数学物理方程-第五章格林函数法

1、第五章格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问题.另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界 问题.应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初 边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§ 5 1格林公式在研究Laplace方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林(Green) 公式，它是高等数学中高斯(Gauss)公式的直接推广.设门为R3中的区域，沽' 充

2、分光滑.设k为非负整数，以下用Ck(")表示在 门上具有k阶连续偏导的实函数全体，CkC)表示在上具有k阶连续偏导的实 函数全体.如u 厂C()C(C)=C0()，表示u(x,y,z)在门具有一阶连续偏导数而在门上连续.另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去 . 如将P(x, y, z)简记为P，- P(x,y,z)简记为兰或PX等等.ex6x设 P(x,y,z)，Q(x, y,z)和 R(x,y,z). cZ)，则成立如下的 Gauss公式FP cQ cR! ()dV 二 Pdydz Qdydx Rdxdy(1.1)门 x:yz土i或者FPEQFRiii()dV 二(Pco

3、s-：】 Qcos： Rcos )ds (1.2)：x；：y：z土i如果引入哈米尔顿(Hamilton)算子：' =(厶，厶，二)，并记F = (P,Q, R)，ex cy cz则Gauss公式具有如下简洁形式hi Fdv = F nds(1.3)Q6其中n =(cos,cos :,cos )为的单位外法向量.注1 Hamilton算子是一个向量性算子，它作用于向量函数 F = (P,Q,R)时,其运算定义为灯 F =(P,Q,R):x : y z；:P g ；:R=十十:x :y :z形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F的散度divF .而作用于数量函数f(x,y,z)时，其运

4、算定义为'、fL'、L、jx 鋼；zf f f：x' jy' :z形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f的梯度grad f .设 u(x, y, z)，v(x, y,z) C2()，在(1.3)中取 F = v得直接计算可得illv)dV = u' v nds(1.4)'、v)二 U v lv(1.5)其中 v = vxx - vyy -vzz.将(1.5)代入到(1.4)中并整理得cvi i iu vdV 二 u ' ds I, u 'vdV Q40(1.6)(1.6)称为Green第一公式.在(1.6)中将函数u， v的位

5、置互换得,r- uiiiv udV 二 v ds hi v 'udV(1.7)自(1.6)减去(1.7)得-v uiii(u ：v-v u)dV = (u v ' )ds Q五衍吊(1.8)(1.8)称为Green第二公式.设点 P0(,)"，点 Hxyz) R3，rPoP =|P° -PI =(X- )2 (y- )2 (z- )2.引1入函数丨(P,R)二，注意丨(P,R)是关于六个变元(x, y, z)和，)的函数4叫p且-(P,P0 -(P),P).如无特别说明，对b求导均指关于变量(x,y,z)的偏导数. 直接计算可得-(PR) =0, P = P

6、°即-(P,P。)在F3中除点P0外处处满足Laplace方程.设名0充分小使得 B=B(r®=p(x,y,z)|p pjm町ua.记g=g b,则：G - 一 B .在Green第二公式中取v (P,P0),= G .由于在区域G内有工=0，故有u iiiT <ud(u)dsg?；：n；：n或者iiiCudV = (u)ds亠 ii(u)dsG丑向矽Icn(1.9)在球面汨上,.:n _:r蓟4 1)4"rP0P1冴-4nr2，因此bS(心(1.10)其中 p(x,y,z)： B.同理可得.；：u I 1：:uu ,.、B 点石BdS。，八Z)(i.ii)

7、其中 P(xyz)将(1.10)和(1.11)代入到(1.9)中并令；、p(x,y,z) > P0(,)，0 ，此时有(x ,y ,z ) > 0， n并且区域G趋向于区域门，因此可得-it- . . . - ud. .(uu)ds u(,)，Qq m 川“嗚噜-哙叫“ udV(1.12)(1.12)称为Green第三公式.它表明函数u在门内的值可用门内的厶u值与边界 ：门上u及的值表示n注2 在二维情形，Green第一公式和Green第二公式也成立.而对于Green1 1第三公式，需要取丨(P,P。)一I n,其中P°，)"，P(x,y)R2，2兀 r仏p=|

8、P0-P|- (X)2(y- )2 .此时Green第三公式也成立.§ 5 2 Laplace 方程基本解和 Green函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用本节介绍Laplace方程的基本 解，并在一些特殊区域上由基本解生成 Green函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson方程边值问题解的表达式.下面以Dirichlet问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green函数方法的基本思想.5. 2.1基本解设Pc( , , )R3，若在点P。放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数；o)u(x,y, z)二-(PR)=14 rP0P(2

