第3章向量ppt课件

1、n高斯消元法高斯消元法n向量组的线性相关性向量组的线性相关性n向量组的秩向量组的秩n向量空间向量空间*n线性方程组解的构造线性方程组解的构造nMathematica软件运用软件运用第第3章章 向量向量 线性方程组线性方程组定义定义1 n个变量、个变量、 m个方程的线性方程组个方程的线性方程组 当常数项当常数项bi不全为不全为0时时, 称为非齐次线性方程组称为非齐次线性方程组; 当常数项当常数项bi全为零时全为零时, 称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组, 也称作非齐也称作非齐次次线性方程组的导出组线性方程组的导出组. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2112222

2、212111212111称为称为n元线性方程组元线性方程组; xj为变量为变量,aij为第为第i个方程变量个方程变量xj的的系数系数,bi为第为第i个方程的常数项个方程的常数项, i=1,2,m; j=1,2,n.第第3.1 节节 高斯消元法高斯消元法 1. 线性方程组的概念线性方程组的概念假设记假设记()111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa12nxxxx 12mbbb 系数矩阵系数矩阵未知量矩阵未知量矩阵常常数数项项矩矩阵阵11121121222212()nnmmm nmaaabaaabAAaaab 增广矩增广矩 阵阵线性方程组与其增广矩阵相互独一确定线性方程

3、组与其增广矩阵相互独一确定 当线性方程组有解时当线性方程组有解时, ,称方程组是相容的称方程组是相容的, ,否那否那么么便是不相容的便是不相容的. . 当线性方程组有无穷多解时当线性方程组有无穷多解时, ,其全部解的集合其全部解的集合称为方程组的通解或普通解称为方程组的通解或普通解. .解集合中的每一个元解集合中的每一个元素称为特解素称为特解. . “解方程组解方程组, ,就是判别线性方程组能否有解就是判别线性方程组能否有解, ,在在有解时求得满足方程组的独一解或全部的解有解时求得满足方程组的独一解或全部的解( (通解通解) )的过程的过程. . 定义定义2 称满足上述方程组的一个有序数组称满

4、足上述方程组的一个有序数组x1=k1, x2=k2, xn=kn为方程组的一个解为方程组的一个解,普通记作列向量普通记作列向量(列矩阵列矩阵)方式方式12nkkk 2.高斯消元法高斯消元法例1 解线性方程组 123123123346441270 xxxxxxxxx123123123346441270 xxxxxxxxx 346411411270A 方方程程组组增增广广阵阵解12123123123413464270rrxxxxxxxxx 12114134641270rr 21313123232341718131rrrrxxxxxxx 213131141071810131rrrr 23231232

5、323411141310131071817181rrrrxxxxxxx323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx 123452xxx 得100401050012察看知察看知:高斯消元法求解线性方程组与对线性方程组高斯消元法求解线性方程组与对线性方程组增广矩阵进展初等行变换一一对应增广矩阵进展初等行变换一一对应 ！解线性方程组！解线性方程组可以利用其增广阵进展初等行变换实现可以利用其增广阵进展初等行变换实现.行最行最简形简形矩阵矩阵323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵3. 线性方程组解的断

6、定线性方程组解的断定 定理定理1 线性方程组线性方程组Ax=有解有解系数矩阵与增广系数矩阵与增广矩矩阵的秩相等，即阵的秩相等，即r(A)= r(A | ).假设假设r(A)=r(A ) = r=n时，那么方程组有独一解；假设时，那么方程组有独一解；假设r(A)=r(A ) = rn时，那么方程组有无穷多解时，那么方程组有无穷多解. 综上所述，得到用消元法解方程组的步骤：综上所述，得到用消元法解方程组的步骤： (1)写出方程组的增广矩阵写出方程组的增广矩阵 ， (2)对对 施行初等行变换化为行阶梯形施行初等行变换化为行阶梯形B； (3)判别能否有解？判别能否有解？ (4)假设有解假设有解, 继续

7、对行阶梯形矩阵继续对行阶梯形矩阵B施行施行初等行变换化成行最简形初等行变换化成行最简形C， (5)由行最简形由行最简形C直接写出原方程组的解直接写出原方程组的解.AA例例2 2 解线性方程组解线性方程组 123412341234232233522xxxxxxxxxxxx213121121311213(| )22335001111112200111rrrrAA b 32122112131103 10011100111000000000 0rrrr 解解 对增广矩阵施行初等行变换，得对增广矩阵施行初等行变换，得，得得通通解解：，令令2412cxcx方程组的通解为：1122112324213,1xc

8、cxcc cRxcxc 12121234113010,.101001xxccc cRxx 写写作作向向量量式式即即例例3 解线性方程组解线性方程组解解 对增广矩阵施行初等行变换：对增广矩阵施行初等行变换：简简形形吗吗？化化简简直直到到化化成成行行最最此此时时还还有有必必要要继继续续思思考考：该方程组无解该方程组无解.123123123332323422xxxxxxxxx 213134133 213323123010113421 2010116rrrrA 32133 20101130003rr 例4 以下线性方程组能否有解？假设有解,求出全部解.21313413321332(1)31230101

