量子光学基础第一章

1、1杨伯君 北京邮电大学理学院2 量子光学是用量子理论研究光的量子特性以及光与量子光学是用量子理论研究光的量子特性以及光与物质相互作用的量子特性的科学。它是量子力学物质相互作用的量子特性的科学。它是量子力学与量子与量子场论场论在光学中的应用在光学中的应用. 光的量子性在量子力学建立以前已为人们所认识光的量子性在量子力学建立以前已为人们所认识: 1900年年,为了解释热辐射的频谱分布为了解释热辐射的频谱分布,Planck第一个提出第一个提出光的量子性光的量子性,引入能量子的概念引入能量子的概念. 1905年年,Einstein为解释光电效应为解释光电效应,提出光量子的概念提出光量子的概念,给给出光

2、子的能量为出光子的能量为E=h,是光的频率，是光的频率，h是是Planck常数。常数。 1917年年 ,Einstein利用光量子概念唯象地解释了光在原子利用光量子概念唯象地解释了光在原子中的吸收与辐射，提出了受激辐射的概念中的吸收与辐射，提出了受激辐射的概念. 光的量子性提出光的量子性提出,为量子力学的建立和发展起重要作用为量子力学的建立和发展起重要作用. 3 绪绪 论论 量子力学建立于量子力学建立于1925-1926年年,Draic与海森堡的矩阵与海森堡的矩阵力学和力学和Schrdinger的波动力学。的波动力学。 上世纪上世纪60年代前量子力学与物理光学独立发展。物年代前量子力学与物理光

3、学独立发展。物理光学实验大都利用经典电磁场理论来解释。理光学实验大都利用经典电磁场理论来解释。1909年年Tayler利用很弱光束、长时间照射双缝干涉，希望观利用很弱光束、长时间照射双缝干涉，希望观测单光子通过双缝干涉的量子效应，没有成功。一阶测单光子通过双缝干涉的量子效应，没有成功。一阶振幅相干实验显示不出干涉过程中的量子效应。要显振幅相干实验显示不出干涉过程中的量子效应。要显示干涉过程中的量子效应不是简单振幅相干，而应是示干涉过程中的量子效应不是简单振幅相干，而应是振幅平方即强度相干。振幅平方即强度相干。 1956年年Hanbury，Brown和和Twiss进行了光子计数器进行了光子计数器

4、之间的相干，即二阶相干实验，称之间的相干，即二阶相干实验，称HBT实验。它是量实验。它是量子光学的开创性实验。子光学的开创性实验。4 绪 论 量子光学作为一个学科建立起来是在1960年激光器发现以后，高强度的激光出现使物理光学发生深刻变化，表现为： 1、高阶相干性的产生，高强度的激光可以实现强度相干，产生高阶相干性。 2、非线性光学出现，高功率激光射入介质引起明显的非线性效应，如光孤子、光子回声、四波混频、光学混沌等； 3、光场的集体量子效应，光子反聚束效应、亚泊松分布和压缩态等，这些是大量光子的集体效应，是光场的非经典效应； 4、在激光场作用下原子系统的量子动力学特性，崩塌与再生效应、原子相

5、干捕获，激光致冷效应等。 这些现象的研究形成量子光学内容。量子光学是用量子理论研究光的量子特性，以及光与物质相互作用量子特性的科学。5 绪 论 量子光学分为半经典理论和全量子理论两部分： 量子光学半经典理论，光场用经典Maxwell电磁场理论来描述，光与物质相互作用用量子力学处理，这就是方程中介质的电极化强度用量子力学计算，这一理论可以用来研究激光器的阈值条件、频率牵引、相位锁定和功率特性，讨论四波混频、受激拉曼散射等。 量子光学全量子理论，要求电磁场和原子、分子系统都量子化；讨论光子场与物质场相互作用，用来研究激光线宽、光场非经典效应、光学压缩态、激光场中原子动力学和激光致冷等。 本课程主要

6、从光通信研究需要介绍量子光学基本知识，包括激光器，光在光纤中产生各种量子效应，量子噪声、光孤子、光学压缩态等，光学压缩态在量子通信中有重要的应用。 6 绪 论 理学院申请到一个国家重点基础研究发展计划（973计划）课题：基于表面等离激元效应的光子-电子相互作用的量子调控研究。光子-电子相互作用是量子光学研究的内容，为了帮助部分同学能更好地投入这一课题研究，我们课程将书中第六章光孤子传输的量子理论改为表面等离体激元中的量子效应，将介绍表面等离体激元的量子化，光子与表面等离体激元的相互作用，表面等离体激元在金属表面的传输，光子与表面等离体激元之间量子态的转移以及表面等离体激元的压缩与纠缠性质。这些

