宁波理工微积分辅导1-(极限与连续)

1、微积分（微积分（1）辅导）辅导（一）（一）浙江大学数学系浙江大学数学系陈陈 锦锦 辉辉2022-2-52数学的学习数学的学习o 概念要清晰、定理要熟悉；o 计算方法要熟练掌握，并善于总结、归纳；o 养成良好的学习习惯(仔细)；o 通过适当的训练，提高自己分析问题与解决问题 的能力；o 平时要做到：听、记、想；要勤记勤思考.2022-2-532022-2-53第一章、极限与连续第一章、极限与连续知识点：知识点：(1) 数列极限的性质、计算和存在性证明；(2) 函数极限的定义与性质；(3) 函数极限的计算（不定型的极限）；(4) 函数的连续与间断；(5) 闭区间上连续函数的性质.2022-2-54

2、2022-2-54一、数列极限的定义与性质一、数列极限的定义与性质(1)lim00.().(2)0.nnnnnaANnNaAAAaMnNaM 数列极限的定义：对，当时，有几何意义：落在区间，外的项只有有限项数列极限的性质：唯一性：若数列收敛，则极限唯一；有界性：收敛数列一定有界；即：若数列收敛，则存在，对任意均有2022-2-552022-2-55数列极限的定义与性质数列极限的定义与性质（续）（续）lim000. ().23000.nnnnnaAANA AnNaANnNAaAaA 保号性：若，则：对，当时，有实际应用时，常取、数列极限保号性的证明：取，对此，当时，有即：【注】：数列极限保号性与

3、函数极限保号性在证明与极限有关的问题时，经常用到.2022-2-562022-2-56【例题例题1】( )( )0( )0( )().f xabfafbf xab设在 ，上可导，且，则：在 ，内有最大值1122( )( )(1)( )lim00( )( )0( )( ).0( )( ).(2)( )( )(1)( )()( )max( ).xaa x bf xf afaxaf xf aaxaf xf axabxbf xf bf xabf xabf xabff x 由于，则：，当时，同样，当时，又在 ，上连续，从而在 ，上有最大值，根据的最大值不可能在端点取到；因此，存在，使得【注( )()(

4、)0.f xabFermatf】：若在 ，内可导，由定理，2022-2-572022-2-57二、数列极限的存在性二、数列极限的存在性0(1)() limlimlim.(.) nnnnnnnnnnnnnnabcabcacAbAnnac两边夹 夹逼 定理：若数列、满足，且，则：上面不等式只要对成立即可【注】：利用两边夹定理证明数列收敛，关键在于适当的“缩放”，即“缩小”、“放大”后所得的数列与极限存在且相等；否则说明不了问题.2022-2-582022-2-58【例题例题2】 22262626212lim.12nnnnnn计算：2226262622223622226262362222626262

5、121212(1)(21)6112(1)(21).6(1)(21)1(1)(21)1limlim.633612lim12nnnnnnnSnnnnnn nnSnnnn nnSnnnnn nnn nnnnnnnnnn记，则：，而，因此，1.32022-2-592022-2-59数列极限的存在性数列极限的存在性（续）（续）.nan【注】：利用单调收敛准则证明数列极限的存在，关键在于证明数列既是单调的，又是有界的；单调递减有下界，单调递增有上界由于数列通项与有关，因此，证明数列单调与有界时，数学归纳法是很实用的方法 可根据实际情况先后证明单调性或有界性.单调递增数列的极限为其最小上界；单调递减数列的极

6、限为其最大下界.(2).单调收敛准则：单调有界数列一定有极限2022-2-5102022-2-51011122123111212(1)()( ).( )()().()().nnnnnnnnnnnaaaf af xaaaf xaf af aaaaaf af aaaaaa设，且，若函数单调递增，则： 数列单调递增或递减如果，由于单调递增，则：假设，则：因此，数列单调递增如果，则同样可证明：数列单调递减1()nnaf a递推式为：的数列的单调性数列单调性的判别数列单调性的判别2022-2-5112022-2-511数列单调性的判别数列单调性的判别（续）（续）112211221232332343413

7、2134324521212(2)()( ) .()()().()().()()()().(nnnnnnnaaaf af xaaaaaf af aaaaaf af aaaaaaaf af aaaf af aaaaaf设，且，若单调递减，则：子列、分别单调 一个递增，另一个递减.如果，则：，即：因此，即：如果，则：假设，则：212122212222321213212)()()().limlimlim.nnnnnnnnnnnnnnnaf aaaf af aaaaaaaaa，因此，数列单调递增同样可证，单调递减如果，可得出类似结论最后，再计算极限、；如果它们相等，则存在2022-2-5122022-2

