数学分析讲义第四版(刘玉琏傅沛仁著)高等教育出版社课后答案第十二单元

1、第十二章 广义积分与含参变量的积分练习题12.1（讲义下册，第265页）1 求下列无穷积分； dxrr2 + x 2dx2 +2；lim |ln(x3p+oo一1）一1】心 + 2）|；17- lim3p+823hl2 r+oc-2 /e"d(-W)2(a > 0)+ooedx严讼+-oo2eax(lx-eax a+oo1#eT sin bxdx .(a > 0).#ax解 lL JUf e"ax sin bxdx =科孑（si皿-bcM） + C（见讲义上册§7.2例6）,有- |+°° 6e_ si皿血=一狂詡(osi皿+ bc

2、osb叫 =狂市2判别F列无穷积分的敛散性: #/r3 + 1#解 lim.爼+8 厶3 + 13A=-<1,J=1> 0.于是，无穷积分发散. ,(n > m > 0).#解 lim ©nm =1x*+oc1 + Xnd = 1,当入=n _ m > 1,无穷积分收敛;当入=n - m 0 1,无穷积分发散. arg tan x axx#arg tan x解 Inn z->o+x从而屈数町伽如在点0连续开抓.arg tan xlim xx*+ooxnilimocargtanx=-#7TA=l,</=->0,无穷积分发散. +ocdx_

3、8+oo_f° X广 8 Xdx = /dx + /dx .j_8 ex + ex 丿_8 eX + ex Jo eX + ey 设 x = t, dx = 冇f° xf° tf+o° ”L 右戶必=J+8产E'nrlim x2;7 = lim x27 = 0 .r*+oo e2 + ex z*4-oo 严 + e"x入=2, = 0.这两个无穷枳分祁收敛.从而无穷枳分J戈严:厂工血收敛3.证明:若函数/（）在l,+oo）单调减少J1当工-> +8时（巧-> 0则无穷积分f00 f（x）dx与级数Z； f(n)同时收敛或同时

4、发散.n=l证 己知/()在山+0C)单调减少月/屮X人”)=°则* 6山+oc),有3)o卫以6 N,有/伙+1)广+1=Jkf(k + l)dxf(x)dxfk)dx = f(k)3nn . . -n从而，力 f(k + 1) W 刀 J” fx)dx力 f(k) k=lk=lk=l或 E f(k + 1)J；+1 f(x)dx £ f(k)k=lk=l其中数列片+1/仗)血是单调增的,s“= f /伙)是级数f f(n)的部分和.若X少)收敛则数列Sn有上界，从而数列 jf+l疋)血也有上界.于是，无穷积分 fg f(x)dx收 敛 若f /(n)发散则数列S”无上界

5、.从而数列.卩+1 f(x)d也无上界.于是、无穷枳分严f(x)dx发散.OO即人+°° f(x)dx与级数工/S)同时收敛或同时发散.5.证明喏无穷枳分打°°3)血绝对收敛血函数卩仗)在0,+8)单调有界.则无穷积分.广°°/仗)处T)血收 敛.证 已知厂°° f(T)dx绝对收敛由柯西收敛准则、Vc > 03A > «,Vpi,p2 > 儿冇|/(x)|Jx| <e.#又已知能)在他+00)单调有界岡|/(x)|9?(z)|dx| $ M< Me.M/ > 0. V

6、x 囤+oo),有|卩(巧| C M. 又已知可积有/ f(x)(p(x)dx wJp即无穷积分广°° /(x)(x)收敛.7. 证明:0 < A< 1,无穷枳分.Q00 竽与.Q00 宁都是条件收敛.证 证明卩*斗搭条件收敛仆目法可证/'+* 宁也是条件收敛). 已知函数sine在l,+oo)连续,bp > 1：有=| cos 1 cosp| W 2.#A > 0.根据定理8,无穷积分j/°°二:厂收敛.Px 2sinx| ? sin2 x,从而已知当0 < A < ljjg尬发散，而人+s 普必收敛.从而人

