流体力学A4-1

1、1提 示完成作业情况如何?注意有期中考试课间答疑2第三章 流体运动学基础 主要内容n 研究流体运动的方法 n 流体运动的几个基本概念 n 流体微团运动分析 n 流体运动的分类n 控制体分析方法输运方程 n 流体运动的连续性方程3第四章 流体动力学基本方程 主要内容n 粘性流体中的应力应力n 粘性流体运动微分方程运动微分方程n 理想理想流体运动微分方程n 理想流体运动微分方程的积分积分 与伯努利方程伯努利方程n 粘性流体总流总流的伯努利方程伯努利方程n 伯努利方程的应用应用4第四章 流体动力学基本方程（续）n 动量动量方程n 动量矩动量矩方程n 相对运动相对运动的伯努利方程n 能量守恒能量守恒方

2、程54-1黏性流体中的应力一、黏性流体中的应力1.定义：作用于单位面积单位面积上的表面力表面力叫应力，记作n。2.空间任一点A处应力状态应力状态的描述描述：第四章：流体动力学基本方程结论：结论：一点的三个坐标面三个坐标面上的应力分量应力分量或应力张量应力张量完全完全描写了描写了这点的应力状况应力状况。64-1黏性流体中的应力1) 建立坐标系；取通过通过A点点的一微微元直六面体元直六面体的流体微团流体微团。yxzoyxyxyyyyyzyzyyyyppyyxyxyxxxzxzxxxxxxppxxxyzAzyfyfzzzzzppzzzzzxzxzzzyzyxyxz pxxyzyxpyypzzzxfx

3、M第四章：流体动力学基本方程74-1黏性流体中的应力2)受力分析及分解受力分析及分解如图：第一个角标表示第一个角标表示应力所在平面的法线方向，第二角标表第二角标表示示应力本身方向。3)方向假定方向假定：法向应力法向应力都沿所在平面的内内法线法线方向，在经过经过A点点的三个平面上的切向应力切向应力方向与坐标轴的方向相反相反，在其他三个面上其他三个面上的则相同则相同。4)大小假定大小假定： 第四章：流体动力学基本方程84-1黏性流体中的应力5)结论结论：任一以以 为法线方向为法线方向的表面表面上的应力应力都可通过三个坐标面上的应力以及三个坐标面上的应力以及 表示表示出来出来，因为nn(参见吴望一流

4、体力学（上）P131)第四章：流体动力学基本方程 npxyxzxxnnpyxyzyypzxzyzz 二阶应力张量94-1黏性流体中的应力, pyxyzyyy：过A点且与与z轴垂直轴垂直的坐标面上的应力。, pxxxyxzx, pzxzyzzz：过A点且与与y轴垂直轴垂直的坐标面上的应力。：过过A点点且与与x轴垂直的坐轴垂直的坐标面上标面上的应力。第四章：流体动力学基本方程104-1黏性流体中的应力, xyyxzxyzzyxz, pppyyzzxx是法向应力分量法向应力分量，非对角线上的元素非对角线上的元素是切切向应力分量向应力分量，可以证明，它们满足对称性满足对称性：二阶应力张量对角线上的元素

5、对角线上的元素第四章：流体动力学基本方程6)二阶应力张量对称性证明对称性证明：由达朗伯原达朗伯原理理，作用在矩形六面体上各力对通过六面各力对通过六面体质心体质心M且与与z轴平行的轴的力矩轴平行的轴的力矩之和为零和为零。114-1黏性流体中的应力 应注意：n法向法向应力都与与取矩的中心轴线相交中心轴线相交或平平行行，力矩为零力矩为零；n在切向切向应力中，第一个角标为第一个角标为z z的切向切向应力应力与取矩的中心轴线相交相交；第二个角第二个角标为标为z z的切向应力切向应力与取矩的中心轴线平平行行，因此其力矩为零其力矩为零；n质量力质量力作用在矩形六面体的质心质心M，力力矩为零矩为零。第四章：流

6、体动力学基本方程124-1黏性流体中的应力Mxyyxyxyyxyxyxxyxyxoxy第四章：流体动力学基本方程所以，对过质对过质心心M且与与z轴平轴平行的轴行的轴的力矩力矩平衡方程平衡方程为：()22yyx() x022xyxyxyyxyxyxxxy zxy zxzyzy 134-1黏性流体中的应力xyyxxzzxyzzy略去四阶小量，化简得同理可证:实际流体内一点只存在三个独立的切向应力三个独立的切向应力。九个应力分量只有六个是独立的只有六个是独立的第四章：流体动力学基本方程144-1黏性流体中的应力二、 切向应力切向应力与角变形速度角变形速度的关系称为广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律