8、-512【例题例题3】 12lim121.32121.1nnxxxxxxx【分析】：如果数列极限存在，记，则：由于， 而其极限为 ，故数列应该单调递减，且有下界下面用数学归纳法证明该数列单调递减有下界 .11122()limnnnnxxnNxx设，求证：存在并求其极限.2022-2-5132022-2-513【例题例题3（续）（续）】112111111111(1)21121. 1(2)11(2)(2)0. .(1) (2) .1lim2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，假设，则：因此，有下界 ；由于，若，则：因此，单调递减由、

9、 可得，数列单调递减且有下界，故，收敛令，等式两边同时求极限，可得：1.2022-2-5142022-2-514【练习题练习题1】121101. .3nnnnnnxxxxxx显然，故，有下界3112212lim.3nnnnnxxxxx设，且，证明：存在并计算其极限31210.3lim.lim1.nnnnnnnnnxxxxxxx则：单调递减由上可得，存在 容易计算：.1.【注】：本题中单调性的证明需要知道数列的有界性因此，要先证明数列有下界2022-2-5152022-2-515数列极限存在的练习题数列极限存在的练习题1111111(1)lim12(2)46lim.(3)36lim.nnnnnn

10、nnnnnaannnnaaaaaaaa设，证明：极限存在.设，且，证明：存在，并计算此极限设，且，证明：存在，并计算此极限L11(3)211262222262lim2.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa【注】：第题，数列的奇偶子列分别单调；本题可用下面方法证明：根据夹逼原理，数列收敛，且L2022-2-5162022-2-516三、函数极限三、函数极限00000()lim( )000( ).lim( )0000( ).23xxxxxxf xAMxxf xMf xAAxxf xAA 一 函数极限的性质：唯一性：若函数在处有极限，则极限唯一；局部有界性：若，则：和， 当时，有保号性：若，则：对

11、，当时，有【注】：实际应用时，经常取或2022-2-5172022-2-517函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则00000lim( )lim( )lim( )( )lim( )lim( ).(0)().xxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xA BB 设，则：其中：“”表示：+、-、 . 除法运算时，【注意】：在运用极限四则运算法则时，要求运算的函数数列 极限均存在，且只能作有限次运算2022-2-5182022-2-5181“ ”型极限的计算( )( )( )lim( )0 lim ( )lim( ) ( )lim 1( ).ln 1( )limln 1( )l

12、im ( ) ( )( )lim 1( ).xaxaxag xAxag xxaxag xAxaf xg xf x g xAf xef xf xf x g xAf xf xe 设，且，则：由于，根据连续函数的性质，( ) ( )1( )( )lim 1( )lim1( ).f x g xg xAf xxaxaf xf xe此类极限计算的说明：2022-2-5192022-2-519【例题例题4】13(21)352133521(1).323limlim 1.3535xxxxxxxexx该极限为“ ” 的类型，将其表示为：的形式其中： 为无穷小量2132lim. (1)35xxxx求：型2022-2

13、-5202022-2-520四、极限的计算四、极限的计算(1) 先确定极限的类型；(2) 经过初等变换和无穷小量的等价替换无穷小量的等价替换，化 简函数表达式(使求导计算尽可能简单)；(3) 分母若为低阶无穷小量，可用罗比塔法则； 若为高阶无穷小量，一般用泰勒展开. 【注意】：极限计算时要弄清在那一点求极限；极限的类型.不要被表面现象蒙骗！2022-2-5212022-2-521无穷小量无穷小量0000000(1)lim( )0( )( )(1).(2)lim( )0 lim( )0( )lim0( )( )( )( )( ( ).( )lim0( )( )( )(limxxxxxxxxxxx

14、xxxxxxoxxxxxxxoxxcxxx定义：若，则：称为时的无穷小量.记作无穷小量的比较：设，若，则称是比更高阶的无穷小量；记作若，则称与为同阶无穷小量；若)1( )( )( )( ).( )xxxxxx，则称与为等价无穷小量；记作2022-2-5222022-2-522无穷小量无穷小量（续（续1）222200232235(1)012.lim1lim.(2) (1)(1)(1)()()()().() ()().()()()()()().xxnmnnmn mxxxxxxxxxoooo xo xo xnmo x o xo xo xo xo xo xo xo x 有关无穷小量阶的问题：当时，为

15、阶无穷小量，并非阶无穷小量因为，而；其中：例如：；2022-2-523无穷小量无穷小量（续（续2）无穷小量的性质：无穷小量的性质：(1) 有限个无穷小量的和仍是无穷小量； (2) 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量； (3) 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量.2022-2-5230000limlimlim.xxxxxxxxAA若时， 、 、均为无穷小量，且，则：无穷小量的等价替换定理：无穷小量的等价替换定理：2022-2-5242022-2-524等价无穷小量等价无穷小量 20(1) sin(2) tan(3) ln(1)(4)1(5) arctan(6) arcsin(7)1cos(8)

