机械振动基础课件

1、1 理论力学理论力学Northeastern UniversityPAG 2第十八章第十八章 机械振动基础机械振动基础说话，声带振动振动: 物体在平衡位置附近往复运动研究振动的目的： 消除或减小有害振动，充分利用有利振动。听声，耳膜振动利：振动给料机 振动筛 振动沉拔桩机弊：磨损,减少寿命,影响强度 引起噪声,影响劳动条件 消耗能量,降低精度Northeastern UniversityPAG 3第四章第四章 机械振动基础机械振动基础本章只研究单自由度系统的振动。单自由度系统的振动多自由度系统的振动弹性体的振动按振动系统的自由度无阻尼自由振动有阻尼自由振动自由振动强迫振动自激振动按振动产生原因

2、无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动Northeastern UniversityPAG 44123单自由度系统的自由振动计算固有频率的能量法单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼自由振动第四章第四章 机械振动基础机械振动基础5单自由度系统的有阻尼受迫振动6转子的临界转速7隔 振Northeastern UniversityPAG 5模型：弹簧质量系统（弹簧原长l0,刚性系数k） 在重力作用下弹簧变形st为静变形，该位置为平衡位置。平衡取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;0lstxOstFgmxgmF弹簧力4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动一、自由振

3、动微分方程一、自由振动微分方程ststkFstkmgkmgst)(stxkFNortheastern UniversityPAG 6由质点运动微分方程可得 恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。（始终指向原点） 无阻尼自由振动微 分方程的标准形式)(22xkmgdtxdmst)(;ststxkFkmgkxmkn2 令令0222xdtxdn0lstxOxgmFstkmg4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 7两个根为代入微分方程得特征方程0222xdtxdnrtex 设设0lstxOxgmF 二阶齐次线性常

4、系数微分方程022nrnnirir21;方程解表示为tCtCxnnsincos21C1、C2为积分常数，由初始条件确定4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 8微分方程的解运动图线无阻尼自由振动是简谐振动ntxtt+Tx0OAtCtCxnnsincos21)sin(tAxn0lstxOxgmF方程解表示为212221tan CCCCA 设设4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 91、固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动任意t 时刻的运动规

5、律为 周期函数T 周期二、无阻尼自由振动的特点二、无阻尼自由振动的特点)()(Ttxtx单位：秒 (s)无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 102)()(tTtnn无阻尼自由振动微分方程0222xdtxdn解为)sin(tAxn角度周期为2，有则自由振动的周期为nT2fTn212 频率其中Tf1每秒振动次数(1/s,Hz赫兹)fn2 圆频率 2秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern Universi

6、tyPAG 11mknmkn2 固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。 自由振动的圆频率n只与表征系统本身特性的质量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是振动系统的固有特性 。 固有圆频率4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 12stPkgPm; 由由stngmk 若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢 上下振动的频率。 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振

7、动 频率比空载车厢低。4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 13固有频率的确定方法：方法一:方法二：弹簧质量系统平衡时方法三：已知系统的运动微分方程mknstkmgstgmkstng022 BxdtxdAABn4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 14 振幅与初位相振 幅A简谐振动表达式 相对于振动中心点O的最大位移初相位 决定质点运动的起始位置)sin(tAxn相位角tn 决定质点在某瞬时t 的位置 自由振动的振幅A 和初相位是两个待定常数，它们

8、由运动的初始条件确定。4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 15)sin(tAxn2200020tannnvxAxv , , 000vvxxt，时时，设设)cos(tAxnn;sin0Ax cos0nAv 简谐振动表达式4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 16物块在平衡位置时，弹簧变形量物块在平衡位置时，弹簧变形量例例4-1 如图所示，质量为如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度的物块沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度滑下

9、。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角，倾角= 30，求此系统，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。解解: : 取质量弹簧系统为研究对象取质量弹簧系统为研究对象0OxNFgmFkmgsin0hgm0k 以物块平衡位置以物块平衡位置O为原为原 点，取点，取x轴如图轴如图 物块在任意位置物块在任意位置x处受力处受力重力重力mg斜面约束力斜面约束力FN弹性力弹性力F4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动No