9、.1)129易证：-(P, F0)在R3R满足-u =0 .进一步还可以证明1，在广义函数的 意义下丨(P,R)满足方程- u- (P,F0)(2.2)其中(P, F0)(x- )：(y- Yz- ). - (P, F0)称为三维Laplace方程的基本解.当n=2时，二维Lap lace方程的基本解为(2.3)其中 P0( , )，P(x,yr R2，rp°p.(x- J2 (y- )2 .同理可证，】(P,P。)在平面上除点P0(,)外满足方程沁=0，而在广义函数意义下-(P,P0)满足方程(2.4)- u- (P,R)其中、(P,R) (X )、(y - ).注1根据Lapla

10、ce方程的基本解的物理意义可以由方程(2.2)和(2.4)直 接求出(2.1)和(2.3)，作为练习将这些内容放在本章习题中.另外，也可以利 用Fourier变换求解方程(2.2 )和(2.4)而得到Lap lace方程的基本解.5. 2.2 Green 函数考虑如下定解问题：f (x, y, z), (x,y,z)门u(x,y,z)二(x, y, z), (x, y,z) (2.5)(2.6)三公式可得在公式（2.7） 自由项求出，即有u（,）二（u-u ）ds iiudV的右端，其中有两项可由定解问题（2.5） （ 2.6 ）的边值和(2.7): u而在ds中,u dsds'j ；

11、nmm、udV二-f d.VQQ赳 在边界:-上的值是未知的.因此须做进一步处理.Pu注2若要求解Neum讪问题，即将（26 ）中边界条件换为（x,山.AT此时，在方程（2.7 ）右端第二项 u ds中，u在边界上的值是未知的, 而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7 ）得到定解问题（2.5）-（2.6）的解？ Green的想法就是要消去（2.7）右端第一项-ds.为此，要用下面的Green函数取代（2.7 ）中的基本解.设h为如下定解问题的解一 h =0 ,(x, y,z)门 h 一 -,(x, y,z) ；：11在Green第二公式中取v二h得(2.8)(2.9)或者

12、iiihidV 二 (u-h-ds QG衍 衍(2.10)u(x, y,z) C2)-C1)是(2.5) (2.6)的解，则由 Green 第131#将（2.7）和（2.10）相加得#(2.11)(2.12)(2.13)u( , , ) = (G u )ds ! ! ! G ：udV其中 G(P,R) h.由(2.2)和(2.8)( 2.9)可得，G(P,p0)是如下定解问题的解一 ：G - (P,R), P(x,y,z) "G(P,R) =0, P(x,y,z) G(P,P0)称为Laplace方程在区域门的Green函数.由于G在沖上恒为零，由(2.11河得u( , , ) -

13、- u ds 11 iGudV(2.14)因此，若求出了区域的Green函数G(P,R)，则(2.14)便是定解问题(2.5) (2.6)的解.§ 5 3半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域门上的Green函数，就可以得到该 区域Poisson方程Dirichlet问题的解.对一般区域，求Green函数并非易事.但对 于某些特殊区域，Green函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出.下 面以半空间和圆域为例介绍此方法.5. 3.1半空间上Dirichlet 问题设门=( x, y,z)|z 0,二( x, y,z) | z = 0.考虑定

14、解问题(3.1)(3.2)- u = f (x,y,z),(x,y,z)门u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2设卩0(匕,3匚)乏0,则Rd®为R关于曲的对称点.若在P。，P两点各放 置一个单位正电荷，则由三维 Lap lace方程的基本解知，它们在空间产生的电位 分别为其中r。=|丘-PI"司P -P|.由于P和R关于曲对称，且RW，故有!drr(P,F0)F(P,R)=6(P,R), PQ k(P,F0)-F(P,R)=O,即G(P,R) (P,P。)-丨(P,R)为上半空间的Green函数，且有G(PR)-(P,FO)(P,Pi)1 ，Z1 14 二1 - j

15、(X_t) +(_) +(Z_r)J(X-') +()+(z+r) _4:直接计算可得；：G；:n1 型1- -3/22 二_(x -) (y -)(3.3)(3.4)133将(3.3)(3.4)代入到公式(2.14)得Gds 亠小 Gfd、n门12-v；'(x, y) dxdy3/2)2 (y )22 3/20 ； ；G(P,P0)f(x,y,z)dxdydz上式便是定解问题(3.1) (3.2)的解.5. 3.2圆域上Dirichlet 问题设门二(x, y) | x2 y2R2，贝U 丁=(x,y)|x2y2二R2.考虑圆域门上的Dirichlet 问题(3.5)(3.6

16、)-u = f(x, y), (x, y)门 u(x,y) =g(x,y), (x,y) - ；：fl设P°(V)切,R()为p。(盯)关于圆周 曲的对称点,即OP°|OR|= R2, 如图3-1所示.由于OR OR| = R2，因此对任意M灵。有P1''：OP0M OMP1rP°M _ | OP0 I8mR#rP0M1 OP0 1 rpM图3.1因此有1 In 12：二rp)MIn R 1 =01 OP0 IRM(3.7)135#上式说明函数G(P,F0)二In2 爲rpop In旦丄2| Op)|pp(3.8)在於上恒为零.又由于p更。，故有-