16、(1)1.2xxxxxxxxexxxxxxxxx当时，有：；:8个常见的等价无穷小量：个常见的等价无穷小量：【注】：无穷小量的等价替换只适用于；也就是乘除时可用，而加减时不能用.因因子子2022-2-5252022-2-525Maclaurin常见函数的展开式：52324343535553355558()(1)1()(2) cos1()2!3!2!4!2(3) sin()(4)tan()65!3153(5) arcsin()(6)arctan()64035(7)ln(1)xMaclaurinxxxxxexo xxo xxxxxxo xxxxo xxxxxxxo xxxo xx 下面为 个常见函

17、数的展开式 最高展开到；23322(1)()(8) (1)1().232!xxxo xxxxo x ；数列极限与函数极限计算的说明数列极限与函数极限计算的说明o 先弄清楚哪一点求极限，极限的类型；先弄清楚哪一点求极限，极限的类型；o 化简极限表达式，主要应用无穷小量的等价替换；化简极限表达式，主要应用无穷小量的等价替换；o 一般应用罗必塔法则，对于复杂极限可考虑一般应用罗必塔法则，对于复杂极限可考虑Taylor展展 开；但前提是熟悉开；但前提是熟悉Taylor展开式，否则还是展开式，否则还是“慎用慎用”；o 数列极限一般可化为函数极限计算；数列极限一般可化为函数极限计算；o 对于一些不熟悉点对

18、于一些不熟悉点x=a 处的可通过变量代换化为处的可通过变量代换化为x=0 处的极限，或将处的极限，或将化为2022-2-5272022-2-527【例题例题5】 211cos14cos120222001lim 1(cos1).1cos112limlim.224uuuuuuuIuexuuuu 令：，则：其中：21limcos. (1)xxx计算：型2022-2-5282022-2-528【例题例题6】220coslim. (1)cos2xxxx求极限：型222(coscos2 )2cos2coscos2cos230022002222000coscoscos2limlim 1.cos2cos22(

19、coscos2 )(cos1)(1cos2 )lim=2limcos21cos11cos222lim2lim2limxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxxxxxxxxxxxx其中：2202200001(2 )22lim3.2(coscos2 )coscos2lim2limcos2sin2sin2cos4cos22lim2lim3.22xxxxxxxxxxxxxxxxxxx【或】：2022-2-5292022-2-529【练习练习2】2lim.(2)(1)(1)xxxxx型(2)(1)(2)22(2)(1)2002(1) limlim 1.(2)(1)(2)(1)1(2)(2)(1)l

20、n(12 )ln(1)ln(12 )ln(1)lim lnlimlim1.xxx xxxxxxxxxuuxxexxxxxyxxxuuuuuyuuu 记，令：，则：因此2lim.(2)(1)xxxexx，2022-2-5302022-2-530【例题例题7】320ln(1)sin0lim. ()011xxxx计算：型232000203220201cosln(1)sinln(1)sin1limlim3lim2113313limsin.2(1)2ln(1)sinlim.( 11)4lim42xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 【注】：若本题改为由于为非零常数，可先计算其极限，放到极限符号外

21、面；否则在应用罗比塔法则时，求导会很烦.2022-2-531【例题例题7】的变形情况的变形情况2022-2-531202ln(1)sin lim.ln(12 ) arcsin( 11)xxxxxxx计算：323333230333012()32.2 ()()236lim()lim1.xxx xxxL HosptialTaylorxxxxo xxo xxIxxo xx 【分析】：分母为 阶无穷小量，用法则至少要用三次，分子的计算量会很大；考虑用展开2022-2-5322022-2-532【例题例题8】20sin0lim. ()(1cos )arctan30 xxxexxxx计算：型22200002

22、333222033330sin2(1)cos2limlim33322(2)sin214limlim (3)cos.36991()()26lim32()2426lim.393xxxxxxxxxxxexxxexxIxxxxexxexxxxxxo xxo xxIxxxxo xx【方法一】：【方法二】：【注】：由于分母为Taylor阶无穷小量，用展开更简单.2022-2-5332022-2-533【练习题练习题3】22011lim()sinxxx 计算：型4300022200(sin )(sin )sinsinlimlimlim1cos12lim2lim.363xxxxxxxxxxxxxIxxxxxx