9、134212010114rrrrA ( )( )12312341231234123123332321323254422441xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解 对增广阵施行初等行变换，得3213320101130001rr ( )23( ).r Ar A，原原方方程程组组无无解解()()24.r Ar A ，方方程程组组有有无无穷穷多多解解 213141113211132(2)111540028644101003129rrrrA 23212123111321101100143001430000000000rrrrr 112211232421,34xccxcc cRxcxc 12121

10、234111010,.304001xxccc cRxx 写写作作向向量量式式即即01122ccAx=的特解的特解导出组导出组Ax=0 的解的解方程组的通解为：例例5 5.1234123412341234212722475abxxxxxxxxxxxxaxxxxb当当 、 取取何何值值时时，线线性性方方程程组组有有解解？有有解解时时求求其其解解1232422772111103313111121111272240993147115066214rrrrrrAaabb 解解 对增广矩阵施行初等行变换，得对增广矩阵施行初等行变换，得11112033130000500008ab行行变变换换122131321

11、0011112130331311011300000000000000000000rrrA 当当a=5,b=8时时,方程组有无穷多解，此时继续化简至行方程组有无穷多解，此时继续化简至行最简形：最简形：343142xxxcxc 取取、为为自自由由未未知知量量, ,令令，得得通通解解：122123142213113xcxccxcxc .:301201100011214321ccxxxx即即12().ccR 、例例6 612312321231(1)2)3).kkxxxxkxxkxxkxk 取取何何值值时时，非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有唯唯一一解解? ?( (无无解解? ?( (有有无无穷穷多多

12、解解? ?有有解解时时求求其其解解)2()1(1111112 kkkkkAA的的行行列列式式系系数数矩矩阵阵;210|1时时，有有唯唯一一解解且且，即即当当）（ kkA2222123(1) (1)(1)(1) (1)DkkDkDkk 依依克克拉拉默默法法则则，计计算算得得，解解2)1(21212321 kkxkxkkx，得得唯唯一一解解：(2)2:k 当时，对增广矩阵施行初等行变换当时，对增广矩阵施行初等行变换12323112221110333()12121212112 4033 612120333000 3rrrrrrrrA ( )23().r Ar A ，方方程程组组无无解解 1321 x

13、xx即即 23122111cxcxccx 10101100121321ccxxx( )()13,r Ar A 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 同同解解方方程程组组为为 :13行行变变换换时时，对对增增广广矩矩阵阵作作初初等等当当）（ k21311111111()1111000011110000rrrrA ,232132xxxcxc取取、为为自自由由未未知知量量 令令得得一一般般解解).(21为为任任意意常常数数、cc齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法解存在性判别方法 齐次线性方程组系数阵齐次线性方程组系数阵A和增广阵和增广阵(A|O)的秩总是相等的的秩总是相等的. 定理定理

14、2 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0恒有解，且恒有解，且 当当r(A)= n时有独一零解时有独一零解; 当当r(A)n时有非零解时有非零解(无穷多解无穷多解). 推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组Amn x=0,当当m2)中有某一个向量i可以由其他s-1个向量线性表示,1,121sskkkk,使使即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 ssskkk1112211整理得整理得无妨设向量无妨设向量s可以由其他可以由其他s-1个向量线性表示个向量线性表示.112211ssskkk .2211 sskkk(充分性充分性) 利用上述定义,容易得到以下结论:(2)只需一个向量组成的向

15、量组假设该向量为零向量那么线性相关;假设该向量为非零向量那么线性无关;(3)只需二个向量组成的向量组假设它们对应分量成比例,那么线性相关;否那么线性无关.(4)一个向量组中含有零向量,那么该向量组线性相关.从而我们有零解次线性方程组是否有非齐线性相关性其实等价与，故向量形式为齐次线性方程组的由于,0212211ssskkk ).(,)5(2121ssrss 线性相关（无关）线性相关（无关）向量组向量组.100,010,00121 n 其其中中一一定定线线性性无无关关，证证明明：基基本本单单位位向向量量组组例例n ,321例4TTT),(,),(,),(:113312211321 线线性性相相关

16、关判判断断下下面面的的向向量量组组是是否否.,321是是否否为为列列满满秩秩阵阵只只要要判判断断矩矩阵阵 A.)(无无关关满满秩秩，则则该该向向量量组组线线性性，AAr3 2300410321132111321,321初初等等行行变变换换 A.|可可见见原原向向量量组组线线性性无无关关，经经计计算算，式式给给出出判判断断：恰恰为为方方阵阵，可可借借助助行行列列另另外外，此此时时023 AA解解例5TTT)11,135 , 3(,)3, 3 , 13(,)45, 2 , 3(:321，线性相关判断下面的向量组是否 .,321是是否否列列满满秩秩即即可可解解：只只需需判判断断矩矩阵阵 A.)(量量

