期权定价数值方法

1、第20章基本数值方法 20.1 二叉树20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价20.3 对于支付股息股票的二叉树模型20.4 构造树形的其他方法20.5 参数依赖于时间的情形20.6 蒙特卡罗模拟法20.7 方差缩减程序20.8 有限差分法第20章 基本数值方法1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ； 2、下降到原先的 倍，即 。 时间内资产价格的变动时间内资产价格的变动SuSudSd 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能：t t其中 ， .如图所示。价格上升的概率假设为 ，下降的概率假设为 。1u 1d p1pt相应地，期权价值

2、也会有所不同，分别为 和 。ufdf20.1 二叉树 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 。则组合为无风险组合SuuSdfd 此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得r tuSfSufe 将 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr无套利定价法：无套利定价法：udffSuSd在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。20.1.1 20.1.1 风险中性定价风险中性定价在风险中性的条件下, 参数值满足条件：SdppS

3、uSetr)1 ( dppuetr)1 ( 假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222(1)(1) StpS up S dSpup d 2222)1 ()1 (dppudpput再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件） 1/ud由以上三式可得，当 很小时：tdudeptrteuted从而 1r tudfepfp f 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。20.1.2 20.1.2 确定确定p,u,dp,u,d 一般而言，在 时刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：ti1ijijduS0 其中0,1,ji

4、由于 ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 1ud20.1.3 20.1.3 资产价格的树形资产价格的树形 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。例例20-1 DerivaGem20-1 DerivaGem示范示范 Ttrt20.1.4 20.1.4 通过

5、树形倒推计算通过树形倒推计算 假设把一期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的证券价格可得（以看涨期权为例）： 其中假定期权不被提前执行，则： （表示在时间 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）若有提前执行的可能性，则：tjijduS0),(ji0,1,jN1,11,(1)r tijijijfepfp f )0 ,0(ijNiti20.1.5 20.1.5 代数表达式代数表达式)0 ,max(0,KduSfjNjjN)1 (,max, 11, !0,jijitrjNjjifppfeKduSf)(5 . 0)/()()/()(20202000, 21 , 20201 , 22

6、, 2dSuSdSSffSuSffdSuSff000, 11 , 1ff*tff20, 01 , 220.1.6 20.1.6 估计估计Delta与其他希腊值与其他希腊值 dppuetqr)1 ()(dudeptqr )(teuted20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定价价 当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风险利率。Derivagem求解例求解例20-3，20-4假设股息离散

7、支付，股息收益率已知 可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格； 如果时刻 在除权日之前，则结点处股票价格仍为： 如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为： 若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为： （ 为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）ijdSujij, 1 , 0,titijijduS)1 (0,1,jijijiduS)1 (tii20.3 对于支付股息股票的二叉树模型对于支付股息股票的二叉树模型20.3.1 20.3.1 股息收益率是已知的情形股息收益率是已知的情形ti20.3.2 20.3.2 已知股息数量的情形已知股息数量的情形

8、在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的形状如下图所示。 将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个除息日，则在时刻 不确定部分的价值为：*()()S i tS i t 当 时i t *()()()ri tS i tS i tDe 当 时（D为股息）i t 对于原股票价格S的二叉树，在 时刻：当 时，股票价格为：当 时，股票价格为：tii t *()0jijri tS u dDe ti*0jijS u d0,1,ji（ 为零时刻的 值）

9、例例20-520-5*0S*Sti 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设： （ 代表期权B的真实价值， 表示关于期权A的较优估计值， 和 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A 的更优估计值为： BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff20.3.3 20.3.3 控制变量技术控制变量技术pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的缺点在于二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。 t20.4

10、 构造树形的其他方法构造树形的其他方法 CRR方法并不是构造二叉树的唯一方法，在确定参数 、 和 时，不再假设 ，而令 ，可得： 三叉树图 每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；2、保持不变，仍为 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd 假定股票支付股息收益率q，以下参数可保证树形的均值和标准差与股票价格的均值和标准差相吻合3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp )(tf1、利率是时间依赖的情形 假设 ，即在时刻 的结点上，其应用的利率等于 到 时间内的远期利率，则： rf ttttt f ttedpud

11、 1f ttuepud这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图，不同的是贴现时用2、波动率依赖于时间20.5 参数依赖于时间的情形参数依赖于时间的情形Monte Carlo: Based On Probability & Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。20.6 蒙特卡罗模拟法蒙特卡罗模拟法等价形式重复以上的模拟至足够大的次数，计算回