23、x.L Hospital【注】：若直接用法则，计算量比较大3333000()6sinsin1limlim2lim.3xxxxxxo xxxxxIxxx2022-2-5342022-2-534【例题例题9】( )sinsin cos0( ).f xaxxbxxabxf x设，选取适当的常数 、 ，当时， 使成为尽可能高阶的无穷小量353555355( )sinsin22(2 )(2 )()2()61202612012161(1)()().6312031041210634161310( )512044bf xaxxxxxbxxaxxo xxo xbabxb xxo xababbbabf x 令：；

24、而此时，因此，当，时，为 阶无.穷小量2022-2-5352022-2-535一些常见的极限一些常见的极限000111110111ln(1) limlnlimlim0.(0)ln1(2) limlim0. (0)(1)()(3) limlimlim0.(4) limxxxxxkxxxxxxnnnnmmxmmxxxxxxxxxxk xeeea xaxa xab xxxb 其中：其中：0()0().(0)()nmnmamnbnma bxbnm其中：2022-2-5362022-2-536【例题例题10】ln(1)sin 201lim.1xxxxx计算：ln(1) lnsin2ln0001ln(1)

25、 lnlimlim1sin2lnln(1)1lim.sin22xxxxxxxexxIexxxxln(1)ln(1) ln0sin2000limlim1 lim1.xxxxxxxxeex【注】：，2022-2-5372022-2-537函数极限练习题函数极限练习题22111126200222cos(1) lim()(2) lim(sincos )3(3)lim232(11.)(4)lim232(13.)xxxxxxxexxexxaxbababxxaxbabab ；若，求： 、 的值；，若，求： 、 的值.，2022-2-5382022-2-538函数极限练习题解答函数极限练习题解答（1）2222

26、223cos111cos1360012011sincos122sincos10222220002coscos1(1) lim()lim 1.33(2) lim(sincos )lim 1(sincos1).sincos1sincos11limlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxexxxxexxxxxxx其中：.22022-2-5392022-2-539函数极限练习题解答函数极限练习题解答（2）2222222222(3)lim2320(23)()lim23()(1)(22)(3)lim2.231001121.(4)lim232(3)xxxuxxaxbaxxaxbIxxaxbaxab

27、 xbxxaxbaaaIbbxuIuuaub 由可得，；因此，而，则：； 因此，故，令，则：，与类似，13.(3) (4).abxu 可得，【注】： 、 实际上是渐近线的计算，对于可通过变量替换化为进行计算，可避免不必要的差错2022-2-5402022-2-540五、函数的连续性五、函数的连续性0000(1)( )()lim( )()( ).xxf xU xf xf xf xx定义：如果在内有定义，且，则称函数在处连续(2)可以证明：基本初等函数在定义区间内都是连续的，连续函数经过有限次四则运算或有限次复合后所得到的函数仍是连续的.由此可得：初等函数在定义区间内都是连续的.2022-2-54

28、12022-2-541函数的间断函数的间断0000( )( )lim( )().xxf xxf xxf xf x在处没有定义；在处极限不存在：左右极限至少有一个不存在，或左右极限存在但不相等；极限存在但不等于函数值，(4)函数间断点的分类：第一类间断点：左右极限均存在.【其中】：若左右极限存在且相等但不等于函数值的间断点为可去间断点.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点.2022-2-5422022-2-542闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质( )(1)( )(2)( )( )max( )( )min( ).(3)( ) ( )0()( )0(4)( ).a x ba x

29、 bf xabf xabf xababff xMff xmf a f babfmMcabf c 若在，上连续，则：有界性定理：在 ，上有界；最值定理：在，上有最大值和最小值；即：存在 、，使得，零点存在定理： 若，则，使得；介值定理：对任意，都，使得2022-2-5432022-2-543【例题例题11】2cos2cos(0)( )(0)0sinln(1)(0)xxxxf xAxxABxBxxx设在处连续，求： 、 的值.200000000cos2cos2sin2sin3lim( )limlim.22sinln(1)lim( )limlim1.35lim( )lim( )(0).22xxxxx

30、xxxxxxxf xxxxxf xBBxxf xf xfAB 而，则：，2022-2-5442022-2-544【例题例题12】11( )1xxf xe求函数的间断点，并判断其类型.1 01+00(1)1lim( )1 lim( )01( ).(2)0lim( )0( ).xxxxf xf xxf xxf xxf x 当时，；故，为的第一类间断点当时，；故，为的第二类间断点11100 00 0limlim0 lim.xxxxxxeee 【注意】：并不存在；因为，在求函数间断点时，在分界点处一般应分别求其左右极限2022-2-5452022-2-545【例题例题13】1ln(1).(1)xyex x求曲线的渐近线012(1)lim( )0(2)lim( )1(3)lim( )lim ln(1)00( )1ln(1)(4)limlimlim1(1)