17、组组线线性性相相关关不不是是满满秩秩矩矩阵阵，则则该该向向，AAr32 00000011011111341335512333,321初等行变换A可可得得），的的一一组组非非零零解解如如（若若任任取取方方程程组组,TAx11200112321 )(6)利用反证法利用关系否则线性无关则线性相关非零解若此齐次线性方程组有的齐次线性方程组关于利用已知条件将其划为然后充分）利用定义：首先设（一般有三个思路：？如何判断其线性相关性对于抽象向量组)(;)(., 0,21221121iiiiikkkkkkissss例例5 5 向量向量1,1,2,2,3 3线性无关线性无关, , 试证：试证：1+1+2,2,2

18、+2+3, 3, 3 +3 +1 1也线性无关也线性无关. .证：设有数证：设有数 k1,k2,k3使使 k1(1+2)+ k2(2+3)+k3(3 +1)=0 (*)整理得整理得 (k1+k3 )1+(k1+k2)2+ (k2+ k3)3 =0由由 1,2,3 线性无关线性无关,得得 000322131kkkkkk 000321kkk即当且仅当即当且仅当k1=k2=k3=0 时时(*)式式 成立；因此向量组成立；因此向量组1+2,2+3, 3 +1线性无关线性无关.4. 断定线性相关的几个定理断定线性相关的几个定理定理定理1 设向量组设向量组1，2 ，r线性相关线性相关,那么向量组那么向量组

19、1，2 ，r ，r1 ，s必线性相关必线性相关,即一个向量组即一个向量组的部分组线性相关的部分组线性相关,那么这个向量组也一定线性相关那么这个向量组也一定线性相关.知向量组知向量组1，2 ，r线性相关线性相关,证证rkkk,21,使使那么存在一组不全为零的数那么存在一组不全为零的数 rrkkk2211 srrrkkk0012211于是有于是有r ,21sr ,1故向量组故向量组线性相关线性相关.假设向量组的部分组线性相关假设向量组的部分组线性相关,那么该向量组也线性相关那么该向量组也线性相关.推论推论 假设一个向量组线性无关假设一个向量组线性无关, ,那么它的任何部分组那么它的任何部分组一定线

20、性无关一定线性无关. .定理定理2 假设向量组假设向量组1, 2,s线性无关线性无关,而而1, 2,s, 线性相关线性相关,那么那么必可由向量组必可由向量组1, 2,s线性表线性表示示,且表且表示法独一示法独一.证证 因因1, 2,s, 线性相关线性相关, 故有不全为故有不全为零的数零的数 12,sk kk k使使1122.0sskkkk 那么必有那么必有k0.假设不然假设不然,那么有那么有112212.0(,.,)ssskkkk kk 不不全全为为零零这与这与1, 2,s 线性无关矛盾线性无关矛盾.因此因此有有1212.sskkkkkk 独一性独一性:1122.sslll 设设另另有有两式相

21、减，得两式相减，得1212.0sskkklllkkk即即 1212,.,sskkklllkkk 独一性得证独一性得证.121122()().()0ssskkklllkkk由由 1, 2, s线性无关，线性无关，有有假设向量组假设向量组A线性无关线性无关, 那么其接长向量组那么其接长向量组B也线性也线性无关无关.jjjjjjrjrjrjaaaajsaaa 11221,1,2, 这这里里，定理定理3 知向量组知向量组A: 1,2 ,s 及及 B: 1 , 2, s, 低维无关低维无关,那么高维无关那么高维无关 ;反之反之,高维相关高维相关,那么低维相关那么低维相关.推论推论 假设向量组假设向量组1

22、 , 2, s线性相关线性相关, 那么其那么其截短向量组截短向量组 1,2 ,s 必线性相关必线性相关. 定理定理4 设设1,2,s可由可由1,2,t线性表示线性表示,假设假设st, 那么那么1,2,s线性相关线性相关. 推论推论1：假设：假设1,2 ,s线性无关且可由线性无关且可由 1, 2 ,t线性表示，那么必有线性表示，那么必有st. 推论推论2：两个等价的线性无关向量组所含向量：两个等价的线性无关向量组所含向量个数一样个数一样.推论推论3：n+1个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.,)(,212121必线性相关以所但线性表出，基本单位向量组维必可由维向量组显然，knknknnkn第

23、第3.3节节 向量组的秩向量组的秩 在线性相关性实际的根底上在线性相关性实际的根底上, , 给出向量组给出向量组的极大无关组及向量组的秩等重要概念的极大无关组及向量组的秩等重要概念; ;同时同时提供一种研讨矩阵问题的有效方法提供一种研讨矩阵问题的有效方法. . n向量组的极大无关组向量组的极大无关组n向量组的秩向量组的秩n向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系1.1.向量组的极大无关组向量组的极大无关组(1)定义定义 设有向量组设有向量组A的部分组的部分组A0:1,2,r 满满足足(i) 1,2,r 线性无关；线性无关；(ii)A中任一向量中任一向量 可以由可以由 1,2,r 线性表