7、222yxxyyzyzxzzxxyyxxzzxyzzyvvxyvvyzvvzx第四章：流体动力学基本方程广义牛顿内摩擦定律可以看作是牛顿内摩擦定律推广到三维的结果。154-1黏性流体中的应力dddduyt由牛顿内摩擦牛顿内摩擦定律dduydddduyt速度梯度速度梯度等于等于流体微团的角度变形速度角度变形速度： d2dxyyxxyvvtxy第四章：流体动力学基本方程假定流体的粘度为各向同性粘度为各向同性推广推广到二维二维。如xoy面。则：164-1黏性流体中的应力三、法向法向应力与线变形速率线变形速率的关系在粘性流体粘性流体中，由于粘性的影响粘性的影响，使得第四章：流体动力学基本方程角变形线变

8、形xxyyzzppp切向应力且与方向有关与方向有关。174-1黏性流体中的应力1.若以p表示理想流体理想流体的压强，则有关系式伸长（缩短）的伸长（缩短）的线变形线变形运动使法使法向应力减小（增向应力减小（增加）加），因此附加附加法向应力法向应力取负号负号。222222xxxxxyyyyyzzzzzvpppxvpppyvpppz第四章：流体动力学基本方程184-1黏性流体中的应力2.三向（三个法向）压强的平均压强平均压强1) 定义：12()()33yxzmxxyyzzvvvpppppxyz(空间点和时间点和时间的函数函数，与作用面的方向无关方向无关）第四章：流体动力学基本方程194-1黏性流体中

9、的应力 黏性流体与固壁接触与固壁接触的表面上：2）几种特例： 对不可压缩不可压缩流体： 对黏性流体中的均匀流动均匀流动，如mppxxyyzzmppppp并不能说明并不能说明与作用面方向无关。xxyyzzpppp（可用理想流体的压强代替代替平均压强）第四章：流体动力学基本方程( ),0 xxyzvvyvv204-2 黏性流体运动微分方程 1.1.应力形式表示应力形式表示的黏性流体运动微分方程1) 方程形式111111yxxxxzxxyyyzyxyyyzxzzzzzdvpfdtxyzdvpfdtyzxdvpfdtzxy第四章：流体动力学基本方程214-2 黏性流体运动微分方程 2) 注：一般来说，

10、密度和单位质量力是已知的，9个应力个应力（6个个独立）和3个速度个速度均为未知数。3个运动微分方程和连续性方程不不足以求解足以求解。必须寻找补充寻找补充方程或条件。第四章：流体动力学基本方程3) 推导思路：在流场中取一平行直六面体的流体微团流体微团，由牛顿第二定律牛顿第二定律导出。FmaddxxvFmt在x方向则有： 牛顿第二定律：224-2 黏性流体运动微分方程 yyyxyxyyyzyzyyyyppyyxyxyxxxzxzxxxxxxppxxxyzAzyfyfzzzzzppzzzzzxzxzzzyzyyxzoxyxz pxxyzyxpyypzzzxfxM第四章：流体动力学基本方程平行直六面体

11、的流体微流体微团及其受力团及其受力分析，如图所示。234-2 黏性流体运动微分方程 (d ) d d(d )d dd(d )d dd d dd d dxxzxxxxxzxzxyxxyxyxxpppxy zzx yxxvyz xfx y zx y zydt化简，得：11yxxxxzxxdvpfdtxyz第四章：流体动力学基本方程在x方向方向列牛顿第二定律牛顿第二定律，则有： 同理，同理，可得y方向和z方向的。244-2 黏性流体运动微分方程 2.不可压缩不可压缩黏性流体的运动方程纳维尔斯托克斯（NavierStokes）方程1) 方程形式222122222212222221222pvvvdvxx

