一概念的引入ppt课件

1、YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算一、概念的引入一、概念的引入实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上延续挪动时曲面上延续挪动时, ,切平面也延续转动切平面也延续转动. .YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算分割分割取近似取近似求和求和1(,).niiiiiMS 取极限取极限01lim(,).niiiiiMS YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算二二、曲曲面面的的面面积积 22,1 cos1xyxy

2、Szfx yfx yxyXYzff 设设有有一一块块曲曲面面 ，它它的的方方程程为为具具有有对对 及及 的的连连续续偏偏导导数数，且且其其在在平平面面上上的的投投影影区区域域为为可可求求面面积积的的。这这样样的的曲曲面面在在每每一一点点都都有有切切平平面面和和法法线线，以以 表表示示法法线线与与 轴轴的的夹夹角角，则则xy 将将曲曲面面的的投投影影区区域域分分划划为为若若干干可可求求面面积积的的小小区区域域YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算12 n， ， 112*max.,.1,2,.ii nniiiiiiiiiiiiiidSSSSSinMfMSSS

3、XYSXYMd 令令的的轴轴直直径径 在在这这一一分分划划之之下下相相应应地地将将曲曲面面分分为为若若干干小小片片在在上上任任取取一一点点过过点点，作作曲曲面面 的的切切平平面面，在在这这个个切切平平面面，我我们们取取一一小小块块它它的的取取法法必必须须使使在在平平面面上上的的投投影影与与在在平平面面上上的的投投影影相相同同，同同为为从从直直观观上上来来看看，在在点点的的附附近近. .切切面面应应当当相相当当逼逼近近于于曲曲面面，换换句句话话说说，当当 充充分分* 1iiniSSSSi 小小时时，应应相相当当逼逼近近于于，于于是是很很自自然然地地认认为为和和数数非非常常接接近近于于曲曲面面 的

4、的面面积积. .YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算0iidMSS 当当时时，若若上上述述和和数数有有一一个个确确定定的的极极限限，并并且且这这个个极极限限值值不不依依赖赖于于分分划划及及点点在在上上的的取取法法，则则该该极极限限值值就就是是曲曲面面 的的面面积积. . 22,1 cos1,iiiixiiyiiSMzff 由由于于切切平平面面的的法法线线就就是是曲曲面面 在在点点的的法法线线 它它与与 轴轴的的夹夹角角 为为*,iiSXY 又又因因为为在在平平面面上上的的投投影影为为所所以以YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一

5、类曲面积分的计算 22*1,cosiixiiyiiiiSff 22*11221,1,nnixiiyiiiiixyxySfffx yfx y 而而和和数数正正是是函函数数在在可可求求面面积积区区域域上上的的黎黎曼曼和和。0:dS当当时时极极限限存存在在，这这样样便便得得到到曲曲面面 的的面面积积公公式式YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 *012201limlim1,nidinxiiyiiidiSSff 221xyxyff dxdy cos,xydxdySn z 由由推推倒倒过过程程可可知知 cos,.n zzxy这这里里表表示示曲曲面面的的法法线线与

6、与 轴轴的的夹夹角角余余弦弦，它它是是和和 的的函函数数YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 , , uuuvvvxx u vyy u vzz u vu vUVSx u vy u vz u vuvxyzxyz 若若曲曲面面的的方方程程为为这这里里点点为为平平面面上上的的一一个个区区域域，假假设设曲曲面面没没有有重重点点 同同时时假假设设函函数数在在上上连连续续具具有有对对 和和 的的连连续续偏偏导导数数, ,并并且且雅雅可可比比矩矩阵阵YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算2,的的秩秩为为令令uuuuuuvvvv

7、vvyzzxxyABCyzzxxy ,.A B C那那么么曲曲面面上上每每一一点点处处的的法法线线方方向向数数为为 2,0.A B C 因因矩矩阵阵的的秩秩为为 ，所所以以 222cos,zCn zABC 由由于于法法线线与与 轴轴夹夹角角的的余余弦弦为为YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 222cos,1,cos,xydxdySn zD x ydudvD u vn zABC dudv 所所以以由由于于YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 2222222222uuuvvvuvuvuvABCxyzxyzx xy

8、 yz z 2EGF其其中中222222uuuvvvuvuvuvExyzGxyzFx xy yz z2SEGF dudv YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算2.EGF dudv 称称为为面面积积元元素素 22222210.xyzaxyax aS 例例求求球球面面含含在在柱柱面面内内部部的的面面积积解解：xxzz yyzz 2222222221xyxyzaazzzzaxy YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算由由对对称称性性，并并利利用用柱柱面面坐坐标标：2224xyaSdxdyaxy cos222004aad

9、rdrar 2412a 2,coscoscossin,0222sinRSxRyRzR 例例 求求以以 为为半半径径的的球球面面面面积积此此球球的的方方程程为为YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算222222,0,cosExyzRFGR 解解：222cosEGFR 8由由于于球球面面的的对对称称性性，只只要要计计算算它它在在第第一一卦卦限限内内的的面面积积，这这个个面面积积的的 倍倍就就是是整整个个球球面面的的面面积积. .222008cosSRdd 24 R YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算三、化第一类曲面