7、有利于同学们深入了解表面等离子体激元的量子特性，对研究其在量子通信和量子计算中的应用有重要意义。 7 绪绪 论论课程分以下几章：1、量子力学的基础知识2、激光的半经典理论3、电磁场的量子化4、电磁场与原子的相互作用5、光学压缩态6、表面等离子体激元中的量子效应参考书：杨伯君，量子光学基础，1996，北邮出版社。 此书可在网上下载。考核;作业，译文加考勤。网上教材量子光学基础89 第一章第一章 量子力学的基础知识量子力学的基础知识 量子力学是处理物质微观现象的基本理论，它是近代 物理：包括原子分子物理、固体物理、半导体物理、原子核物理和粒子物理等学科的基础，也是量子光学的基础。 由于工科院校大学

8、物理中近代物理讲得很少，大多专业也不开量子力学，为了学习量子光学必需复习量子力学量子力学的基础知识的基础知识。 本章分以下几节： 1) 量子力学的基本原理； 2）量子力学的表述； 3）二能级原子模型； 4）密度矩阵。 参考书：彭金生，李高翔，近代量子光学导论，科学出版社，1996。10 第一节 量子力学的基本原理 物理学中各学科的基本理论都是建立在几个基本定律或假设的基础上的， 经典力学的基本理论是牛顿三定律, 电磁学的基础是Maxwell方程组，它对应电磁场中四个基本定律，Faraday电磁感应定律、Ampere环路定律和电场与磁场的Gauss定理， 热学的基础是热力学三定律。第一定律是能量

9、守恒定理,热力学第二定律是熵增原理 。 量子力学基本原理是五个假设:系统状态用波函数来表述、力学量用算符表示、Schrdinger方程，力学量平均值公式和全同性原理。 下面分别叙述：11 第一节量子力学的基本原理第一节量子力学的基本原理 1，量子力学系统的状态用波函数 来描述 电子与中子的衍射实验显示出微观粒子具有波动性，假定微观粒子的状态用波函数来描述，表示为 ，式中r是位置，t为时间。 自由粒子，de Broglie建议用平面波来描述 显示 在这条基本原理中最重要的是如何正确理解 波函数的物理意义。波函数在空间某处的强度 是和该处发现粒子的概率成正比，称为概率振幅 。 微观粒子的波动性,由

10、Danson-German电子衍射实验所证实。 )( t r)( t r). p().()(EtritrkiAeAet rEkp.212 第一节量子力学的基本原理 波的强度是振幅的绝对值平方其中 共轭函数，在t时刻，空间r附近体积元dV中找到粒子的几率dW为波函数满足单值、连续和有限的要求，满足归一化条件为了解释干涉和衍射现象，要求波函数满足状态叠加原理： 22( )1rtdVjnjjnncccc12211.的复是dVrtW2)(d13第一节量子力学的基本原理2，在量子力学中系统的物理量F用线性厄米算符 来表示。算符 满足 其中 为常数， 为线性算符，线性算符要求来源于波函数要满足状态叠加原理

11、。若 为常数称为本征值， 为本征函数 FF22112211)(FcFcccF2, 1cc11F1F14第一节量子力学的基本原理 算符的Hermite性要求对任意函数、，满足以下关系 若=称自厄算符,算符的厄米性要求来源于物理量的平均值必须是实数。 波函数的自变量是坐标时，坐标是乘算符，动量是微分算符有dVFdVF)(zipyipxipzyx.zkyjxiip15第一节量子力学的基本原理算符的运算规则A, 算符相等：若 ，且 是任意的， 则 。B, 算符加减：对任意波函数 , 则 , 则 C, 算符乘法:对任意态矢量 则算符乘法一般不满足交换律，即 若两个算符满足 ，称 与 是对易的。算符运算类