24、示，线性表示，那么称那么称1,2,r为向量组为向量组A的一个极大线性无的一个极大线性无关组，关组，简称极大无关组简称极大无关组. 能否任何向量组都有极大无关组呢？假设有，能否任何向量组都有极大无关组呢？假设有，能否独一？先看一个例子能否独一？先看一个例子例例1 1 调查以下向量组的最大无关组调查以下向量组的最大无关组 （ ），（ ），（ ），（ ），11231231231(0,0,0)2(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)3(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)4(1,0,0)(0,1,0)(1,1,0) 不难归纳不难归纳（ 只只含含零零向向量量的的向向量量组组不不存存在在极极大大无

25、无关关组组；含含有有非非零零向向量量的的向向量量组组必必存存在在极极大大无无关关组组；线线性性无无关关向向量量组组的的极极大大无无关关组组是是其其本本身身；线线性性相相关关组组的的极极大大无无关关组组所所含含向向量量个个数数少少于于原原向向量量组组所所含含向向量量个个数数；向向量量组组的的极极大大无无关关组组可可能能不不唯唯一一1)(2)(3)(4)(5).不存在不存在 2, 3 1, 2, 3 1, 2； 1, 3； 2, 3例例2 证明证明12(1),;(2).nnnnnRRnR 维维基基本本单单位位向向量量组组是是的的最最大大无无关关组组中中任任意意 个个线线性性无无关关的的向向量量都都

26、是是的的最最大大无无关关组组nnnnnnnna aaRa aaaaaR 显显然然线线性性无无关关 又又有有依依定定义义，是是的的一一个个极极大大无无关关组组121212112212(1),;(,),(,),. 证证nnnnnnnRnRR ( (2 2) )设设是是中中任任意意 个个线线性性无无关关的的向向量量，则则，, , 线线性性相相关关，且且知知 可可由由唯唯一一地地线线性性表表示示，故故为为的的一一个个极极大大无无关关组组12121212,. (2) 有关结论有关结论定理定理1 向量组与它的极大无关组等价向量组与它的极大无关组等价; 向量组的两个极大无关组等价向量组的两个极大无关组等价.

27、证由极大无关组的定义证由极大无关组的定义,知向量组可由它的极大无关知向量组可由它的极大无关组线性表示组线性表示;而其极大无关组亦可由该向量组线性表示而其极大无关组亦可由该向量组线性表示.即向量组与它的及大无关组可以相互线性表示即向量组与它的及大无关组可以相互线性表示,因此二因此二者等价者等价. 利用等价关系的传送性，即得利用等价关系的传送性，即得.定理定理2：同一向量组的两个极大无关组所含向量个数：同一向量组的两个极大无关组所含向量个数一样一样. 2.向量组的秩向量组的秩(1)定义定义 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩组的秩,记作记作r(1,2

28、,s ).仅含零向量的向量组不存在最大无关组仅含零向量的向量组不存在最大无关组, ,规定秩为零规定秩为零; ;恣意含非零向量的向量组的秩大于等于恣意含非零向量的向量组的秩大于等于1;1;线性无关向量组的秩等于向量组所含向量个数线性无关向量组的秩等于向量组所含向量个数; ;在秩为在秩为r r的向量组中的向量组中, ,恣意恣意r r个线性无关向量都是这个个线性无关向量都是这个向量组的极大无关组向量组的极大无关组. . 例例3 求以下向量组的秩求以下向量组的秩11231231231(0,0,0)2(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)3(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)4(1,0,0)(

29、1,2,0)(1,2,3)TTTTTTTTTT （ ），（ ），（ ），（ ），1(1)()0;r 123(2)(,)2;r 123(3)(,)3;r 123(4)(,)3.r 解解(2)向量组秩的有关结论向量组秩的有关结论1212121200,:,:,rrpppqqqrr 设设向向量量组组（I I）与与( (I II I) )的的秩秩分分别别为为 、取取各各自自的的极极大大无无关关组组I I与与I II I假设向量组假设向量组(I):1, 2,s 可由向量组可由向量组(II):1, 2,t线性表示，那么线性表示，那么r(1,2,s ) r(1, 2,t)等价的向量组具有一样的秩等价的向量组具

30、有一样的秩.rr因因I I 与与I I等等价价，I II I与与I II I 等等价价，且且I I可可由由I II I线线性性表表示示，可可知知：线线性性无无关关的的向向量量组组I I 可可由由向向量量组组I II I 线线性性表表示示，从从而而000012. 证证例例4 知向量组知向量组 的秩为的秩为 ，且，且isis 121()1 且且12,(1)ss r123213231,ssss 12(,)srr 试证：试证：证证 由条件，知由条件，知1212 ss= =（s s- -1 1) )( () ), ,即即1212, ss可可由由线线性性表表示示，iisss ( (12121)()1 于是

31、有于是有即即1212, ss可可由由线线性性表表示示，有一样的秩有一样的秩.即向量组等价，即向量组等价，3. 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系定理定理2 矩阵矩阵A的秩等于它的秩等于它 的列行向量组的秩的列行向量组的秩.证证 仅证仅证A 的列向量组的秩的列向量组的秩=r(A).设设r(A)= r,而而A 的列的列向量组的秩为向量组的秩为s，故，故A有有s个列向量线性无关个列向量线性无关, 记这记这s列列构成矩阵构成矩阵As ,便有便有()().srr Ar As 另一方面，由另一方面，由r(A)= r知，知，A 有一个有一个r阶子式阶子式Dr0 Dr所在的所在的A的的r个列