10、rtheastern UniversityPAG 17固有频率与斜面倾角固有频率与斜面倾角无关无关 系统振动的固有频率系统振动的固有频率固有频率固有频率)(sin022xkmgdtxdmkmgsin0kxdtxdm22mkn5 . 010008 . 0物块沿物块沿x轴的运动微分方程轴的运动微分方程系统的通解系统的通解)sin(tAxnsrad /400OxxNFgmFhgm4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 18 取物块刚碰上弹簧作为取物块刚碰上弹簧作为初始条件，此时初始条件，此时t = 0，物块，物块坐标即初位移坐标

11、即初位移kmgxsin00 系统振动的振幅、物块的运动方程系统振动的振幅、物块的运动方程m31006. 310008 . 030sin8 . 95 . 0物块碰上弹簧时初速度物块碰上弹簧时初速度smghv/4 . 11 . 08 . 92200OxxNFgmFgm4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 19sradsmvmxn/40;/4 . 1;1006. 3030得振幅及初相位得振幅及初相位此物块的运动方程为此物块的运动方程为mmAnvx1 .3522020radvxn087. 0arctan00mmtx)087. 0

12、40sin(1 .35系统的通解系统的通解)sin(tAxn0OxxNFgmFh4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 201k2k 弹簧并联系统平衡 等效弹簧刚度系数1k2kst1Fgm2F三、弹簧的并联与串联三、弹簧的并联与串联ststkFkF2211;stkkFFmg)(212112eqkkk令令 设物块在重力mg作用下平移，静变形为st，两弹簧受力F1和F2弹簧刚度分别为k1、k2st1F2Fgm4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 211k

13、2k 弹簧并联系统平衡(等效弹簧刚性系数)st1Fgm2FeqkgmeqF三、弹簧的并联与串联三、弹簧的并联与串联stkkFFmg)(212112eqkkk令令 eqstmgk并联系统固有频率12eqnkkkmm1k2kst1F2Fgm 当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。（该结论可推广到多弹簧并联的情形）4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 22 弹簧串联两弹簧总静伸长;11kmgst22kmgst)11(2121kkmgststst12111eqkkk每个弹簧受力均为物块重量系统平衡时,两弹簧静伸长

14、分别为设串联系统等效弹簧刚度为keq，则eqstkmg /1 212eqk kkkk三、弹簧的并联与串联三、弹簧的并联与串联1k2kgm4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 231k2kgm21212111kkkkkkkeq等效弹簧刚度 弹簧串联三、弹簧的并联与串联三、弹簧的并联与串联串联系统固有频率1212()eqnkk kmm kk 当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和。（该结论可推广到多弹簧串联的情形）4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern Un

15、iversityPAG 24扭振系统： 圆盘对中心轴转动惯量为JO，刚性固结在扭杆的一端，圆盘相对固定端可转角度，扭杆的扭转刚性系数为kt（使圆盘产生单位扭角所需力矩）扭振系统扭振系统OJtk 根据刚体转动微分方程建立圆盘转动运动微分方程：四、其它类型的单自由度振动系统四、其它类型的单自由度振动系统tOkdtdJ22OtnJk2 令令0222ndtd（扭振系统、多体系统）（扭振系统、多体系统） 与无阻尼微分方程 的标准形式相同4-14-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Northeastern UniversityPAG 25运动规律速度为在t 瞬时物块的动能4-24-2 计算固

16、有频率的能量法计算固有频率的能量法 能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率。0lstxOxgmF 无阻尼振动系统自由振动时，物块运动为简谐振动。)sin(tAxn)cos(tAdtdxvnn221mvT )(cos21222tAmnnNortheastern UniversityPAG 26 对有重力影响的弹性系统，若以平衡位置为零势能点，则重力与弹性力势能之和相当于由平衡位置计算变形的单独弹性力势能。 系统势能V 为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点mgxxkVstst)(2122mgkst)sin(tAxn)(sin2121222tkAkxVn0lstxOxgmF4-

17、24-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Northeastern UniversityPAG 270lstxOxgmF 当物块处于平衡位置时，其速度最大，物块具有最大动能(势能为0)22max21AmTn 当物块处于偏离振动中心的最远点时，其位移最大，系统具有最大势能（动能为0）2max21kAV无阻尼自由振动系统是保守系统，其机械能守恒maxmaxVTmkn 系系统统固固有有频频率率4-24-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Northeastern UniversityPAG 28则系统振动时摆杆的最大角速度则系统振动时摆杆的最大角速度 计算最大动能和最大势能计算最大动