12、似于矩阵运算 .BABAFBAFABABGGABFABFABABBAABBAAB16第一节量子力学的基本原理 对于坐标和动量可以证明 其他力学量算符用以下方法得到：将各力学量用经典力学方法写成坐标和动量的函数，然后将其中坐标和动量变成算符，就得到其他力学量算符。 例如角动量算符 哈密顿算符 ixppxxx riprL)(2)(21222rVmrVpmH17第一节量子力学的基本原理3，在状态，在状态（rt）上测量物理量）上测量物理量F的平均值的平均值 是归一化的， 是算符F的本征态，在本征态上测力学量有确定的数值。 若两个力学量算符 和 相互对易，则它们有共同的本征函数，在共同本征态上两力学量A

13、和B能同时确定。 若两个力学量算符 和 不对易，在同一态上这两力学量A和B不能同时确定，其不确定量由测不准关系来表示。)()(t rFt rdVFF)(1t r)()(111t rt rFABAB)(1t r18第一节量子力学的基本原理力学量F的不确定量大小由均方差根表示测不准关系为对坐标与动量对时间和能量 ,原子能态的寿命212)(FFF,21GFGF221, 21 ipxpxxx2EEh19第一节量子力学的基本原理4，在非相对论量子力学中波函数（rt）满足的动力学方程是Schrdinger方程若势函数不显含t，取代入前式得到称定态Schrdinger方程, 形成一个正交完备系. 正交性)(

14、222rVmHtintEinncerut rn)()()()()(2)(22ruErurVmruHnnnn)(runnnnmnmnrrrurudvruru)()()()()(mn)(rr和和分别为分别为Knonecker和和Dirac函数。函数。其中其中20第一节量子力学的基本原理简单谐振子作为用Schrdinger方程求解的实例。质量为1的谐振子的Harmilton量算符定态Schrdinger方程方程可转化为Hermite方程求解得 能量本征值谐振子归一化的波函数其中 Hermite多项式：基态波函数 （n=0） 222222222122121qqqpH)()(21)(222222qEuq

15、uqdqqud)21( nEn2212122)()2 !()(qnnneqHnqu22410)()(qequ22xnnnxnedxd1exH）（）（2x4xHx2xH1xH2210）（）（）（由由/221第一节量子力学的基本原理引入振子湮没与产生算符系统的Harmilton量N个振子能量本征值与本征态：谐振子基态 )(21)(21piqapiqa)21(2121222aaqpH0)()(000quqqa22410)()(qequ0a n1n21nEnn）（！）（22第一节量子力学的基本原理5，全同性原理 量子力学认为全同粒子是不可区分的，全同粒子不可分辨性原理简称全同性原理。即任何两个全同粒子

16、交换不改变系统的物理性质，因此，描述全同粒子的波函数，对粒子交换只能是对称的或反对称的。 上式取正号为对称的，取负号为反对称的。要求波函数对称的粒子是玻色子，其自旋为 的整数倍，如光子，介子，中间玻色子；要求波函数反对称的粒子是费米子，其自旋为 的半整数倍，如电子，质子，中子；费米子要满足pauli不相容原理：即在每一个量子态最多只能有一个费米子。 ),(),(),(),(22abbaabbarrrrrrrr23第一节 量子力学的基本原理 两粒子对称波函数反对称波函数可以用行列式表示，N粒子系统对称波函数为 1 211221211()( )( )( ) ( )2srrrrrr1 2112212

17、21111221221()( )( )( )( )2( )( )1( )( )2Arrrrrrrrrr12121,2,.1 21122!.!(. )( )( ).( )!Skknnnpn nnrrrPrrrn24第一节量子力学的基本原理N个粒子反对称波函数为玻色子服从Bose-Einsten统计，在j态上粒子数的最概然分布，费米子服从Fermi-Draic统计，在j态上粒子数的最概然分布 其中gj是j态上单粒子状态数， ，为化学势。分母上的正号保证Pauli原理要求, 。1112112122221,2,.1, 2,12( )( ).( )( )( ) .( )1(. )().!( )( ) .