7、+x |簧|必发散.于是，/;+8 詈条 件收敛.龙8. 若无穷积分f(x)dx收敛，则有-> 0(x -> +oo)是否成立?反之，是否成立？答 不成立.例如，无穷积分x sinX2clx收敛(见讲义§12.1例.(H zi, lim sinx2不存在，当然也不会有/'(©) > 0(x > +oo).反之，也不成立，即lim /(x) = 0,无穷积分f(x)dx可能发散.例如，lim 丄=0,无穷积X+(»X*+oo /Xdr1分却发散(p=2<l)-9. 证明:若无穷枳分J00 f(x)dx收敛:函数/(©)

8、在a. 4-00)单调JIJ/(x) = o(l).证 不如设fCr)在血+oc)单调减少(否则，考虑西数-/(x).则也e a, +ocf, f(x)上0.否则,】6a, +oo).< 0,KlJVa: >W /(xi) < 0.从而Vp > 韦f f(x)dx f f(x)dx = f(xi)(p - zi) -> -oo(p -> +oo).J XJu即fa"发散，与已知条件孑盾.己知厂°° 3血收敛根据柯两收敛准则，Vs > 0, BA > 0,Vpi,p2 > A,有J'Ji.Var >

9、 2乂(或(取卩i =善,P2 = ©),由他)在a,+oc)非负,H.单调减少，有£> L山上2)L出=f(x)或 xf(x) < 2c, 即 lim xf(x) = lim ")= 0.于是,/(x) = o(.x*+ooz>+oo 1X/10. 证明:若的数/(!?)在|0,+oo) 致连续,冃.无穷枳分f(x)dx收敛.则1呼/(T)= 0 . 证用反证法.假设lim f(x) / 0.即z*+oo3co > O.Vn N, 3xn > 从有f(xn) > £o从而，存在数列叽人且lim xn = +oc，有|

10、/(xn)| $ £on>+oo已知/仗)在Q+oo) 致连续即> 0,3(5 > 0,代、xn 6 a, +oo) : xf - xff W 6有1/3) -.从而旳 e xn,Tn +(5 : x-xna有”3) 一 f(xn) < f(x) > |/(xn)l - f(x) 一 f(xn) > Co - J = y.Vx 6 Xn,Xn +<5J(X)与/(知)必同号否则若f(町与/(%)异号,则有|/仗)一 f(xn) = f(x) +|/(n)l > 5矛矗 若/(”n) > 0,则/'(") >

11、 0,由式，有/(%) >弓.从1何®fi+6rn fxn+<5rn6f(x)dx > y / dx =迈一(止常数); nxn若/(听)< 0,则/()< 0,由式，有畑 < 一弓.从而s+<5£of(X)dx<-或|层煮/仗闷(正常数)于是,日¥ > 0,Vn £ N. 3xn > n,有| J；“ f(x)dx > 乎根据柯西收敛准则的否定叙述町°° f(x)dx发散.与已知条件才厉.于是冀/仗)=0 11. 证明:若函数/(巧在他+oo)冇连续导函数/©

12、;),且无穷积分XT°° J(x)dx与广°°/©)社都 收敛M lim f(x) = 0 z_，PC证已知无穷积分C°° ff(x)dx收敛.即极限f(x)dx = lim f(t)dt = lim f(t) = lim f(x) - f(a)z-*+oo J a工一*+8lax>+oc存在，也就是极限lim /仗)存在.设lim /(x) = a .Zt+oOz>+oo下面证明:a = 0.用反证法.假设a丰0.不妨设q > 0.即lim f(x) = a> 0.由连续函数的保号 Zt+8性 3A

13、>0yx>A/(x) y 2 从而卫P > zl(当然p + 1 >冇根据柯两收敛准则的否定叙述，广00 fx)dx发散与已知条件才盾.于是，lin /(x) = O.12.设函数/(巧在a,+oo)可导，且单调减少f(x) = 0,证明：J°° f(x)dx收敛Oxf(x)dx收敛.证：f(x)dx >彳(正常数)r+oo xff(x)dx = lim xf(x) a/(a) / f(x)dxZt+8Ja亠若.fa °°收敛，乂已知/仗)在仏+OO)单调减少，由第9题.则丄对(巧=0.于是，无穷积分xff(x)dx收敛U若

