专题训练之最短路径问题最全面的经典例题

1、 最短路径问题 1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。 如右图是一个长方体木块， 已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 2 2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 李庄 张村. 如图，直线L同侧有两点AB,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点巳使PA+PB勺和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB勺最小值。B 要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺

2、设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Knf口3Km张村与李庄白水平距离为3Km则所用水管最 短长度为。木+ 张村.李庄 四、巩固提高 （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 2、 现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带 （金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm底面圆周长为16cmi则所缠金丝带长度的最小值为。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到 食物，知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cni则蚂蚁爬行的最短路径为。 4、正方形

3、ABCD勺边长为8,M在DC上，且DMk2,N是AC上的一动点，DWMN的最小值为。 5、在菱形ABC师，AB=2/BAD=60，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB勺最小值为。 6、如图，在 ABC+,AC=BG=2,/ACB=90,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EOED的最小值为。 7、AB是。O的直径，AB=2OCM。的半径，OCLAB,点D在AC上，AD=2cD点P是半径OC的一个动点，则AP+PD勺最小值为。 8、如图，点P关于OAOB的对称点分别为CD,连接CD交OA于M,交OB于N若CD=18cm,则PMN勺周长为。 9、已知，如图DE是4ABC的

4、边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,且 AC=5,BC=8,则4AEC的周长为。 10、已知，如图，在ABC,ABACBC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,zABE的周长为14,则AB的长。第1题第2题第3题 D 11、如图，在锐角ABC中，AB=4业BBAG=45 ,/BAC的平分线交BC于点D,MN分别是AD和AB上的动点，则BM+M的最小值是. 12、在平面直角坐标系中，有A(3,2),B(4,2)两点，现另取一点C(1, 13、4ABC中，/C=90,AB=10,AC=6,BC=8过AB边上一点P作PHAC于E,PF,BC于F,E、F是垂足，则EF的最

5、小值等于. 14、如图，菱形ABCD+,AB=2,/BAD=60，点E、F、P分别是ABBCAC 上的动点，则PE+PF勺最小值为. 15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 16、 一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点， 设OAAB的中点分别为CPD的最小值， 并求取得最小值时P点坐标. 16、 如图， 已知/AO时有一点P,试分别在边O价DOB上各找一点E、F,使得 PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。

6、 17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线. 实验与探究： (1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(2,5)关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B、C; 归纳与发现： (2)结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第 n),当n= AC+BC的值最小. 时PO 一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为; 运用与拓广： (3)已知两点D(1,3)、E(1,4),试在直线l上确定一点Q使点Q到DE两点的距离之和最小，并求出Q点坐标. 7J-J 18、几何模型： 条件： 如图，A、B是直线L同旁的

7、两个定点.问题： 在直线L上确定一点P,使PA+PB勺值最小. 方法：作点A关于直线1的对称点A，连结AB交1于点P,则PA+PB=AB的值最小(不必证明). 模型应用： (1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB十PE的最小值是； (2)如图2,。0的半径为2,点A、B、C在。O上，OA1OB?/AOC=60。，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值； (3)如图3,/AOB=45,P是/AOB内一点，PO=10QR分别是OAOB上的动点， 求PQRW长的最小值. (2)如图，若四

8、边形ABCD是菱形，AB=10cm,/ABC=45 ,E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值； 问题解决(3)如图， 若四边形ABC奥矩形，AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值； AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上 19、问题探究 (1)如图， 四边形ABCD是正方形,的一个动点，求PC+PE的最小值； 图3 B E B C 20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120,得到线段OB. (1)求点B的坐标； (2)求经过AOB三点的抛物线的解

9、析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC勺周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(注意： 本题中的结果均保留根号)” _1_L_I4,1 4OI, 21、如图，抛物线 y=axy=ax2+bx+c+bx+c 的顶点P的坐标为交X轴于A、B两 _3 点，交y轴于点 c(0,c(0,- -V3).V3). (1)求抛物线的表达式. (2)把AABCgAB的中点E旋转180,得到四边形ADBC 判断四边形ADBC勺形状，并说明理由. (3)试问在线段AC上是否存在一点F,使彳#zFBD勺周长最小， 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 22.已知：直线y=1x+1与y轴交于A,与 X X 轴交于D,抛物线y=1X