18、能和最大势能最大动能最大动能例例4-5 图示摆振系统，摆杆图示摆振系统，摆杆AO对铰链点对铰链点O的转动惯量为的转动惯量为J，在，在杆的点杆的点A和和B各安置一个刚度分别为各安置一个刚度分别为K1和和K2的弹簧，系统在水平的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。 设摆杆作自由振动时设摆杆作自由振动时, ,其摆其摆 角角变化规律为变化规律为解解: : 取摆杆为研究对象取摆杆为研究对象)sin(tnnmax2k1kAOdlB22max21nJT4-24-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Northeastern Universit

19、yPAG 29最大势能最大势能 = 两弹簧最大势能之和两弹簧最大势能之和 应用机械能守恒定律应用机械能守恒定律2221max)(21)(21dklkV22221)(21dklkmaxmaxVT2222122)(2121dklkJn22max21nJT最大动能最大动能2k1kAOdlBJdklkn2221 固固有有频频率率4-24-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Northeastern UniversityPAG 30 振动过程中的阻力振动过程中的阻力粘性阻尼力c ：粘性阻尼系数4-34-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼一、阻尼vcF介质阻尼阻尼

20、类型结构阻尼干摩擦阻尼粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度一次方成正比（较多）设振动质点的速度为v负号表示方向Northeastern UniversityPAG 31 振动过程中的阻力振动过程中的阻力振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示一般的机械振动系统都可简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统mck一、阻尼一、阻尼 上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。4-34-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自

21、由度系统的有阻尼自由振动Northeastern UniversityPAG 32mckstxOxeFdF物块振动微分方程粘性阻尼力：恢复力：以平衡位置O为坐标原点二、振动微分方程二、振动微分方程kxFedtdxccvFxddtdxckxdtxdm22（不计重力）振动过程中作用在物块上的力方向指向平衡位置O方向与速度方向相反4-34-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动Northeastern UniversityPAG 33mckstxOxeFdF物块振动微分方程 有阻尼自由振动微 分方程的标准形式dtdxckxdtxdm22mcmkn22, , 令令02222xdt

22、dxdtxdn两个特征根为特征方程设其解为rtex 0222nrr222, 1nr方程通解为trtreCeCx2121二阶齐次常系数线性微分方程4-34-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动Northeastern UniversityPAG 341、欠阻尼n特征根为两不等实根微分方程的解222 , 1nr)(222221tttnneCeCex运动图线（不再具有振动性质）0000 xx较小|00000 xxx 较大|00000 xxx xtO0 xxtO0 xxtO0 x4-34-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动Northeastern Un

23、iversityPAG 42mk 交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起的振动 弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动受迫振动：在外加激振力作用下的振动4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动简谐激振力：周期变化的激振力)sin(tHFs H：激振力力幅；：激振力的圆频率：激振力初相位Northeastern UniversityPAG 43m取平衡位置为原点，向下为正质量为m的物块受恢复力Fk和激振力F 作用质点运动微分方程为 无阻尼受迫振动微分 方程的标准形式mkxxOkFF一、振动微分方程一、振动微分方程)sin(22tHkxdtxdmmHhmkn;2

24、 设设)sin(222thxdtxdntdxsin14-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 44)sin(222thxdtxdn21xxx)sin(1tAxn 二阶常系数非齐次线性 微分方程解由两部分组成齐次方程的通解为b为待定常数设特解为)sin(2tbx将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：)sin()sin()sin(22thtbtbn4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 45无阻尼受迫振动微分方程的全解22nhb)si

25、n()sin(22thtAxnn)sin()sin( )sin(22thtbtbn 无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的受迫振动。 实际振动系统存在阻尼，自由振动部分会很快衰减掉，我们着重研究第二部分稳态的受迫振动。4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 46 二、受迫振动的振幅二、受迫振动的振幅)sin(2tbx22nhb 在简谐激振条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动初始条件无关，与振动系统的固有频率n

26、、激振力的力幅H、激振力频率有关。4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 47 若0，激振力为一恒力，不振动，振幅b0为静力H 作用下静变形振幅振幅b与激振力频率与激振力频率之间关系之间关系 若0n b为负值,习惯上把振幅都取为正值,因而取其绝对值,而视受迫振动与激振力反向,相位应加或减40。22nhb 由由kHhbn20)(22nhb, b，当 时，振幅b 将趋于0)(22nhb4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 48振幅