14、°°xf,(x)dx收敛，乂L1知可导函数/仗)在a.+oo)单调减少，且/罠仗)=0则旳a,+oo),有Mr) 2 0,且畑 W0不妨设d 2 0.x > a, V6 > x.根据定积分中值定理，天田制,冇- f(x) = g) - f(b) > xf(x) - f(b) > 0已Jll lim f(b) = ()从而，当b > +oc时号有 b*+oor+ooJX$ xf(x)7#根据從理2的推论1, lim 一 r°° tf(t)dt =0从而冇x+oo L 2lim xf(x) = 0. 工一+oo由式，无穷积fdx

15、收敛.练习题12.2(讲义下册,第275页)1求下列瑕积分：呱匪务解1是被积两数的瑕点： 0 < 7/ < 1.z. fr/= lim 广I:(设1一_)(2 x)/l x °0+ Jq (2 ir) x厂 dt厂F亓=lim / = lim 2 are tail yt =L0+厶(1 + tM 小+b 2(4)f6 J.° /(x - a)(b- x) 解a与b是被积函数的瑕点. 设 x = a cos2 t + 6siir t, dx = 2(6 a) sin t cos tdt.2(5 a)sinf cos t (b a) sin tcostdt = 7T

16、.2判别下列瑕积分的敛散性:A存解1是被积函数的瑕点.1lim (1 )=1.1-nxA = 1,J=1.于是,瑕积分发散.' / f 、 (P < 1) 丿0 /1一 ©2)(1 一炉2)解1是被枳函数的瑕点1 1 1lim (1 -)久, ”空=z. .=I-2/1 文2)(1 心)J2(l 人2)"和希T于迪瑕积分咙(' dx0 x/xnx解 0和1是被积函数的瑕点.fl dxdx 厂 dx0 y/xnx JoJg /xnx_ 1lim (1 x)= 1.入=z=1.瑕积分”為发散.于是，瑕积分盘詬石发散. 工一1-lnxdxf? dx0 sin

17、" x cos9 x解 0和轨彼积函数的瑕点.fl dxFl dxfl dx0 sinp x cos1? x Jo sinp x cos xJj sinp x cos1? xlim 円 =1 .0+ S11K X COS9 Xdx严<咿嘶E咙3P '咿咧E发limnq 1 = sinp x cos4/ x#dxX = q.d= 1,从而，当g < 1时瑕枳分/7 . “，收敛;当g1时瑕积分/7 .厂“发J 4 Sin" X COS9 xJ4 Slll X cos9 X散于是，当P < 1与g < 1时，瑕积分总4* ：爲收敛 3给出定理3及

18、其推论的证明.证明定理3应用柯西收敛准则从略.定理3的推论:设血e2 0&是取点出极限lim (x - a)xf(x) = d (0 W d W +oo). za4-1）若入V 1,0 w d V +oc,则Q /（皿收敛.2）若入1,0 W d W +oc,则上/仗）必发散.证 1)已知 lim (x a)xf(x) = d, KO W d V +oo)，则3c()> 0,3(5 > 0, Vx : a < x < a + &有(x - a)xf(x) - d <cQ 或 /(匚)V(； 1:;' 若入< 1.0 w d V +00

19、,人 _ a)入收敛根据定理3,Ef(e)血收敛.2)已知 lim (x 一 a)xf(x) = d,且0 V d < +oc)侧工一*<1+3 > 0,36 > 0, Vx : a V V a + 6,冇 乙|(e - a)xf(x) 一 "I < § 或 (忑匕)入 < g 若入2 10 V d V +oo£仗二)入发散.根据定理3f(x)dx发散. 己知 lim(x 一 a)xf(x) = +00.同法可证:若入 1.(/ = +oc,J f(x)dx发散.4.给険理2和泄理4的证明.证明定理2应川柯西收敛准则,从略.定理