32、向量线性无关个列向量线性无关, 因此因此 A 的列向量组的秩为的列向量组的秩为s r 综上所述，综上所述， r = s. |可借助于矩阵求出向量组的秩可借助于矩阵求出向量组的秩.例例5 求以下向量组的秩求以下向量组的秩A行行变变换换行行变变换换125125125321041601421203120004580312000 123(3,1, 6, 4) ,(2,2, 3, 5)(1, 5, 6,8) .TTT ，Ar A 构构造造矩矩阵阵, , ,，只只需需求求出出即即可可123()( ). 解解r Ar 可可见见，则则, , ,123()2()2. 关于向量组的线性关系，有如下结论关于向量组的

33、线性关系，有如下结论 111010:,:,:,:,;ssniiniiAABB(1)(1)向量组中部分组线性无关向量组中部分组线性无关向量组中部分组线性无关向量组中部分组线性无关定理定理3 假设矩阵假设矩阵Amn 经有限次初等行变换化为经有限次初等行变换化为Bmn ,那么那么Amn的列向量组与的列向量组与Bmn的列向量组具有一样的列向量组具有一样的线的线性关系性关系.定理含义：定理含义：311,rriiiiAABB（ ）向量组 的部分组是 的极大无关组（ ）向量组 的部分组是 的极大无关组向量组 的部分组是 的极大无关组.向量组 的部分组是 的极大无关组.;2111111111111nniiii

34、inniiiiikkkkBkkkkA 中中有有组组中中有有）组组（例例61234.(1, 0, 0, 1) ,(0, 1, 0, 1) ,(0, 0, 1,1) ,(2,1, 3,2) .TTTT 求求如如下下向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组, ,并并用用该该极极大大无无关关组组将将其其余余向向量量线线性性表表示示AA 令令，用用初初等等行行变变换换化化 为为行行最最简简形形：1234(,) A100210021002010101010101001300130013111201140000 故故向向量量组组的的秩秩为为3 3，是是向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组, ,且

35、且123,解解412323.例例7 可以借助向量组讨论矩阵可以借助向量组讨论矩阵 1112121222121212,C nnnssssnbbbbbbbabm ss nABr ABr A r B设设矩矩阵阵、，则则 ()min ( ), ( ) 证证 易知，矩阵易知，矩阵AB=C的列的列(行行)向量组可以由向量组可以由A的列向量的列向量组组(B的行向量组的行向量组)线性表示线性表示,即即1112111212222212cbcbCcbssmmmsmsaaaaaaaaa及1212( ),( )A nsr Crrrr ABr A r B()min ( ), ( ). 1212( )( ,)( ,)(

36、).c ccb bbmsr Crrr B故故因此因此第第3.4节节 向量空间向量空间 为了更深化地了解线性方程组解的结为了更深化地了解线性方程组解的结构，有必要讨论向量空间及其性质构，有必要讨论向量空间及其性质. n向量空间的概念向量空间的概念n基基 维数与坐标维数与坐标n基变换与坐标变换基变换与坐标变换(1)向量空间的定义向量空间的定义 设设V是是n维向量的非空集合维向量的非空集合, 如如果果V对向量的加法和数乘运算封锁对向量的加法和数乘运算封锁,那么称集合那么称集合V 构构成成一个向量空间一个向量空间. 对向量加法和数乘运算封锁是指对向量加法和数乘运算封锁是指)(,RkVkVV 有有1.1

37、.向量空间的概念向量空间的概念易知：易知：n维向量的全体组成的集合维向量的全体组成的集合Rn是一个向量空是一个向量空间间.当当 n=1时，为直线空间；时，为直线空间； n=2时，即为二维平面空间；时，即为二维平面空间； n=3时，即为三维立体空间时，即为三维立体空间. n3时，时， Rn没有直观的几何意义没有直观的几何意义, 它是解析几何它是解析几何中空间概念的推行中空间概念的推行. n维向量空间维向量空间(2)子空间子空间例1 判别V1,V2能否为向量空间? 定理 Rn的非空子集U构成 Rn 的子空间 U对Rn的线性运算封锁.定义定义 设设U是是Rn的非空子集的非空子集, 假设假设U对向量的

38、线性运算对向量的线性运算封锁，那么封锁，那么U也构成一个向量空间也构成一个向量空间,称称U为为Rn的子空的子空间间 . 显然，有显然，有12323(1)(0,),TnnVa aaa aa 为为实实数数 1221212niTnaaaaaaaV满满足足为为实实数数 ,),( 解解 (1) 因因0=(0,0,0)V1,故故V1是是Rn的非空子集；的非空子集；任取任取 221(0,) ,(0,)TTnnaabbV 故V1是向量空间.V2对加法运算不封锁, 故 V2不是向量空间. (2) 显然显然V2是是Rn的非空子集的非空子集,任取任取 Tnaaa),(21 ,),(221VbbbTn 1122112

