平面解析几何硬解方法及便捷规律

1、v1.0 可编辑可修改1. 圆锥曲线对比表2. 硬解定理内容3. 结论与推论平面解析几何v1.0 可编辑可修改第一部分 圆锥曲线对比表圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x2 /a2 +y2 /b2 =1 (a>b>0)x2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 (a>0,b>0)y2 =2px (p>0)范围x -a,ay -b,bx (- ， -a a,+ ) yRx 0,+ ) yR对称性关于 x轴，y 轴，原点对称关于 x 轴，y 轴，原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),

2、(-c,0)【其中 c2 =a2 -b2 】(c,0),(-c,0)【其中 c2 =a2 +b2 】(p/2,0)准线x=±a2 /cx=±a2 /cx=-p/2渐近线y=±(b/a)x离心率e=c/a,e ( 0,1)e=c/a,e (1,+ )e=1焦半径 PF? =a+ex PF? =a-exPF? =ex+aPF? = ex-a PF=x+p/2焦准距p=b2 /cp=b2 /cp通径2b2 /a2b2 /a2p参数方程x=a·cosy=b·sin ， 为参数x=a·secy=b·tan ， 为参数x=2pt 2y=

3、2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点(x0,y0 )的切线方程x0·x/a 2 +y0·y/b 2 =1x0x/a 2 - y0·y/b 2 =1y0·y=p(x+x0)斜率为 k 的切线方程y=kx± (a 2 ·k2 +b2 )y=kx±(a 2 ·k2 -b2 )y=kx+p/2kv1.0 可编辑可修改第一部分 硬解定理内容CGY-EH定理 （圆锥曲线硬解定理 ）若曲线与直线 A+By+C=0相交于 E、F两点, 则:其中 为一与同号的值，定理说明应用该定理于椭圆时, 应将代入。应用于双曲线时, 应将代入同时

4、不应为零 , 即 不为零。求解 y1+y2 与 y1*y2 只须将 A与 B 的值互换且 m与 n 的值互换 . 可知 与? ' 的值不会因此而改变。定理补充联立曲线方程与 y=kx+是现行高考中比联立” Ax+By+C=0“更为普遍的现象。 其中联立后的二次方程是标准答案中必不可 少的一项， x1+x2，x1x2 都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。 这里给出一个 CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。若曲线 与直线 y=kx+ 相交于 E、F 两点 , 则 :这里的 既可以是常数，也可以是关于 k 的代数式。由这个公式我们可以推

5、出：v1.0 可编辑可修改若曲线为椭圆,则若曲线为双曲线,则由于在高考中 CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需 要考生自己填写)：联立两方程得(二次式子)( * )所以 x1+x2=， x1x2=；所以|x1- x2|= ( x1+x2)2- 4x1x2=(此时代入、式得到一个大式子，但不必化简)化简得 |x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简 )下面就可求弦长了。定理简证设曲线 x2/m+y2/n=1 与直线 A+By+C=0相交于 E、F 两点，联立式可得最终的二次方程：(A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0应用韦达

6、定理，可得 :x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n)x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n)? =4mnB2 ( -C2)对于等价的一元二次方程 ? 的数值不唯一 ,且 ? 的意义仅在于其与零的关系 ,故由 4B2>0恒成立, 则可取与 ? 同号的 ? '=mn( -C2) 作为? 的值。 3由|EF|=(x_1-x_2) 2+(y_1-y_2) 2 )=(1+A2/B2 ) (x_1+x_2) 2-4x_1 x_2 )可得|EF|= (A2+B2)4mn(A2 m+B2 n -C2)/(|A2 m+B2 n|)令 =A2 m+B2 n 则得

7、到 CGY-EH定理 :x_1+x_2=(- 2ACm)/ ; x_1 x_2=(m(C2 -B2 n)/ ; ? '=mn( -C2) ;|EF|=(2 (A2+B2) ? ')/(| |)v1.0 可编辑可修改第一部分 结论与推论、椭圆的常用结论：1. 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 .H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT上的射影去长轴的两个端点 .4.3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.若P0(x0,y0) 在椭圆2x2a2

8、by2 1上，则过 P0的椭圆的切线方程是x0x2ay0y 1. b21.6.若P0(x0,y0) 在椭圆2x2a2y2 1外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 bP1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0x2ay0 y 1.b2 1.27. 椭圆 x2a2 y b21 (a>b>0) 的左右焦点分别为 F1，F2，点 P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b tan 2 .228. 椭圆 x2 y2 ab1(a>b>0)的焦半径公式 |MF1 | a ex0 , |MF2 | a ex0( F1( c,0) , F2 ( c,

9、0) M (x0, y0).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MFNF.211.AB是椭圆 x2a2 y b21的不平行于对称轴的弦， M(x0,y0)为 AB的中点，则kOM kABb2 ，即 K AB ab2x02。 a y012. 若P0(x0, y0 )在椭圆2x2a2y2 1内，则被 Po 所平分的中点弦的方

10、程是 bx0x2ay0yb22 x02a2 y02 ； b2 ；推论】：1、若 P0(x0,y0) 在椭圆2x2ay2b21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是2x2ay2b2x0xy0ya2b22 椭圆 x2 ay2b21( a>b>o)的两个顶点为A1(a,0) , A2(a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是2x22 aby22 1.22、过椭圆 x2a2y2 1 (a >0, b >0)上任一点 A( x0 , y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，bv1.0 可编辑可修改则直线 BC有定向且