17、 ：G(P,F0)(PR), p -G(PR) =0, P .即G(P;R)是圆域上的Green函数.引入极坐标P()，设P0( , ) =P(七i)R2，则 P(J") =P(云,用卩0用表示op与0P的夹角，则有cos：二cosr0cosv sin 二0 s in v -cos(0 -v)利用余弦定理可得rp = ： 2 J220 cos：(3.9)rpp =丄 Jr4 + PP2 _2(>0pR2 cosa1 0(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得G(P,R) -ln4兀可R2 '2R2 f R2cosC° -巧R4可'

18、;2-24氓23$包-巧(3.11)直接计算可得-I.n |-G2二 R R2 可-20RcosG。-旳(3.12)#记 C) = g(Rcos,Rsin)，则有#dsGfdcQdr -(R2 - 为 G)R2 可-2RoCOS(m 一耳x：fc、m；加补z(3.i3)(3.13)便是定解问题(3.5) (3.6)的解.注1当f =0时(3.13)称为圆域上调和函数的 Poisson公式.注2利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面. 因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及 Green函数法的应用范围.在 本章习题中有一些这类题目，Green函数法更多的应用可查阅参考

19、文献13.§ 5 4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5. 4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题厂2ut -a ux = 0 , 0<xv=o ,t=0(4.1)* u(0,t) =0 , t 30(4.2)u(x,0) =®(x) , 0 vx <乞(4.3)该定解问题称为半无界问题，这是一个混合问题，边界条件为(4.2).类似于 上节Poisson方程在半空间和圆域上 Dirichlet问题的求解思想，也要以热方程的 基本解为基础，使用对称法求出问题(4.1) ( 4.3)的Green函数，并利用所 得到的Green函数

20、给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为-(x,t)-2e 4atH (t)(4.#(4.#-(x,t)是如下问题的解； 2(4.4)(4.5)* a u心=0, -:： x ： ：, t 0u(x,0) =、(x), - ： : x ：.相当于在初始时刻t = 0，在x = 0点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将 上面定解问题中的初始条件换为u(x,0) =(x - ')，只要利用平移变换x x-易得此时(4.4) ( 4.5)的解为】(x- ,t).为求解定解问题(4.1) ( 4.3)，先考虑®(x)，(x-勺，其中©为x轴正半轴上的任意一点.此时，相当

21、于在X- 点处置放一单位点热源.则此单位点 热源在X轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件(4.2)，它便是(4.1) (4.3)的解，即为该问题的Green函数.为此，设想再在x二一点，此点为x二关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x二 点处置放的单位点热源产生的温度分布：(x- ,t)和在X二一处置放的单位负热源产生的温度分布-】(X ,t)在x=0处相互抵消，从而在x=0处的温度恒为零.因此，问题(4.1) ( 4.3)的Green函数为G(x -，t)=丨(x -，t) - (x 亠：,t)(4.6)利用叠加原理可得原问题的解为0u(x,t) =() G(x- ,t

22、)d .(4.7)0若将(4.2)中的边界条件换为u(0,t)二g(t)或匕(0,0=0，请同学们考虑如 何求解相应的定解问题.5. 4.2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题(4.8)(4.9)(4.10), 2Utt - a Uxx =0, 0 X ：二，t 0 u(0,t) = 0, t 一0u(x,0) = 0, ut(x,0) = (x), 0 ： x ：一维波动方程的基本解-(x,t)为-(X；t)二 2a【0,x vatx - at.(4.137完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green函数为(4.11)G(x-, t)二】i (x- ,t )- I (x ，其

23、中 0.因此，该定解问题的解便可表示为O0u(x,t .' ( ) G(x- ,t)d .0注意到:(x - ,t)的具体表示式为类似地有-(x- ;t)= 2a【°，x-t:at丄:(x ;t)二 2a! 0,x - at将上面两式代入到（4.12）中并整理可得_1u(x,t)=x -at屮(E)d 匕,x at K 02axt“ x-lat1()d , x - at : 0.2a a若将（4.9）中的边界条件换为匕（0力=0，请同学们考虑如何求解相应的定 解问题.注1对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解1.相比之下，Gr

24、een函数法最简单.注2类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可 以建立起解的Green公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）,并以此为基 础而给出上面（4.7）和（4.12）两式的严格证明2.由于本章主要是通过对一些 比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green函数法的基本思想和一些特殊区域Green函数的具体求法，故略去了 （4.7）和（4.12）两式的推导过程.习题五1 设门R3为有界区域，：心充分光滑，C2C9 C1）.证明(1) ! udV ds.nCU2(2) JJJu也udV = JJu ds-JHNu' dV.n门2.设门 R3为有界