12、xxfxxdtxyzvvvdvpyyyyfyydtxyzpvvvdvzzzzfzzdtxyz2)2)条件：条件：不可压缩不可压缩各向同性各向同性简称简称NS方程方程运动粘度运动粘度第四章：流体动力学基本方程254-2 黏性流体运动微分方程 3)推导: 将法向应力法向应力和切向应力切向应力与变形速度变形速度的关系式的关系式代入应力形式的运动微分方程，以x方向为例为例，有：112yxxxxzxvvvvdvvfpxxyxyzzxdt2222221yxxxxxzxvvvvvdvvpfxxyzxxyzdt整理，得第四章：流体动力学基本方程264-2 黏性流体运动微分方程 0yxzvvvxyz根据不可压流

13、体不可压流体的连续性方程连续性方程和运动黏度运动黏度的定义的定义，即：v和即得x方向的方向的NS方程方程，同理可得y和和z方方向的向的NS方程方程。第四章：流体动力学基本方程274-2 黏性流体运动微分方程 4) 说明 ：l N-S方程加连续性方程联立，成一封闭方程组成一封闭方程组。原则上可解四个未知数可解四个未知数，vx , vy , vz , p。但实际上实际上流动现象很复杂流动现象很复杂，而N-S方程又是非线性的非线性的。所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的很困难的，到目前为止，精确解(分析解)仍为仍为数不多数不多。只能对一些特殊几何形状的流场对一些特殊几何形状的流场

14、求得精确解，如圆管中的层流圆管中的层流、同心圆环间的层流同心圆环间的层流、二平行平板间层流二平行平板间层流等。第四章：流体动力学基本方程284-2 黏性流体运动微分方程 l 由于在推导N-S方程中使用了牛顿内摩擦定律，所以N-S方程只适合牛顿流体只适合牛顿流体。 l N-S方程中的压力 为任意三任意三个互相垂直个互相垂直法向应力的算术平均值。 5) 物理物理意义：单位质量单位质量流体的惯性力惯性力=单位单位质量质量流体的质量力、压力、粘性力之和质量力、压力、粘性力之和。1()3xxyyzzpppp第四章：流体动力学基本方程294-2 黏性流体运动微分方程 1dVafpVdt 5) N-S方程的

15、矢量形式Laplace算子2222222xyz xyzxyzff if jf kVv iv jv k ，ijkxyz Hamilton算子第四章：流体动力学基本方程304-2 黏性流体运动微分方程 3. 圆柱坐标系圆柱坐标系下不可压缩不可压缩流体的基本方程和广义牛顿内摩擦广义牛顿内摩擦定律1) 连续性方程连续性方程10rzrvvvvrrzr第四章：流体动力学基本方程314-2 黏性流体运动微分方程 2) N-S方程方程222222222222222222211121112rrrrrzrrrrrrrrzrvvvvvvvvtrrrzvvvvvvpfrrrrrrrzvvvvv vvvvtrrrzvv

16、vvvvpfrrrrrrrz2222222111zzzzrzzzzzzvvvvvvvtrrzvvvvpfzrrrrz 第四章：流体动力学基本方程324-2 黏性流体运动微分方程 3) 牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律11rrrzzzrzzrrzvvrrrrvvzrvvzr 2122rrrrzzzvpprvvpprrvppz4. 球坐标系球坐标系下不可压缩不可压缩流体的基本方程基本方程和广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律（略）（P57-58)第四章：流体动力学基本方程33课堂例题与练习例4-1 不可压缩不可压缩粘性流体在倾斜放置倾斜放置的两块无限两块无限大平行平板间大平行平板间由上向下作定常层流流

17、动定常层流流动，如图所示，试用纳维尔斯托克斯方程求解以下两以下两种情况下种情况下该层流运动的流速分布规律流速分布规律：1）上下板均固定不动均固定不动；gfyfxo hxyUbdx-dy-dh第四章：流体动力学基本方程2）下板固定不动下板固定不动，上板上板以匀速匀速U沿流动沿流动方向作平行运动作平行运动。34课堂例题与练习解：1)建立建立直角坐标系如图 2)依题意，依题意，得0t0yzvv0z（只有x方向流动）3)由连续性方程，连续性方程，得：0 xvx( )xxvvy第四章：流体动力学基本方程35课堂例题与练习4) 由N-S方程，方程，得210210pvxfxxypfyy(a)sinhfggxx coshfggyy 其中第四章：流体动力学基本方程36课堂例题与练习5) 直接积分，得一般解21212xdvpghyC yCdx(d)思考题：如果平板是思考题：如果平板是水平的，结果如何？水平的，结果如何？第四章：流体动力学基本方