27、振幅b与激振力频率与激振力频率之间关系之间关系22nhb无量纲振幅频率曲线无量纲振幅频率曲线0bb 1nn振幅频率曲线振幅频率曲线22nhb4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 49 当=n时，即激振力频率等于系统固有频率时，振幅b在理论上趋向无穷大，这种现象称为共振共振。设特解为无阻尼受迫振动微分方程无意义nb三、共振现象三、共振现象22nhb)sin(222thxdtxdn)cos(2tBtxnnhB24-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern Univ

28、ersityPAG 50它的幅值为共振时受迫振动的运动规律为)cos(22tthxnnthbn2 当=n时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。ttO 实际系统由于存在阻尼，共振振幅不可能达到无限大，但共振时振幅都相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏，因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 51解解: : 取电机与偏心块为研究对象取电机与偏心块为研究对象 作用在系统上的恢复力作用在系统上的恢复力 质点系动量定理的微分形式质点系动量

29、定理的微分形式偏心块坐标偏心块坐标例例4-9 图示带有偏心块的电动机固定在一根弹性梁上。设电机图示带有偏心块的电动机固定在一根弹性梁上。设电机质量为质量为m1，偏心块质量为，偏心块质量为m2，偏心距为，偏心距为e，弹性梁的刚性系数，弹性梁的刚性系数为为k，求电机以角速度，求电机以角速度匀速旋转时系统的受迫振动规律。匀速旋转时系统的受迫振动规律。 设电机轴心在设电机轴心在t 瞬时相瞬时相对其平衡位置对其平衡位置O的坐标为的坐标为xxOxm1m2ttexsinkFkxFkkxdtdpx)sin(21texdtdmdtdxmvmpixix4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼

30、受迫振动Northeastern UniversityPAG 52 此微分方此微分方程为质点受迫振动程为质点受迫振动, ,激激振力项振力项m2e2sint ,即电机旋转时即电机旋转时, ,偏偏心块的离心惯性力在心块的离心惯性力在x轴方向的投影轴方向的投影xOxm1m2tkF)sin(;21texdtdmdtdxmpkxdtdpxxkxtexdtdmdtdxmdtd)sin(21temkxxmmsin)(2221 激振激振力力幅力力幅 m2e2 等于离心惯性力的大小；激振等于离心惯性力的大小；激振力圆频率等于转子的角速度力圆频率等于转子的角速度, ,这这种情况引起的激振力种情况引起的激振力的力幅

31、与激振力的频率有关。的力幅与激振力的频率有关。4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 53 n时时, ,振振幅随频率增大幅随频率增大而减小而减小, ,最最后趋于后趋于m2e/(m1 +m2) n时时, ,振幅从零开始振幅从零开始, ,随随频率增大而增大；频率增大而增大；振幅频率曲线振幅频率曲线=n时，振幅趋于时，振幅趋于；受迫振动振幅受迫振动振幅22emH 令令2122;mmemh22nhb22122)(mmkem212mmemnbO4-44-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动Nort

32、heastern UniversityPAG 54各力在坐标轴上投影 取重物平衡位置O为坐标原点,坐标轴铅直向下运动微分方程4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动tHFdtdxccvFkxFscksin;sFmckstxOxgmkFcFtHdtdxckxdtxdmsin22 图示有阻尼振动系统，物块质量为m，物块上作用有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力FsNortheastern UniversityPAG 55运动微分方程4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动tHdtdxckxdtxdmsin22mHhmcmkn, ,

33、 , 令令22thxdtdxdtxdnsin2222sFmckstxOxgmkFcF 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶线性常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：21xxxx1 ：齐次方程的通解小阻尼(n n )情形下)sin(221tnAexnntNortheastern UniversityPAG 56x2 ：齐次方程特解将x2代入运动微分方程得4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动sFmckstxOxgmkFcF运动微分方程tHdtdxckxdtxdmsin22)sin(2tbx设其形式为 受迫振动的相位落后于激 振力的相位角thtbtnbtbnsi

34、n)sin( )cos(2)sin(22Northeastern UniversityPAG 57将右端改写为4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动thtnbtbnsin)cos(2)sin()(22)sin(sinthth)cos(sin)sin(costhth0)cos(sin2 )sin(cos)(22thnbthbn对任意瞬时t，必须满足0sin20cos)(22hnbhbnNortheastern UniversityPAG 58A和为积分常数，由初始条件确定联立后可得得微分方程通解 有阻尼受迫振动由两部分合成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。