18、( )nnAnnnnnnrrrrrrr rrnrrr1jjjgne1jjjgne 1.kTkT jjgn 25第一节量子力学的基本原理总结量子力学的几个基本原理为； 1, 量子力学系统的状态用波函数 来描述 2，量子力学系统的物理量F用线性厄米算符 来表示 3，在状态 上测量物理量平均值为 4，在非相对论量子力学中波函数 满足动力学方程为Schrdinger方程 5，全同性原理：在量子力学中全同微观粒子是不可区分的，描述全同微观粒子的波函数，对粒子交换只能是对称的和反对称的。),(tr),(),(trFtrdvF),()(2),(),(22trrVmtrHttriF),(tr),(tr26第二

19、节第二节 量子力学的表述量子力学的表述本节将介绍量子力学中的一些描述方法。本节将介绍量子力学中的一些描述方法。1，量子力学中的表象，量子力学中的表象 系统状态波函数的写法与自变量有关，通常波函数表示为 自变量是坐标r与时间t，称为坐标表象中的波函数。若将波函数表示为 ，称为动量表象中的波函数。两类波函数之间关系是一个Fourier变换 逆变换 表示t时刻在动量空间 p 附近出现的概率密度，dVp为动量空间的体积元( , ) tr( , ) tp3 21( , )( , )(2)itdVt ep rpr3 21( , )( , )(2)iptdVt ep rrp2( , ) tp27第二节 量子

20、力学的表述 表示力学量的算符也与所用的自变量有关，即与表象有关。在坐标 表象中，坐标为乘算符x,y,z，动量是微商算符 在动量表象中，动量算符为乘算符 、 、 ，而坐标算符为微 商算符 其它力学量算符可以将各力学量用经典力学方法写成坐标和动量的函数，然后将其中坐标和动量变成算符，就得到其他力学量在不同表象中的算符.ypiyzpizxpixxxipxpyyipzzipypzp28 第二节第二节 量子力学的表述量子力学的表述能量表象，取其中 是能量表象中的波函数。 是系统 t 时刻处在能态上的概率。力学量F的平均值为： 其中 是力学量F的算符在能量表象中的表示，它是一个矩阵。取 得到 满足的动力学

21、方程，为能量表象中的Schrdinger方程()( )( )niEE tinmmnnmmnmnFC C F eFdVur Fu r( )( )( )( )niEEitnmmnmC tin V m eCttn V mdVu r Vur 0HHV( )( )( )niEtnnnrtC t u r e2ntC ）（nnE)(tCn)(tCnmnF29第二节量子力学的表述2，量子跃迁几率 设初态E=Ei，波函数t时波函数量子跃迁概率求解能量表象的Schrodinger方程，在一级近似下得到( 0)( )iru r( )( )( )nE tinnnrtC t u r e()10*( )( )( )nit

22、iEE tnniiC tn V i edtn V iu r Vu r dV 2( )nnpC t30第二节量子力学的表述取积分得到其中在旋转波近似下得到跃迁几率的一级近似从式中看出只有当 才有明显的跃迁。这是量子光学中引入二能级原子模型的依据。00cos2i ti tVVVtee(1)0()()( )2112()()nininitEEitititnititniniiCtn V ieeedtieen V iii1()niniEE222(1)(1)22()2( )()24ninnnitSinn V iPCtiEnE31第二节量子力学的表述3，Dirac符号 量子力学系统的一切可能状态构成一个矢量空

23、间，它是一个复空间，称Hilbert空间，系统状态将由这空间中的一个单位矢量表示，符号为 ，称为右矢（ket），要标出特定状态可写为 ，如能量的本征态 。相应复共轭空间矢量为 ，称为左矢（bra），矢量的内积为: 归一化条件表示为：正交归一化条件表示： 1 nmnm ndVdVr2)(32第二节量子力学的表述能量算符 的本征态 满足正交归一化条件 完备性 任一态矢可用完备系 展开态矢表示Schrodinger方程力学量F的平均值Hn1.0.nmnmn mnm1nnn nnnnnnnnc niHt( )( )Ft Ftn33第二节量子力学的表述4，量子力学中的绘景，量子力学中的绘景 若系统处在状

24、态 ，系统某力学量F的平均值（期望值） 当系统变化时， 也将随时间变化，这变化可以来源于 ， 也可以来源于 ，到底以谁的变化来体现，形成三个绘景： 1，Schrdinger绘景（绘景（picture） 在Schrdinger绘景中，力学量平均值变化来自于态矢量而与算 符无关，即算符不随时间变化 的变化满足Schrdinger方程 。 2，Heisenberg绘景绘景 在Heisenberg绘景中，力学量平均值变化来自于算符 ，而 态矢量 不变 的变化满足Heisenberg方程FFFF)(t( )( )sssFt Ft( )HHHFFt( )( )( )( )( )( ),( )HHHHiFt

