX2=0,解得 k=又当 k=时，xi +X2=,当 k=时， =(4k) -4 x 2(k+1

7、)(3k-2)=> 0, k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，=b2-4ac不得小于零.3. 根的关系，确定方程系中字母的取值围或取值3. 关于x的一元二次方程 x2-3x+k+仁0的两根的平方和小于 5，求k的取值围.解：设 方程两根分别为xi， X2 ,xi+x2=3,xi x2=k+12 222/ xi+X2 =(x 1+X2) -2x 1x2=3 -2(k+1) v 5 k > 12又 =(-3) -4(k+1) > 0 k w由得：1 v k w .总结升华：应用根的判别式，条件，构造不等式，用不等式组的

8、思想，确定字母的取值 围.举一反三：【变式1】方程x2+2(m-2)x+m 2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21,求m的值.思路点拨：此题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大2T转化为关于m的方程，就可求得 m的值.解：方程有两个实数根， =2(m-2) 2-4 x 1 x (m2+4) > 0解这个不等式，得mw 0设方程两根为X1，X2，2 X1+X2=-2(m-2)x 1 X2=m+42 2/ X1 +X2 -x 1X2=212 (x 1+X2) -3x 1X2=212 2 -2(m-2)-3(m +4)=21整理得：m-16m-17=0解得

9、：m=17，m=-1又 T mW 0， m=-1.总结升华：1.求出m=17， m=-1后，还要注意隐含条件mW0，舍去不合题意的 m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4ni=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3 ，求m的值.思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程.解：由于与是方程x2-7mx+4ni=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3.所以，得方程4甫-7口-2=0 .解这个方程，或 m=2经检验，或 m=2都能使判别式 =(7m)2-4 x (4m)=33m2> 0,

10、所以，m=2都符合题意.总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十 分必要的.讨论方程的实数根的问题， 只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件.4. 求简单的关于根的对称式的值.在关于一元二次方程的根 X1与X2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用X计X2与X1X2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决.如+ , , (1+X 1)(1+X 2)都是对称式，它们可以变形为用X1+X2与X1X2表达的式子，如(1+X i)(1+X 2)=1+(X i+X2)+X

11、 1X2,+ =(X1+X2)2-2x 1X2 ,24. 如果与是方程2x +4x+仁0的两个实数根，求的值.思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式2解：TA =b -4ac=8 > 0,方程有实根.£ + 俨二(口 +戸一如二- - = 4-= .二'-举一反三：【变式1】与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值.思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算.解：由于0,v 0,所以> 0,方程一定有实根.于是把=与=-代入，得总结升华：这是一个无

12、理数系数的一元二次方程， 如果分别求出根与的值， 计算过程将 冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地到达简化计算过程的目的， 读者如果用求根 后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会.5 .利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否方程的根，能够求出以两 个数为根的一元二次方程.事实上，我们有这样的定理：如果两个实数X1与X2使得X1+X2=-p，且X1X2=q，那么X1与X2是方程x +px+q=0的两个根.证明如下：由于 X1+X2=-p， X1X2=q，那么方程2x +px+q=0可以化为X2-(X 1+X2)X+X 1X2=0 ,X2-X 1X-X 2X+XiX2=0,X(X-X

13、 i)-X 2(X-X 1)=0 ,(X-X 1)(X-X 2)=0 ,.X=X 1 或 X=X2.这就是说，Xi和X2是方程x2+px+q=0的两个根.5. 判断以下方程后面括号的两个数是不是方程的根：2x -8x-20=0，(10，-2)；2 6y +19y+10=0,;(3)a 2-2a+3=0 ； (+ ； -+).解：(1)/ 10+(-2)=+8=-(-8)； 10X (-2)=-20 ；.10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根;(2)-；2.-与-是方程6y +19y+10=0的两个根；(3)虽然有(+)(-+)=+3；但是(+)+(-+)=+2 丰-(-2);2所以+与 -+不是方程a +2a-3=0的根.6. (1)作一个以-与为根的