20、4若函数/(巧在制连续(a是瑕点).且F3) =f(t)dt&(a.b有界，即北> O.Vx (讪，有|f)|= x f(t)dt aJ a则当入> 0时，瑕积分上3 - a)xf(x)dx收敛.证 已知dF(rr) = f(x)dx.F(b) = O.Vz/ > 0(r/ < b a)，有fbrb(x a)xf(x)dx = I (t)XdF(x) a+r/Ja+t)=(x a)xF(x)+ 入 / (x a)xFx)dx a+可Ja+q=tXF(a + 耳)+ 入 / (x a)1 F(x)dxJ a+r/c 其中 lim tlxF(a + 7/) = 0,

21、|(x 一。)入一”(巧| W -q0+(X fl)1 人已知入> O,UP1-A< 1时£ 收敛.从而极限Ja(X 一 a)l-入lim 沪F(a + )+入40+F(x)dxblim / (x a)f(x)clx =00+ Ja+i)存在.于是，瑕枳分.个仗-a)xf(x)dx收敛.5.证明:若瑕积分上f(x)clx收敛:且为工-0+时函数/(刃单调趋向于+oc,则lim xf(x) = 0.z*0+证 不妨设Hr 6 (0.1 JCr)上0,且/仗)在(0.1单调减少.已知A f(x)dx收敛由柯西收敛准则即Ve > 0,> 0(6 < 1). V

22、x : 0 < x < 冇Jf f(t)dt < &从而，0 < 孑()W Jx /水 < C 或 x/(x) < 2c 即 lim xf(x) = 0.atO+6.证明:瑕积分证丽总那(入>0)当入詔时收敛却玮时发散T»0+1x(l cosx)A当3入< 1时耳入< 士时:瑕枳分收敛;当入扌时瑕积分发散.7.求下列积分和柯西主值： 朕.解f 2 dx/ dx f 2 dxV.P. = lim ( / 一 + / )J-1 X 厂0+丿_1 X Jn X /=lim (In | r/| In | 1| + ln2 In f

23、j) = In 2.l0+ j鳶 sin xdx.解,/+8 .fAAV.P. I sinrrdrr = lim / sin xdx = lim ( cos a?)= lim cos-4+cos( -4)1 = 0 .J _g一*+8丿_二-4>+oo1一人 -4>4-oo8证明:若无穷积分f(x)dx = A(常数)侧积分上值V.Pff(x)dx =丄但反之不成立. 证已知Wc e R,有(-g < c,p > c)+oorcff(x)dx = / f(x)dx + / ooJ ooJ c+xfYlxf(x)dx +limP + 8 q+oolimp+ool:f(x)

24、dxf(x)dx + f(x)dxqJ c上式对任意p与g都成立訪别迪当p = g时辿成立,即f(x)dx =limP+OOf(x)dr(Vc e R. |p| > c)lim p»+oof(x)dx +limp*+ooJ f(x)dx11r+ocoo=/ f(x)dx = A .反Z不成立.例如，V.P.sin xdx = 0 .但是sinxdi却发散.练习题12.3(讲义下册,第305页)1设有二元函数f(x.y) = Sgn(x-y),(x,y) 6 R?证明:一元函数F(y)= f(x, y)dxJo在R连续拼描绘两数F®)图彖. 证 0 W W l.Vt/

25、G R,有1, y<-1, X g(0 w y w 1), f 仏 y) = sgn(x -?/) = < 0, x = y(0 y 1),1, x >y 1),I 1, 9>当y < 0时,z = F(y) = /J /(x, y)dx = j, dx = 1;当0 W " W 1 时,z = F(y) = J： f(x,y)dx =启(一 1)必 + 人 dx = 1 一 2y;当y > 1 时,z = F(y)= fo f(x,y)dx= f(-l)dx = -1.于是，函数(li 2/ < 0,z = F(“)= < 1 - 2