39、22(,)2Tnnnnab abababababV 其其中中有有1220VbabaTnn),( .,),(RkVkakakTn120 有有例例2 证明证明证 齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解向向量量的的全全体体，构构成成的的子子空空间间0|0.m nnnAxSARR 000,SSkRSAA 首首先先， 非非空空；此此外外，对对，、， 由由于于，则则的的子子空空间间？构构成成解解的的全全体体能能否否思思考考：非非齐齐次次组组nnmRxA SkkAkkA ，00)()(.nSSR故故 对对加加法法与与数数乘乘运运算算封封闭闭， 构构成成的的子子空空间间()000AAAS ，齐次线性方程组的解空

40、间齐次线性方程组的解空间(3)向量组的生成空间向量组的生成空间 设设，令令，则则 构构成成的的子子空空间间称称其其为为向向量量组组的的生生成成空空间间记记作作（）或或（）12112212121212,|,.,.nssssnsssRLkkkk kkRLRLspan LkRL 显显然然非非空空；及及 、22112211 mmll，1112221122()().nlmlmLkklklLLLR 则则从从而而 对对线线性性运运算算封封闭闭, ,由由定定理理知知 是是的的子子空空间间例例3 设设 12,nR ， 112212,Lkkk k 为为常常数数证明证明L 是是 Rn 的子空间的子空间 .证证定理定

41、理 设设L1, L2分别为向量组分别为向量组1, 2, s与向与向量组量组1, 2, s的生成子空间的生成子空间,且向量组且向量组1, 2, s与向量组与向量组1, 2, s 等价等价,那么那么 L1=L2.等价的向量组生成一样的向量空间2. 向量空间的基 维数与坐标定义 设V是向量空间,假设向量1, 2, rV,满足 (i) 1, 2, r线性无关; (ii) V中任一向量均可由1, 2, r线性表示;那么称向量组1, 2, r是向量空间V的一个基,而r称为向量空间V的维数,并称V为r 维向量空间. 阐明阐明n只含零向量的向量空间没有基只含零向量的向量空间没有基,规定维数是零规定维数是零.

42、n向量空间向量空间V中恣意一个极大无关组都是中恣意一个极大无关组都是V的基的基. n向量空间向量空间V的基不独一的基不独一,但基所含向量个数确定但基所含向量个数确定.n对于对于n维向量空间维向量空间Rn, 恣意恣意n个线性无关的向量均个线性无关的向量均n可作为可作为Rn的一个基的一个基 ,所以所以Rn的维数是的维数是n, 称称Rn为为n维维n向量空间向量空间 .n实践上将实践上将V视作向量组，其秩就是向量空间视作向量组，其秩就是向量空间V的的n维数维数.,.VVV判判断断 是是否否向向量量空空间间 若若是是 求求 的的一一个个基基和和 的的维维数数答案：是向量空间，维数是答案：是向量空间，维数

43、是n1,恣意恣意n1个线性无关解个线性无关解向量都可作向量都可作V的一个基的一个基.例例4 求求V1的一个基及维数的一个基及维数为为实实数数nTnaaaaaaV,),(323210 2(0100) ,(0 01)TTn 取取， ， ， ， ， ，解解构成构成V1一个基一个基,显然显然,V1是一个是一个n1维向量空间维向量空间. 1212( ,) |,0.TninVa aaaRxxx , ,是是的的解解向向量量练习练习例例5 求由向量求由向量i (i=1,2,3,4)生成的子空间的基与维生成的子空间的基与维数数.解解 令令向量组向量组i (i=1,2,3,4)的秩为的秩为3, 且且1,2 ,4

44、线性无线性无关，关，因此因此 dimL(1, 2, 3 ,4)=3; 1,2 ,4 为为L(1, 2, 3 ,4) 的一的一个基个基.123421111211,.30311101 行行变变换换行行变变换换211 111011101121101110111303 101100001110103320000A 1234(,),A 对对A施行初等行变换施行初等行变换,得得定义向量在基下的坐标定义向量在基下的坐标 设设1, 2, , n是是n 维线性空间维线性空间V的一个基的一个基,那么对那么对V 中恣意一向量中恣意一向量，有且仅有一组数，有且仅有一组数k1, k2, , kn,使使1122nnkkk

45、称数称数k1, k2, , kn 为向量为向量 在基在基 1, 2, , n下的坐标下的坐标. 记作记作(x1, x2, , x n)T 或或(x1,x 2, ,xn). 例例6证明证明 1, 2, 3为为 R3的基的基,并求向量并求向量在该基下的在该基下的坐标坐标. 123231411333341 ，由12323141 0 03( , )11 330 1 0033410 0 12 初初等等行行变变换换解解3123,3 02.TR 知知线线性性无无关关，故故为为的的一一个个基基，且且向向量量 在在该该基基下下的的坐坐标标为为， ，.)1 , 0 , 0()1 , 1 , 0()1 , 1 ,