25、区域，血充分光滑，u C2C9' C1)满足下面问题3u =uxx +山+uzz =0, (x,y,z)£Qu(x, y, z) = 0, (x,y,z)QQ .证明u(x,y,z)=0，并由此推出Poisson方程Dirichlet问题解的唯一性.若将(4.139定解问题中的边界条件换为'U =0, (x,y,z)三：，问U(x,y,z)在门中等于什么？dnPoisson方程Neumanri可题的解是否具有唯一性？3”设二二R3为有界区域，C充分光滑，u C2C9 C1C)满足下面问题u(x,y,z)二(x,y,z), (x,y,z)：门.141#其中c(x,y,z

26、)在闭域非负有界且不恒为零.证明或求解以下各题(1) 如果 f 7( x, y,z)即= 0,(x, y, z)；：证明 u(x, y,z)三 0 .u(2) 如果 f =0,( x, y,z) ，而边界条件换为 一 =0, (x, y,z11，问 u(x, y,z)在区域】中等于什么?4. ( 1) 验证鬥r -0，P = P0，其中“止).g )2 (y- )2 (z- )2小3"PAH,#(2)设 u=u(r), r=. x y ，求 uxx uyy = 0,r = 0，并且满足 u(1) = 0,' u n ds = -1的解，其中B(0,、：)是以原点为圆心为半径的

27、圆形域，n为.:B(0 )的单位外法向量.(3) 设 u =u(r), r = x2 y2 z2，求 u 比丫 uzz =0，"0，并且 满足lim u(r) =0Il u nds = -1的解，其中B(0,：)是以原点为球心：为半径的T蛊© §球形域，n为汨(0,)的单位外法向量.5. 设门R2有界区域，小 充分光滑，CH)-C1).证明(u)ds 11 厂：、ud匚其中Pd( , ) 1 1，- (P,P)如第4题所示.6. 设门 R2有界区域，充分光滑，P)( , ) ' 1，P(x,y)，R2，- (P,P。)为二维Lap lace方程的基本解.考

28、虑定解问题_ ：u =f(x,y), (x, y) u(x,y)二(x,y), (x,y) 小若h(x, y)是如下定解问题的解：h =0, (x, y) 11h(x, y)(PR) ,(x,y)证明 若 u(x, y) C2e - C1)，则有u( , )ds Gfd匚，其中G h .7. 设门R3有界区域，沽' 充分光滑，考虑定解问题-：u = f (x,y,z), (x,y,z)门=®(x, y,z), ( x, y, z)Q.证明该问题可解的必要条件为fdV亠丨®ds = 0.8"证明上半空间Lap lace方程Dirichlet问题的Green函

29、数G(P, P0)满足0 ：G(P,R)：14 rp0p2(x,y) R ,z 0, P = F0.对平面上圆域Laplace方程Dirichlet问题的Green函数G(P,P0)，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Lap lace方程Dirichlet问题在上半平面的Green函数, 并由此求解下面定解问题一 u = 0, x (：，：)，y 0u(x,0 (x), x (：，：).10. 求二维Laplace方程在下列区域上 Dirichlet问题的Green函数.(1)'(x, y)|x y.(2)i(x,y)|x 0,y 0.11. 设:1 _(x,y) |x2 y2 ：

30、R2, y 0.考虑半圆域 Dirichlet 问题- u =0, (x,y) 11u(x, y) =(x,y), (x,y) U.应用对称法求区域11上的Green函数.12”求解定解问题-u £ , x ,y z ) 1u( x, y, z) g( x, y, z) , (x ,y z)其中：u 二 Uxx UyyUzz,B(O,R)二(x, y,z)R31x2y2z2：R2.13.解对边值的连续依赖性设门为半径等于R的圆域，考虑如下问题-.叫=f (x,y), (x, y) .1®(x,y)勺。,y),(x,y)小 k=1,2.利用Poisson公式证明|U2(X,

31、y) -u/x, y)| 兰 max g2(x, y) - gx, y)|(x, y)3G* 1 114证明在广义函数的意义下，】(P,0)= In 满足Z(x)：(y)， 2兀r其中 r _、x2 y2, u 二Uxx Uyy.15”设门为半径等于R的圆域，考虑如下问题- u =0, (x,y)门u(x,y)二 g(x, y),(x,y).如果g(x, y)在连续，证明由Poisson公式给出的解是该问题的古典解(真解).16设u(x, y)为平面上区域门上的调和函数,PAxy。)" 且B(F0,R)'J .证明调和函数的平均值公式u(x°,y°)u(x, y)ds =B(P),R)1二 R2u(x,