25、Ft H tH t FtFtH tt( )F t( )stF( )F t)()(tHttisss34第二节量子力学的表述3，相互作用绘景，相互作用绘景 若系统受到某种微扰作用，如在辐射场中的原子系统，其哈密顿算符为 为原子内部哈密顿量， 为相互作用哈密顿量，对这系统的研究可以利用相互作用绘景，在这绘景中，态矢量和算符都随时间变化。 这绘景中的态矢量和算符与Schrdinger绘景中态矢量和算符关系： 其中态矢量 满足方程 其中 算符满足Heisenberg方程0HHV( )( )( )IIIFt F tt0( )( )iH tIstet00( )iH tiH tIsF teF e( )( )(

26、 )IIIitVttt00( )iH tiH tIsV teV e000 ( )( )( )( ),IIIIiF tF t HH F tF tHt0HV( )It35第三节第三节 二能级原子模型二能级原子模型 原子是由原子核和核外电子组成，其性质主要由核外电子所决定，从原子光谱是线状光谱，显示出原子中的电子在核外处在分离的能态上，电子从高能态跃迁到低能态放出光子，这从经典电磁场理论是无法解释的，原子结构显示典型的量子特性。原子结构是量子力学研究最早的课题，其中氢原子是唯一能严格求解的量子力学实际问题。 本节先介绍氢原子的量子力学处理，然后再介绍量子光学中常用的二能级原子模型。36第三节 二能级

27、原子模型1，氢原子的量子力学处理，氢原子的量子力学处理 氢原子满足的定态Schrodinger方程在球坐标中方程为分离变量得到两个方程222()2euEumr 222222211()(sin)2sinsineruumrrrrEu()( ) ()u rR r Y22222222()01()1()(sin)()0sinsinddRmrerERRdrdrrYYY37第三节 二能级原子模型球函数方程有单值解 只能取 =L（L+1） L=0，1，2，。方程的解为球谐函数径向方程有界要求能量取不连续值径向本征函数为广义的Leguerre多项式氢原子的波函数()(cos ).0, 1, 2.mimlmlml

28、YN Pem 422220.1,2,3,.22nmeeEnna n )2()2()(01200narLnareNrRllnlnarnlnl02130100)()()()()(arlmnlnlmearuYrRru38第三节 二能级原子模型波函数给出电子云空间分布。能级分布如右图所示。 能态n=1， n=2 n=3 n=4，电子在各能态之间跃迁将吸收或放出光子，光子频率满足频率定则；eVEEeVEEeVEEeVae85. 016151. 1914 . 3416 .132E141312021inniinniEEhEE.85. 016151. 191,4 . 3,6 VEEe

29、VEEeVEeVaeE，39第三节 二能级原子模型2,二能级原子模型二能级原子模型 在原子中当电子从高能态跃迁到低能态，就放出一个光子，放出光子频率满足频率定则 显示光子辐射主要涉及原子中两个电子能态。在研究光子与原子相互作用时，仅考虑原子中两个能级而忽略其他能级作用，称二能级原子模型 ua-a 二能级原子： ub -b 二能级原子模型中，原子仅两个能态分别为 a与b，其中 b 为基态，波函数表示为ub ，激发态波函数为ua ua, ub形成一个正交完备系. niEEh40第三节 二能级原子模型任一电子波函数可以用它展开，电子与电磁场作用取偶极近似，偶极作用矩阵元取E（t）=E0cost得到跃

30、迁概率公式tibbtiaabaerutCerutCrt)()()()()()()(rtErertV)()()(rurudVererprtEpbVaVbaEeEEab4)(2)(sin4)()(222202) 1 (ababEatEptC41第三节 二能级原子模型当辐射场光子的能量不完全等于原子两能级的能量差时，设想两能级频率为 和 a 两能级原子波函数表示 -a-/2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b+/2 b代入Schrodinger方程，适当处理后得 到Ca和Cb满足的方程称二能级原子的Sch