12、报值的平均值，重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值折现后就得到了期权的期望值（ 是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）SdzSdtds假定在风险世界中，标的市场变量服从 ，为了模拟变量S的路径，将期权期限分割成N个长度为 的小区间，其近似方程为： 实际中，对lns进行模拟结果更准确。由伊藤引理，tttSttStSttS)()()()(dzdtsd)2(ln2因此，tttSttS)2()(ln)(ln2)2exp()()(2tttSttS1、当回报仅仅取决于到期时 的最终价值时，可直接用一个大步（ ）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期

13、权价值：S0T 2、当回报依赖于多个市场变量时每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值。 的离散过程可以写为：i（期权依赖于 个变量 ， 为 的波动率， 为 在风险中性世界中的期望增长率， 为 和 之间的瞬间相关系数） iiiiiiitttmttstt n1iin isiimiikik)2exp()0()(2TTSTS20.6.1 20.6.1 多个标的变量的情形多个标的变量的情形 的产生：是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，EXCEL中的指令=NORMSINV(RAND()用来产生一元标准正态分布的随机样本。如果要产生n元联

14、合正态分布的随机抽样，用乔里斯基分解。如果对衍生产品价格的估计值要求95的置信度，则期权价值应（ 是进行运算的个数， 为均值， 是标准差）1.961.96fMMM20.6.2 20.6.2 由正态分布中抽样由正态分布中抽样20.6.3 20.6.3 模拟次数模拟次数 在每个节点，取01随机数，随机数P,选择上升分支，否则，选择下降分支。到达下个节点后，重复上述过程直到到达树图末端。（例20-9）fxff*fxx其中， 为标的变量价格或参数， 为一般蒙特卡罗法计算的衍生产品价格， 为将 值增加 时计算出的衍生产品新价格。为减小标准误差，计算这两次衍生产品价格时，选用的时间区间个数N,选用的随机样

15、本、模拟运算的次数M都必须相同x20.6.5 20.6.5 计算希腊值计算希腊值20.6.4 20.6.4 通过树形取样通过树形取样主要优点： 1. 可以给出估计值的标准误差，可以处理复杂的收益形式。 2. 可用于收益为变量所遵循的整个路径的函数，而不只是变量最终值函数的情形。主要缺点：1. 只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2. 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。20.6.6 20.6.6 应用应用（一）对偶变量技术(antithetic variable technique)（二）控制变量技术(control variate technique)（三）重点抽样法(im

16、portant sampling)（四）间隔抽样法(stratified sampling)（五）矩匹配法(moment matching)（六）利用伪随机数(quasi-random sequency)20.7 方差缩减程序方差缩减程序222212fffrSSrftSS转化为一系列近似的差分方程，之后用迭代法求解，得到期权价值。20.8 有限差分法有限差分法有限差分方法的主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程有限差分网格 的近似 对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示： 、 和 的近似 对于 点处的 ，我们则采取前向差分近似以使 时刻的值和

17、 时刻的值相关联： 的近似 点 处的 的后向差分近似为 ，因此点处期权价值对标的资产价格的二阶差分为fS, i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft, i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i j fS,1,i ji jffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS1.下面介绍一下 、 和 的差分近似ftfS22fS20.8.1 20.8.1 隐式有限差分法隐式有限差分法1,.,2 , 1Mj把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中， ,1,11,ji jji

18、jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN2.差分方程 时刻看跌期权的价值为 其中 当股票价格为零时，下方边界上所有格点的期权价值： 当股票价格趋于无穷时 T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S ,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.,iN3.边界条件联立 个方程： 和 时， 时， 时，解出每个 的期权价值最后可以计算出 ，当 等于初始资产价格时，该格点对应的 就是我们要求的期权价值。 1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j

19、 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0, jfj SNi ,max,0N jTfXS4.求解期权价值 隐式差分法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：显式有限差分法： 其中， 即直接从 时刻的三个相邻格点的期权价值求出 时刻资产价格为 时的期权价值，可理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj tjtr t *22111jbjtr t *22111122jcrj tjtr t 1iti tj S20.8.2 20.8.2 显式有限差分法显式有限差分法1ZnS以lns为标的变量代

20、替以s为标的变量，定义 微分方程变为：针对Z设定等距离网格，隐式法中，微分方程变为2222122fffrqrftzz21,1,1,1,1,2,221222iji ji ji ji ji ji ji jfffffffrqrftzz即,1,11 ,jijjijjijijffff其中221jtrtz 222222jttrqzz 20.8.3 20.8.3 变量替换变量替换222222jttrqzz21,1,11,11,11,11,2,221222iji jijijijijiji jfffffffrqrftzz*1,11,1,1,jijjijjiji jffff2*2211222jttrqr tzz 显示法中，差分方程为即其中*22111jtr tz 2*2211222jttrqr tzz 1.跳格法（hopscotch method）2.Crank-Nicolson法20.8.5 20.8.5 其