10、积分为二重积分三、化第一类曲面积分为二重积分 1211212, ,.,.,max,xyxyxynii nnnx y zSSzfx yXYfx yxydSSSSSSS 设设为为定定义义在在曲曲面面 上上的的连连续续函函数数曲曲面面的的方方程程为为它它在在平平面面上上的的投投影影为为一一块块可可求求面面积积区区域域，并并设设在在上上具具有有对对 和和 的的偏偏导导数数 若若将将区区域域分分划划为为若若干干可可求求面面积积的的小小区区域域， ，令令的的直直径径 ，在在这这一一分分划划之之下下，相相应应的的曲曲面面 亦亦被被分分划划为为若若干干可可求求面面积积的的小小块块并并把把它它们们的的面面积积仍

11、仍记记为为那那么么按按定定义义就就有有YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 01, ,lim,niiiidiSx y z dSS ,.iiiiiiiSf 这这里里为为上上的的任任意意一一点点221iixySff dxdy 根根据据中中值值定定理理 22*1,xiiyiiiff *,.iii 这这里里点点为为上上的的某某一一点点于于是是YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 1,niiiiiS 22*1,1,niiixiiyiiiiff 2211,1,niiixiiyiiiiniiiff ,xyfff由由假假设设连

12、连续续，故故YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 220122lim,1, ,1xyniiixiiyiiidixyffx y fx yff dxdy 01lim0.niidi 容容易易证证明明 22,1xySxyx y z dSx y fx yff dxdy 所所以以YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 , , uuuvvvxx u vyy u vzz u vu vUVSx u vy u vz u vuvxyzxyz 若若曲曲面面的的方方程程为为这这里里点点为为平平面面上上的的一一个个区区域域，假假设设曲曲面面

13、没没有有重重点点 同同时时假假设设函函数数在在上上连连续续具具有有对对 和和 的的连连续续偏偏导导数数, ,并并且且雅雅可可比比矩矩阵阵YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算2.的的秩秩为为 , ,Sx y z dS 则则 2,x u vy u vz u vEGF dudv 222222 uuuvvvuvuvuvExyzGxyzFx xy yz z 这这里里YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的性质第一类曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若, )3(21 ; ),( )

14、,( )1( dSzyxfkdSzyxkf dSzyxgzyxf ),(),( )2(; ),( ),( dSzyxgdSzyxf. ),( ),( ),(21 dSzyxgdSzyxfdSzyxf特别，特别，的的面面积积。 dS时时，当当 1),( zyxfYunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 :, ( , , )( , , ( , );S zz x yf x y zf x y z x y ; ),(),(122dxdyyxzyxzdSyx .xySxoy 将将曲曲面面向向面面投投影影，得得22( , , ) , , ( , ) 1;xyxySf x

15、 y z dSf x y z x yzzdxdy );,(:. 1yxzz 若曲面若曲面那那么么三代：三代：二换：二换：一投：一投：YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算22 , ( , ), 1;xzxzf x y x zzyy dxdz ( , , )Sf x y z dS );),(,( ),(),(:zzxyxfzyxfzxyy ; ),(),(122dxdzzxyzxydSzx .xzSxoz 将将曲曲面面 向向面面投投影影，得得那那么么三代：三代：二换：二换：一投：一投：2.( , )Syy x z 若若曲曲面面 ：YunnanUnivers

16、ity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算例例3 3解解hxyzoaaa面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 xoy . :222yxaz 2222: .xyxyah ,222yxaxzx .222yxayzy YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算dxdyyxzyxzdSyx ),(),(122 .222dxdyyxaa zdS2222221xyadxdyaxyaxy 2221 xyadxdyaxy hxyzoaaa2202 ,:0.xyrah YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算 zdS2221 xy

17、adxdyaxy hxyzoaaa .sin,cos ryrxdrrradaha 1 2202220 .ln2haa )( 1 )21(220222022radradaha 200 2222)ln(2draaha 20ln22dhaaYunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算例例4 4解解xyzoaaa面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 xoy . : )1(222yxaz 222: , 0, 0.xyxyaxy ,222yxaxzx .222yxayzy YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算dxdyyxzyxzdS

18、yx ),(),(122 .222dxdyyxaa dSzyx )(222 222222222() )xyaxyaxydxdyaxy 32221 xyadxdyaxy YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算0,:20.xyra 所以，所以，dSzyx )(222 drrradaa 1022203 .24 a .sin,cos ryrxxyzoaaaYunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 yoz . :222zyax 222: , 0.yzyzay ,222zyayxy .222zy

19、azxz xyzoaaadydzyxxyxxdSzy ),(),(122 .222dydzzyaa YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算dSzyx )(222 222222222()yzaayzyzdydzayz 32221 yzadydzayz xyzoaaa,:220.yzra YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算xyzoaaa .sin,cos rzrydSzyx )(222 32221 yzadydzayz drrradaa 1 022223 .4 a YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算例例5 5解解.4321 xyzo1111 2 3 4 dSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321 YunnanUniversity2. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算. 0:1 x, 0),( xyzzyxf. 0:2 y, 0),( xyzzyxf. 0:3 z, 0),( xyzzyxfdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321 dSxyz 4 3 1 2 xyzo1114 YunnanUniversity2.