26、y,0 W g W 1, T, 2/ >1-其图彖如图12.a显然,z = F(y)在g 0), (0,1)、(1, +oo)都连续，且lim F(y) = lim F(y) = 1 = F(0), 叶0_y0+lim F(y) = lim F(y) = _1 = F yj/>1 +即z = F(y)在0与1也连续于是厂元函数F®)在R连续.2 求下列极限:(l)to j2i y/1 + y2dx .解 函数J科庐在矩形域D(-l WW W y W町连续(吨0)根据定理1,冇lim /x2 4- y2dx = / lim /x2 A- y2 dx = xdx = 1,解考

27、虑函数71 + 1 +1、ouo<y W 1,1 + (1 + xy)v11 +ex从而，二元怖数f(x.y)在止方形域D(0 W工W1 + exPs 0 1,有 lim r9-0+ 1 + (1 + 劝014 w " w 1)连续根据定理1,取?/ = £有f1dxf1noolim /Vn = Hm / 仕0 + (1 +計 心认1 + (1+讪0' (lim r)血='(Ku =Jo y-04 1 +(1 + 珂)屛丿o 1+Ere du fe / I 1 2e=/ II(TT)= /1 L-TTru = lnTT73 求F(y)F(y)=匚解旳

28、W (-1,1),3(5 > 0和划o e (-1,1),使y W h/o 人2/o + S u (1,1)二元函数f(x.y)=13、 2 sin xdx(l + T/sin6(1 + ysinar)2" (lJysinar)3玉区扱D(-7Tx 7V, yo - 6 yyo + 6)连续根据定理2? e (-1,1),冇13#F'M =(1 + y sin ar*/靠sin x-7T (1 + !/sin x)3*恥)=a学"“ sin xysin xy解 lim= lim y = y.xx x-*o xy(0切是被积函数的可左间断点可连续开拓因此，二元凶

29、数斗工与律(斗 =cos切在/是 连续函数,a + y与b + y也是y的连续函数且可导.根据定理4,有尸()-刊 3 ( sin 鋼血 * siny(b + y) _ siny(a + y)Ja+y 0 y x /b + ya + yfb+y sny(b + y) siny(a + y)= / cos xydx H:Ja+yb + ya + y|血训 + 训 siny(a + y)0smy + i/)- siny(a + y) + =G + 占)刑血 + 训 - © + 召 sinfa + y).5.设F(e) = # 彳 f (z + £ + )呦£(力 &g

30、t; 0),其中/'(a1)是连续两数，求F"(z). 解设£ = © + £ +仏则dr = ch 有FS）= £/：=）咖.根据定理2和定理4,冇S於匸:f呻=门2广" 丿o I dx Jh+£=f/( 丿0x+ £ + 人)一 f(x + £)d&15设"=+ £ +儿则du = d£ u =工+ &则du = d&有厂r+2h %)=L严+/lf(u)du - JfMdv.#再根据疋理44F%r) = f(x + 2h) 一 f(x +

31、 h) 一 f(x + h) + f(x) = f(x + 2h) 一 2f(x + h) + f(x).7证明;若函数在区间仏切连续则W 询有f /w町创=£/W(© 一 t)dt.证 上式等号左右两端分别对工求导数.Vxe a,6,有（/Q妙dy）： = f 加与（E /（一如）工=fa （和/ 一 f）l） dt +X）= fa 他此于是Mr a, b,有 1（/仗_ 艸）工=0#因此 Ja fa f)dtdy - f： f(t)(X - t)dt = C(常数). 令=a,显然C = 0,于是,也 a.b,有f 八（呼f (t)(© - t)dt.注 本题

32、可用分部积分法第见练习题8.4笫17题. 8证明:若函数/（）在a 连续则血e a, A）,有f(t + h) 一 f(t)dt = f(x) 一 f(a).证 已知他)在他A连续旳W a,A),t £ a,对使t +力 a, A). 设 t + h = ydt = dy 有于是,f(t + h)dt =rx+/i!Wy = /Ja+h1 fxini 石J f(t + h) 一 f(t)dt=曲(心眄帥画liinZiOlim/i 一 03 /":一人/"（訓洛比达法则） （曲朋皿-直/砒pm/(x + h) - f(a + h) = f(x) 一 /(a). h0