35、4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动222224)(nhbn222tan;nn)sin()sin(22tbtnAexnntNortheastern UniversityPAG 59 由于阻尼的存在，第一部分振动随时间增加很快衰减，这段过程称为过渡过程（瞬态过程）， 过渡过程是很短暂的，过渡过程之后，系统进入稳态过程。)sin()sin(22tbtnAexnnt4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动txOtxOtxONortheastern UniversityPAG 60 有阻尼存在，简谐激振力下的受迫振动仍为谐振动，振动频率等

36、于激振力频率 振幅不仅与激振力力幅有关，还与激振力频率以及振动系统参数m、k和阻力系数c有关。运动方程特解4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动研究稳态过程)sin(2tbx222224)(nhbn振幅Northeastern UniversityPAG 61无量纲化：横轴表示频率比=/n，纵轴表示振幅比=b/b0，阻尼的改变用阻尼比=c/cc=n/n表示4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动2222222224)1 (14)(onbbnhb22212tan2tannnNortheastern UniversityPAG 6201

37、5. 020. 025. 050. 070. 000. 1不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线 阻尼对振幅的影响程度与频率有关： 当n时，阻尼对振幅影响甚微，可忽略阻尼；222224)(nhbn4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 当n （即1）时，振幅显著增大，阻尼对振 幅影响明显，即阻尼增大。振幅显著下降。Northeastern UniversityPAG 63振幅bmax具有最大值，这时频率称为共振频率一般情况下n时，阻尼对振幅影响也较小，可忽略阻尼222224)(nhbn4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动时时 当当

38、222212nnn共振频率下的振幅22max2nnhbn212ob共振振幅2maxobbNortheastern UniversityPAG 64 有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角，称为相位差。表达了相位差随谐振力频率的变化关系。由微分方程的特解4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动)sin(2tbx222tannn212tan 或或Northeastern UniversityPAG 6501 . 02 . 05 . 00 . 10 . 40 . 20 . 41 . 02 . 05 . 00 . 1 相位差总是在0至180区间变化，是一单调上升曲线

39、。共振时，=n =90 ，阻尼值不同的曲线都交于这一点。越过共振区后，随着的增加，相位差趋近180这时激振力与位移反相。相频曲线212tan4-54-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动Northeastern UniversityPAG 66 工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。 当转速增至某特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子发生激烈振动的这个特定转速称为临界转速。4-64-6 转子的临界转速转子的临界转速Northeastern UniversityPAG 67tA

40、CxyO4-64-6 转子的临界转速转子的临界转速单圆盘转子垂直装在无质量的弹性转轴上zOCA 圆盘质量为m，质心为C，A为圆盘与转轴交点，偏心距e=AC。 O为z轴与圆盘交点，rA=OA为转轴上点A的挠度（变形）圆盘与转轴以匀速转动时，由于惯性力的影响，转轴发生弯曲而偏离轴线 z 。gFF圆盘惯性力的合力Fg过质心，背离轴心O，大小为Fg =m2OC。作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心O，大小为F=krA ，k为轴的刚度系数。 设转轴安在圆盘中点，当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。Northeastern UniversityPAG 68 由达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力F 相互平衡而点O、

41、A、C应在同一直线上，且有：解出A点挠度tACxyOgFF4-64-6 转子的临界转速转子的临界转速)(22ermOCmkrAA22mkemrA22mkerAmkn 系统固有频率系统固有频率222nAerNortheastern UniversityPAG 69 当转动角速度从0逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大；ArencrO222nAer4-64-6 转子的临界转速转子的临界转速当=n时，rA趋于无穷大 实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限值。使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度cr ，它等于系统的固有频率n；此时的转速称为临界转速，记为ncrNortheastern

42、UniversityPAG 70 当cr时上式为负值，取rA绝对值；ArencrO222nAer4-64-6 转子的临界转速转子的临界转速 再增大时,挠度值rA迅速减小而趋于定值e（偏心距），此时质心位于点A与点O之间。 当cr时,rA e,这时质心C与轴心点O趋于重合,即圆盘绕质心C转动,这种现象称自动定心现象。Northeastern UniversityPAG 714-64-6 转子的临界转速转子的临界转速zOCA 偏心转子转动时，由于惯性力作用，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，称“弓状回转”。轴承压力的方向周期性变化。 当转子角速度接近临界角速度、转轴的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很大动压力，机器会发生剧烈振动。 一般情况下，转子不允许在临界转速附近运转，只能在远低于或远高于临界转速下运行。Northeastern UniversityPAG 72转子的临界转速：使转子产生最大