46、1()1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1(2121下的坐标下的坐标及及 nn 练习练习 在在Rn中，求向量中，求向量 =(a1, a2, ,an)在基在基解解 (1) 易知向量易知向量=(a1, a2, ,an)在基在基1, 2,n下的坐标为下的坐标为(a1, a2, ,an)； (2) 由由111221,1,.,21100100110010111001iirri n nnnnaaaaaaaa得得 在在 1 , 2, n下的坐标为下的坐标为(a1, a2-a1, ,an- an-1).同一向量同一向量在不同基下坐标不同！在不同基下坐标不同！3.3.基变换与坐标变换基

47、变换与坐标变换称式称式(*)或或 (*)为基变换公式为基变换公式;A为由基为由基1, 2, n到到1 , 2,n的过渡矩阵的过渡矩阵.定义定义 设设与与是是 维维线线性性空空间间 的的两两组组基基，且且有有如如下下关关系系121211112121212122221122,(*)nnnnnnnnnnnnnVaaaaaaaaa 记记则则可可写写为为（* * *）1112121222121212,(*)(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaAaaaA 定理定理:线性空间线性空间V中恣意两组基之间的过渡矩阵是可中恣意两组基之间的过渡矩阵是可 逆的逆的.证明证明:设设1, 2, n与与1, 2, n是

48、是n维线性维线性空间空间V的的两组基两组基, 且且 (1, 2, n)=(1, 2, n)A. (1, 2, n)= (1, 2, n) B.从而从而 (1, 2, n)= (1, 2, n) BA. 即有即有 BA=E因此因此A可逆可逆.定理定理( (基变换与坐标变换基变换与坐标变换) )设设1, 1, 2, 2, 与与1, 1, 2, 2, n n 是是n n维线性空间维线性空间V V的两个基的两个基, , 且且 ( (1, 1, 2, 2, n)=(n)=(1, 1, 2, 2, n)An)A， 向量向量 V V在上述两基下的坐标分别为在上述两基下的坐标分别为(x1,x2,xn)(x1,

49、x2,xn)及及(y, y2, yn),(y, y2, yn),那么那么坐标变换公式坐标变换公式或或111122221.nnnnxyyxxyyxAAxyyx 例例7 7解解 (1) (1)设由基设由基1, 1, 2, 2, 3 3到到1, 1, 2, 2, 3 3的过的过渡矩阵为渡矩阵为C.C.即即 ( (1, 1, 2, 2, 3)=(3)=(1, 1, 2, 2, 3)C. 3)C.记记A= (A= (1, 1, 2, 2, 3), B= ( 3), B= (1, 1, 2, 2, 3) 3) 有有B=AC.B=AC. 可见可见C C恰为矩阵方程恰为矩阵方程AX=B(AAX=B(A可逆可逆

50、) )的解的解. .3123123123123(1,1,0) ,(0, 1,1) ,(1,0,2)(3,1,0) ,(0,1,1) ,(1,0,4)(1),(2)(3)(2,1,2).TTTTTTTR 设设中中的的两两个个基基分分别别为为与与求求由由基基到到基基的的过过渡渡矩矩阵阵；写写出出坐坐标标变变换换公公式式；求求在在这这两两组组基基下下的的坐坐标标 行行变变换换由由 101 30 1100 522|11 0 1100 10 432012 01400 1 223A B (2) 设向量设向量 R3在上述两组基下的坐标分别为在上述两组基下的坐标分别为(x1,x2,x3)及及(y1, y2,

51、y3),那么有坐标变换公式那么有坐标变换公式这这里里112233522,432 .223xyxCyCxy 123(3),. 首首先先求求 在在基基下下的的坐坐标标 行行变变换换由由713301 21006|110 101013014 2001513B 得得 在基在基 1, 2, 3下的坐标下的坐标为为765(,)13 13 13Ty 713522643213223513522713111432600 Cy (1,0,1) .Tx 即即123, 再再依依据据坐坐标标变变换换公公式式，得得 在在基基下下的的坐坐标标为为第第3.5 节节 线性方程组解的构造线性方程组解的构造

52、 本节利用向量组的线性相关性实际，讨论本节利用向量组的线性相关性实际，讨论线性方程组的解，提示解与解之间的关系线性方程组的解，提示解与解之间的关系 . .齐次线性方程组解的构造齐次线性方程组解的构造非齐次线性方程组解的构造非齐次线性方程组解的构造1.齐次线性方程组齐次线性方程组(Ax=0)解的构造解的构造思索 Ax=0总是相容的(它恒有解，x=0就是它的一个解)，问题：当 Ax=0有非零解 (无穷多解)时，解与解之间具有怎样的关系？构造如何？111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax(1)解向量的性质解向量的性质解的线性组合依然是