33、注 本题另证法见练习题8.4第11题.9 川积分号下可微分求下列积分：ln(sin x + a cos x)dx,a > 0.解 Vc:0<e< 1,6> 1使£ W a W d设f(x, a) = ln(sin2 x 4- a2 cos2 x).df2a cos2 xda sin2 x + a2 cos2 x它们在矩形域D（0 J 為,£ W a W d）连续.根据定理2,有尸rj 0.I ln(siir x + a2 cos2 x)j dx 2a cos?匚 孑0 sin2 x + d2 cos2 xS11K X2#clxF(d)2a cos2

34、x广*sin2 x 4- a2 cos2Jqdu(1 + “2)2 + ”2)役"=tanx, du = 有cosz xx17莒广(岛-禺叶总上式等号两端对a积分.1(a) = / (la = 7F ln(l + a) 4- C (C是常数) J 1 + a令a= 1,已知“1) = 0,有Z(l) = 7F In 2 4- C = 0 或 C = 7r In 2.于是 J(a) = 7r ln(l + a) 7rIn2 = 7rln1().证明下列无穷积分在指定区间 致收敛：(1)J°°sin xdx a Qt< +oc(a > 0).证 Vf a,

35、+oc),有x#x#eaidx(a > 0)收敛.于etx sin xdx在|q,+8)致收敛.11证明下列无穷积分在指定区间非-致收敛：监00*®如° 5 W 1分析 不论止数Ao怎样大，总存在充分小的止数 0.1,使无穷积分初扩goer。” =4- e o, 1即可.貝0存0,1,有er。如大于或等于某个止常数.只须取 = 证 士0 = ： > O,v.4 > 0, BAq > A,旳0 =即./°° ye-yxdx在0,1非致收敛.(2)人+°° (工半界血，° V 9 V +*分析不论正数心怎

36、样大左、存在充分大的“° (0,+8),使成00品=岛大于或 等于某个正常数只须取如=-4o 6 (O.+oo)即可.证 3e()= - > 0, V-4 > 0,3A()> A, 3y0 = Ao e (0, -hoc),有I必 詞=|(一上_)+oo|=->-=CQ.' JA()( + 9o)' Il 広 + 2/0丿 M ' Ao + 00 Ao + Ao 23即/r°° Tdx在(0,+oc)非致收敛.12.®Vy 6 a,0,点(b.u)都是r,u)的瑕点.泄义瑕积分f(x.u)dx在区间-致收敛

37、，并叙述其非一致收敛,并验证瑕积分需(1 -评-也在区间a,+oo)(a > 0) 致收敛，在区 间(0. +8)非一致收敛.答 瑕积分J'afMdx在区间00 i致收敛(点仮都是的瑕点)O 匯 > 0,为 > 0(d V b - a),V?/: 0 < 7/ < 6yu e a, 0,有x#x#瑕积分f(x,u)dx在区间0,0非 致收敛(点(b.u)祁是的瑕点)0 玉o > 0,V<5 > 0(6 < b a)7 3z/o ： 0 V 啲 V d, %。e a, 0,有x#x#验证 Vc > 0. Vw a, +oo)(a

38、 > 0),要使不等式(0 V < 1)r| = |l(i-xrx#x#Vc > 036 = minl, (d£)訂 > 0,Vt/ : 0 < < V” a. +oo),有成立，从不等式Z < £解得7/ < (ae)a,取§ = minl,(a)H.于是,(/x#x#即瑕积分盘(1 - x)uldx在区间a, +oo)(a > 0)-致收敛.但是,瑕积分什(1 - x)u-lx在区间(0,+oc)却非致收敛.这是因为，不论止数他怎样小，总存 在充分小的正数5 6 (0,+oo),使山爲。(1 一巧"