11、kBCb x0 常数） .2a y023、若 P 为椭圆 x2a22by22 1a> b> 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,PF1F2PF2 F1，则 a c tan cot .a c 224、设椭圆 x2a222 y b2a> b>0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2P，则有 sin c e. sin sin a25、若椭圆 x2 a2 y b2a> b>0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 0<e 2 1时，可在椭圆上求一点P，使

12、得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 .6、22 y a b2P为椭圆 x2 y2 1（a>b>0）上任一点 ,F 1,F 2为二焦点， A为椭圆内一定点，则2a|AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|, 当且仅当 A, F2 ,P三点共线时，等号成立 .7、椭圆 (x2x0)(y2y0)1与直线 Ax By C0 有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2 .ab228、已知椭圆 ax2 by2 （1 a>b>0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.（1）|O1P|2 |OQ1 |211 a2 b2 ;2）|

13、OP| 2+|OQ|2的最大值为2 2 2 2 42a b2 ; (3)S OPQ的最小值是 a2 b a b a b229、过椭圆 x2 y2a2 b21（a>b>0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交 x轴于 P，则 |MPNF |210、已知椭圆 x2a2y2b21（ a >b>0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于2点 P(x0 ,0) , 则 ab2 ax0a2 b2a211、设 P 点是椭圆 x2 a2 y b21（ a >b>0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2为其焦点记

14、F1PF2，则(1) |PF1|PF2 | 2b .(2)1 cos2S PF1F2b tan 2 .12、设 A、B 是椭圆 x2 y2 （1 a > b>0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点， abPABPBABPA ，22 2 2 a c cosc、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) |PA| 22ab |2cos2 |.(2) tan tan 1 e2 .(3) S PAB222a2b22 2 cot ba2213、已知椭圆 x2 y2 1（ a >b>0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 ab于 A、B两点,

15、 点C在右准线 l上，且 BC x轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直 .v1.0 可编辑可修改15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . )17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项二

16、、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的内角.除去2、PT平分 PF1F2在点 P处的内角， 则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，长轴的两个端点 .3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 .P在左支)4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切. (内切： P在右支；外切：2 x2 y22ab222xy22ab2x0xy0y22ab25、若 P0(x0,y0) 在双曲线16、若 P0(x0,y0) 在双曲线11.点弦 P1P2 的直线方程是a>0,b >0)上，则过 P0的双曲线的切线方程是 x0xa>

17、;0,b >0)外 ，则过 Po作双曲线的两条切线切点为y0yb21.P1、P2，则切227、双曲线 x2 y2 1(a>0,b >o)ab的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为 S F1PF22b cot .222的焦半径公式： ( F1( c,0) , F2(c,0)当 M(x0,y0)在右支上时，8、双曲线 x2 y2 1(a>0,b >o)ab|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a；当 M ( x0 , y0)在左支上时， |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a。9、设过双曲线焦

18、点 F作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分 别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、 N两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11、AB是双曲线2x2a2 y b21(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦， M(x0,y0)为 AB的中点，则KOM KAB b2x0 ， a y0即KABb2x0 。a y012、若 P0(x0,y0) 在双曲线2x2ay2 1(a>0,b >

19、0)内，则被 Po所平分的中点弦的方程是 bx0x2ay0yb22x02a2 y0 b213、若 P0(x0, y0) 在双曲线 2 a2y2 1 ( a>0,b > 0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是 b2x2a2 y b2x0x2ay0yb221、双曲线 x2aP1、P2推论】：2y2 1( a> 0,b > 0)的两个顶点为 A1( a,0), A2(a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 bv1.0 可编辑可修改22 时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是 x2 y2 1.ab222、过双曲线 x2 y2 1（a>0,b >o）上任一点

20、A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两ab2 点，则直线 BC有定向且 kBC b2x0 （常数） .a2y0223、若 P为双曲线 x2 y2 1（a>0,b>0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F2是焦点 , PF1F2 abPF2F1，则 c a tan cot （或 c a tan cot ）.2 1 c a 2 2 c a 2 2224、设双曲线 x2 y2 1（a>0,b >0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点， ab在 PF1F2 中，记 F1PF2PF1F2F1F2P，则有sin(sin s

21、in )ce. a225、若双曲线 x2 y2 1（a>0,b >0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1<e 2 1时， ab可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 .226、P 为双曲线 x2 y2 1aba>0,b >0）上任一点 ,F 1,F 2为二焦点， A为双曲线内一定点，则| AF2 | 2a |PA|PF1|,当且仅当 A, F2 , P三点共线且 P和A,F2在 y 轴同侧时，等号成立 .27、双曲线 x2a2y2 1（ a> 0,b > 0）与直线 Ax By C 0 有公

22、共点的充要条件是 A2a2 bB2b2 C2 .228、已知双曲线 ax2 by21（ b>a > 0）， O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ .1) |O1P |2|OQ1 |2a1212 ; ( 2) |OP| 2+|OQ|2的最小值为42a b 2 ; (3) S OPQ 的最小值是 a22a b .22ba229、过双曲线 ax22 by22 1(1) |PF1|PF2 |2b21 cos.(2)S PF1F2b2 cot .22212、设 A、 B是双曲线 x2 y2 1 （ a>0,b > 0）的长轴两端点， P 是双曲线上的一点， abPABa>0,b >0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P，则 |PF | e.|MN | 22210、已知双曲线 x2 y2 1（a>0,b >0）,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交 ab2 2 2 2于点 P（x0,0） , 则 x0 a b 或 x0 a b .a