31、rodinger方程 (A) 称Rabi振荡频率abbaabEE., 2/a2/b)(2)(200abbbaaCRCitCCRCitC)2(exp)()()2(exp)()()(tirutCtirutCrtbbbaaa00EpRE42第三节 二能级原子模型在精确共振时=0，即光场频率等于两能级的频差，方程成为若取， 解得，这时状态在上下两能态间以频率 振荡， 是Rabi振荡频率。bbabbaCRtCCRitCCRitC202200412,21)0(, 0)0(baCCtRitCtRtCab0021sin)(,21cos)(021R0R43第三节 二能级原子模型若0，取方程解为方程化为利用久期方

32、程（系数行列式等于零） 得到R称广义的Rubi振荡频率。可以求出方程（A）的解为)2exp()0()0()()(tiCCtCtCbaba)()(2)(2)()(2)(200tCtCRitCitCRtCitCibabbaaRRRR202000)0()0(21sin21cos21sin21sin21sin21cos)()(00babaCCRtRiRtRtRRiRtRRiRtRiRttCtC44第三节 二能级原子模型3，衰减的二能级系统由于自发辐射，原子能级是不稳定的，方程(A)中引入衰减项，得衰减的二能级系统的动力学方程 a (B)其中 与 分别是a和b能态的衰减系数 . b下面分两种情况讨论 (

33、A),设 取代入方程（B）使 的方程与方程（A）形式相同。利用微扰论得到一级近似跃迁概率，在旋转波近似下有 （*） abbbbaaaCiRCidtdCCiRCidtdC0021)(2121)(21)()().()(22tCetCtCetCbtbataba2202)1(2/ )()2)(sin(4)(ababtateRtCabab)(),(tCtCba,/,00EpREab45第三节 二能级原子模型（B）当 时 通过解久期方程（系数行列式等于零）得本征值是复Rabi振荡频率。可以求出方程(B)的解为其中若取得求出衰变总概率ba21220)(21()(21.babaababiRititNtitMC

34、CNtiRtRiMetCtCbababatbaab21sin)(21121cos.21sin)(21121cos)0()0(21sin21sin)()(00210)0(,.1)0(baCC21sin)(21121cos)(2titetCbataab1 2121sin)(21121cos)(2022202002baababbataaaRRtitdtetCdtab46第四节，密度矩阵第四节，密度矩阵 对于混合态没法写用单一波函数或态矢量来描述，而必需用密度矩阵，本节将从二能级原子系统引入密度矩阵概念，然后讨论密度矩阵的性质，并引入光学的Bloch方程。1，二能级原子的密度矩阵 考虑二能级原子系统某

35、一个状态用Dirac表示 可以定义一个投影算符 ，称密度算符，这算符的矩阵表示为 称为密度矩阵，其中 ，它正比于原子在能态 a 的概 率， 而 正比于原子在能态 b 的概率。 它显示出 a 、b 两 能态之间关联，它与两能态之间量子跃迁 有关， 显示密度矩阵可以比态矢量带来更多的信息( )( )( )aabbCtC t aC t bC*aaaabaaababbabbbbabbCC CC CCCCC CC C *aaaaC C*ababbaC C*bbbbC C47第四节，密度矩阵第四节，密度矩阵 不仅可以表示状态，也可以用它来求力学量的平均值 Tr 为Trace，为矩阵的迹，即力学量平均值是密

36、度算符与该力学 量算符乘积的矩阵迹，这结果不仅对二能级系统，对多能级系统 也是成立的。 若一个量子系统不能确切知道在哪个纯态 ，而只知道在 的概率为 ，这系统为混合态，对混合态的密度矩阵为*()()()ababaabbabbaaaaaabbabaabbbbbMMCaCb M CaC bC Ca M aC Cb M bC Ca M bC Cb M aMMMMTrM()()nmmnnnnmnMMMTrMPP48第四节，密度矩阵第四节，密度矩阵将态矢量 在某力学量的本征态 上展开 其中，矩阵元 相应力学量M的平均值 对于混合系统，力学量的平均值也是密度算符和力学量算符乘积的矩阵迹。nnnCnCn*nmnmnmnmPC Cnmnm *nmnmP C C()kkMPMPM kkkM kTrM n492,密度矩阵的性质密度矩阵的性质描述量子系统的密度矩阵具有以下基本性质： 1）密度矩阵的迹为1 取密度矩阵 2）密度矩阵是Hermite矩阵 3）密度矩阵是一个正定矩阵,若 是状态空间任一态矢， 4）对于纯态， 则 而对于混合态2 21t rt r21trP()1trP trP* *()nmnmmnmnP C CP C