39、;0-也| =寻大于或零于某个正常数.已知”上很= 1(° < "0 V 1),因此当1】充分大，可使师> *士0 = ； > °，> °(d < 1),37/o : 0 < 7/o < 6,3u0 = 6 (0,4-oo)(7i0 N.兀。充分大)，冇 U(1 - X)u()dx = A = no %/丽 > 斤=£o即瑕积分什(1 -诽一也在区间(0,+oc)非致收敛.14 应用枳分号下可微分,求无穷积分：x#x#解 iS/(x,a) = -+.faM=xe-ax2 因为Ga > 0,冇

40、所以，函数f(x,a)在(叭0)可连续开拓使f(x.a)与盅(叭a)在区域£>(0x < +8,0 < a <+8)连续.Va > 0,3e > 0(e < 1)与<5 > 1,使a 囘几无穷积分+oo0 严-丁 -e-ax da xxeax" dxx19x#在已6致收敛事实上Va 询有xeax2 W 牝3已知/o°°收敛，则障°° xeaxdx在g 6 致收敛.根据定理lOWa £,几冇r(a)=L 隸)51=一春ax2+ oc 10 =亦x#x#从而，I (a) =

41、J" In n 4- C* 令。=1,己知/(l) to,有/(l) = |1111 4-C 或 C = 0.于是卫> 0,有11(a) = -Ina.15应用积分号下可积分,求无穷积分:+oo gax _sin xdx a > 0.6 > 0.丿0证将被枳函数农为枳分x-皿 _pbrbsin x = sin x I exydy = I exy sin xdy”J aJ a从而f'sin xdx = fa exy sinxdydx.已知函数/(x, y) = exy sin x 在区域 D(0 x < +oo,a Wy W 6)连续.不难证明,Q* e

42、xy sin xdx 在a,b- 致收敛.|e一珂 sinz| W 宀 W e"ax事实上,Vt/e a,fe,Wx#已知/芦eaxdx收敛从而.卩00 e 根据运理9、冇sin a;血在a,b 致收敛./+oc e-ax - e-bx广gfb/sin xdx = / s / eJoxJo 1 Jaa/: exy sin xdxdy (应 JIJ§7.2 例 6) b ( e"z?,(?/sinx + cos x) +x、 Ja U 1T? 儿丿fb dydya 1 +沪1 +出b=arg tail y = arg tail b arg tan a.a16 证明:

43、曲宀血=$（;）31 一一证 设f = T4, dx = -/ 4dt.有ex'dx （因e-是偶函数）=243凡讹=拭一 ;+】）=$#in + 1),n > 0. m > 1. n r ，/+0OI xmendx0 fxme-xndx = -V、 丄证设£ = xndx = t n dt 冇 nm 1-卄8 _ _J tn tn edt-0in + 11 广81 f ,1 zm + 1-/ t n e dt = -r(-1 + 1n Jon n;f+117 用函数与3函数求下列枳分：2 旷 解 设上=J rv =厂"（1 一 "釘血=一）一

44、（1 t厂扌dt.有21X2Jr(s)r(s4)#:孳丁尙 （应用例18的公式） 七可T 4/ 燼（$ =金.#(4)/21(1 -Xml(2/zi)!)ndx,n N.解 设£ = t2, dx =有#23JYdx因（1 -以尸是偶函数#=2 fl-坍如=(1 _ 卜 + 1) = B(l,n + 1) 帥+ 1) 吨) 讣+】)心)心冷Q 2n+1n! _2(2n)!=(2n + l)!= (2n+ !)!*1&证明:(2) In = Jq sinn 甲如(2m)!可 (2m)!h+1)!'n = 2m.证由公式(13),有n = 2 m + 1.n + 1)2萌

45、+1)2 rn G+i)#当n = 2m时，有（由）#7T2(2m - 1)! _ 莎(2m - 1)!#当n = 2m + 1时，有（应用的结果）r(m4- 1)F(m+ *+ 1)m(2 m)!(2/n+ 1)!= (2m + 1)!-2+1注 此题是§8.4的例7 这里直接应用两数与3函数上匕较简单.19.证明;椭圆积分E伙)=倬 / 一 2 si" 0d卩满足微分方程旳.)+討伙)+兽“0VX1.证己知E伙)=Jq7 - k2 sin2f 2如fz J VTF7°<”<EW = _ If1 fik sin2 甲,7td(p/1 k2 sin2(