53、解解的线性组合依然是解121200.AxkkAx 若若 , , 均均为为的的解解, , 为为任任意意常常数数, ,则则，也也是是的的解解 (2) 解的构造解的构造定义定义(Ax=0的根底解系的根底解系):设设1, 2, , t为为方程组方程组Ax=0的一组解，假设的一组解，假设(i) 1, 2, , t线性无关；线性无关；(ii) Ax=0的任一解都能表为的任一解都能表为1, 2, , t的线性组的线性组合，合，那么称那么称 1, 2, , t为为Ax=0的一个根底解系的一个根底解系.定理：假设定理：假设n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的系数矩阵A的的秩秩r(A)n,那么该

54、方程组有根底解系，且根底解系所那么该方程组有根底解系，且根底解系所含含解向量的个数为解向量的个数为n-r.齐次线性方程组的普通解齐次线性方程组的普通解 (通解通解)为：为： =k1 1+k2 2+kn-r n-r (k1,k2,kn-r为恣意实为恣意实数数) 1, 2, , n-r为一个根底解系为一个根底解系.例例1 求以下线性方程组的一个根底解系，并用根底解求以下线性方程组的一个根底解系，并用根底解系表示全部解系表示全部解.解解 对系数矩阵施行初等行变换化为行最简形对系数矩阵施行初等行变换化为行最简形12341234123420242051050 xxxxxxxxxxxx A12111201

55、24120010510150000 行行变变换换得方程组的一个根底解系：得方程组的一个根底解系：方程组的全部解为方程组的全部解为(,R).kkk k112212r A( )24,422. 得得方方程程组组有有无无穷穷多多解解 基基础础解解系系含含个个向向量量同同解解方方程程组组为为xx2410,01 令令122110,;0001 xxxxxxxx1241243320200 ，即即例例2.|,|的的通通解解，求求方方程程组组余余子子式式的的代代数数中中元元素素且且，已已知知阶阶方方阵阵设设0001111AxAaAAAn.)(.)(,)(,|11101011nArnArnAAnArA故故阶阶子子式

56、式，则则零零的的存存在在非非，则则知知又又因因则则因因,0()1,.Axnr A 因因此此 方方程程组组的的基基础础解解系系只只含含个个向向量量 从从而而方方程程组组的的任任何何一一个个非非零零解解向向量量均均可可作作为为基基础础解解系系*11|0,00AAA EAAxAA 注注意意到到可可见见的的每每个个列列向向量量都都是是齐齐次次方方程程组组的的解解. . 特特别别地地, ,由由知知: :的的第第一一列列即即是是该该方方程程组组的的非非零零解解，故故方方程程组组的的通通解解可可表表作作：解解)(),(11211为任意常数cAAAcxTn例例3,()().m nn kABOr Ar Bn已已

57、知知矩矩阵阵等等式式求求证证：(, , ) ,.iAikBAx 01 20可可见见则则知知 的的任任何何一一列列都都是是方方程程组组的的解解()(),n r Akn r AAx 1212120设设方方程程组组的的基基础础解解系系为为，那那么么向向量量组组，必必由由，线线性性表表示示，因因此此(,)(,)(,)( , , ),kkkBABOABAAAAO 1212120 00证证明明： 记记，则则可可以以改改写写作作，.)()().(),(),()()(证证毕毕即即，nBrArArnrrBrArnk 21212.非齐次线性方程组非齐次线性方程组(Ax=b) 解的构造解的构造 思索思索将其常数项换

58、成将其常数项换成0，得到齐次线性方程组，得到齐次线性方程组Ax=0，称，称为为Ax= 的导出组的导出组.解向量的性质解向量的性质,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbAxaxaxaxb 11112211211222221122即即AxAxAxAxAx 12120,.若若 ， 均均为为= = 的的解解，则则是是导导出出组组= = 的的解解；若若 为为= = 的的解解 是是导导出出组组= =0 0的的解解 则则为为= = 的的解解 )(*,ArnccAxAxAx10的的解解，故故必必存存在在数数是是导导出出组组则则的的特特解解，为为的的任任一一解解，为为设设 *1122()(

59、)12()*1()(,),0.m nn r An r An r Am nn r AAxxcccc ccAxAx 若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有无无穷穷多多解解, ,则则通通解解为为为为任任意意实实数数其其中中为为的的特特解解, ,为为的的基基础础解解系系.,)()(*)(的的解解必必为为的的向向量量解解的的性性质质知知形形如如，根根据据线线性性方方程程组组反反之之，对对任任意意一一组组数数 AxcccccArnArnArn22111)()(*)()(*ArnArnArnArncccccc 22112211即即有有使使得得证证定理定理Ax=b的特解的特解导出组导出组Ax=0的通解的通解

60、2132130432143214321xxxxxxxxxxxxA 111 012111101111310012210000011232初初等等行行变变换换 ,|2bArAr例例4 判别以下线性方程组能否有解，假设有解，试判别以下线性方程组能否有解，假设有解，试求其解有无穷多解时，用根底解系表示其全部解求其解有无穷多解时，用根底解系表示其全部解解 由可得2122143421xxxxx042 xx021021* 而导出组的一个根底解系为而导出组的一个根底解系为1201,001121 故方程组全部解为故方程组全部解为.,*212211为任意常数cccc 同解方程组为同解方程组为令自在未知量可得原方程