46、1 Zcsin2 9?) 12V 1 A:2 sin"甲厂 x/ l-sin2 -JoJo /1 k2 sin2=；E伙)-F(切人丿01k.#F =/'(l_gn；严 9 snr1 ri _ (1 _ Asin?卩)k Jo (1 k2 sin2(p)i °lr1P P(l-A*2sin2)-3 -厂一 心 l0Jo J _ Z sin?呼r (1 k2 sin2 <p)d<p F 伙) 下面证明:斥(1 一 Qsin2卩)7如=召筹(1 k2 sin2 9) 容易验证下面等式(1 一 Zr2sin2 )-1 = (sin 中 cos k2 sin2

47、p) _ *)1 kzd<p步实上上式等号两端对卩从0到?积分，冇#1(1A;2sin2)b|j(1 一畑2讼=占力E(k)=TF,22 1上 2丁 sinp)辽如一 (sin 9?cos(1 -1 K.25E(k) F(k) 从而，由式，有F0)=人(1_人.2)一 + 对(1)式的等号两端再对k求导数，有E”(k)=-右E伙)一 F(k) + ?E0) 一 Fk)灿叭y)=y(l-x),y<x, ©(I -y),y>x.=右0伙)-F(切+ 加-F伙)一机警2)+ ¥=T -E伙) 炉(1一胖)E(k于是£ 伙)+乔氏伙)+耳_ F伙)E(k

48、) E(k) F(k) Eg炉(i _炉)十飞厂_ 帀一 +亍二不即E伙)是此微分方程的解.20证明:若函数连续但#则换数附)=.什k(x,y)f(y)dy满足微分方程仗e 0.1)u"(K)+ f(x) = 0, u(0) =0卫(1) =0.解 V© : 0 M a; w 1,将函数改写为"(”)=fgy(l- i)f(y)dy + 上 ®(1 - y)f(y)dy (1 x) yf(y)dy + z J(l y)f(y)dy.根据圧理 4,有加(丄)=yf(y)dy + x(l - x)f(x) + jJ(l - y)f(y)dy -x(l - x

49、)f(x). = -®/(s)-(1 - x)/(x) = -/(x),显然上(0) = 0. u(l) = 1.即 uH(x) + f(x) = 0.于是,“"(©) + f(x) = 0, u(0) = 0, u(l) = 0.则惭数妙(")=J：；： f(T,u)d；r在I* 间n,0连续.21 证明:若西数/(些“)在矩形域"(a W工W beW * 0)连续而函数a(“)与b(u)在区间g0也 连续卫" 0,历,冇a W a(u) W b、a W b(u) W b、证 已知/(些")在闭矩形域/?连续，从而它在R有

50、界脚 BM > 0,V(x,u) e R,有|/(x,u)| w M.Vw 6 使"+ A u e a,0,有讽"+ ”)=唸：爲 /(叭"+ u)dx =fa(uhu) f (眄"+ U)dx + fa(u) f(X "+ U)dx + /b(u)+AU)f 仗,"+ 其中|唸町'”+ ")血k M|a(“+ U)-a(w)|, | .殆f" f(x,u+ A u)t£r| W Mb(u+ Au) 6(u)|.已如(11)5(")在11连续，由上面两个不等式，有皿血0 £：?“)f(a, u+ u)dx = 0 与limAM_0 fb(ulu) /(©，"+ ")血=°-根据定理 1,乂有limg-o 瑞：)f(i+ u)dx = j鹅 f(x. u)dx. 于是 Jimg_o0(“+ ”)= fa(u) u)血=讽”), 即函数呎")=恍 fMdx在u连续，从而在区间a,冈连续.22 证明定理7.能理7.若函数 f(x, u)在区域D(a