等积法求体积点到面的距离

1、AB g 站B = D、CABC.D.是平行四边形.BC, / ADX.2 分 BC,在平面 AA.D.D 外，/p在平面AAD内BCJ1平面AAD,D. 4分等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三橈锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求 体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不交。这种方 法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四 枝锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点 到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原

2、则，先作出或证明底面的高，再计 算三校锥的体积。例11& (本小题满分14分MC,如图：边长为2的正方体&BCD _ ABGP中； AQC与相交于点O(1) 求证；Bq 平面 AA.D.D.(2) 求证：BCt 平面B.DC；(3) 求四面体BBDG的体积18.(本小题満分14分)(1)证明：连结.正方体人RCD-人BGR中(2) 证明，正方体 ABCD-AXBCXD中，EC丄 B、C5 分DC 1.BC DC 丄 GC:.DC丄平面BCC厲A DCBC .7分 BQ与DC相交于点C. BC丄平面BDC 9分(3) 解；正方体 ABCD - AB,CXD中Sac =+bbbg=2 10 分点D

3、到平面肋iG的距离等于点D到平面BBGC的距离，为2 12分14 BBDCi =卩4财6 二亍 x2*2 =亍14 分例2(2011佛山一中三校联考)如图，已知三棱锥ABPC中，APXPC, AC丄BC,M为AB中点，D为PB中点，且为正三角形。(I )求证：DM/平而APC；(n)求证：平而ABC丄平面APC；(HI)若BC = 4, AB = 20,求三梭锥DBCM的体积.例2.解：(I)由巳知得,MDAABP的中位线/. MD/AP2 分MD(Z 面APC, AP u 面APCMD 面APC4 分(H) APMB为正三角形，D为PB的中点，MD 丄 PB, 5 分AP 丄 PB6 分又

4、v AP 丄 PC、PBcPC=P ： AP 丄面 PBC . BCu 面PBC/. AP 丄 BC又 BC丄A C, A C c A P = ABC丄面A PC BCu iABC：.平而ABC丄平面APC9分10分(ID) : MD丄面PBC, MD是三梗锥MDBC的高,且MD=5/J11分又在直角三角形PCB中，由PB=10, BC=4,可得PC=2jIT 12分于是S皿13分= Sh = 10“14分例3(茂名2010二模)如图，在底面是菱形的四棱锥SABCP中，SA=AB=2, SB = SD = 22.(1) 证明：3D丄平面SAC;(2) 问：侧校SD上是否存在点E,便得SB/平面

5、ACE?请证明你的结论;(3) ZBAD = 120 ,求几何体ASBD的体积。例3解：(1)四梭锥SABCD底而畏菱形,:.BD 丄 AC 且 AD=AB,又 SA=AB=2, SB = SD = 2f2.:.SA2 + AB2 = SBSA2 + AD2 = SD2:.SA 丄 43, SA 丄 AD,又 ABrAD = A,2分SA丄平面ABCP,BDu平面ABCP,从而SA丄BD 3分又SAoAC = A,:.BD丄平而SACo 4分(2)在侧梭SD上存在点E,便得SB/平而ACE,其中E为SD的中点 6分证明如下：iBDrAC = O,则()为BD的中点，又E为SD的中点，连接()E

6、,则OE为aD的中位线。7分：.OE/SB ,又Ou 平面 AEG, SB ，作 PQ 丄 AE。等积法求点到面的距离:4.巳知在橈长为1的正方体ABC648CQ中，民F分别AfB CD的中点，求点B到平面AECfF 的距离。等积法VefVV6三、知识运用 例 1：如图四 S-ABCDy A3 丄 AD. AB/ CD. CD = 3 ABSAD 丄面ABC0M 罡线段 AD 上 一点，AB=AM = XDM = DC,SM 丄 4D.证明：3M丄面SMC(2)求点C到面SMB的距离。EX1 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中ZABC=60PC丄面ABCD, E尸是PA和AB的中点。(1

7、) 求证：EF/平面PBC；(2) 求E到平面PBC的距离。提示:由(1)知EF/平面PBC,ZBCD=90o求点A到平面PBC的距离。所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离 FH丄BC , FH=t即为所求。例 2: （2010 江苏卷）如图，在四梗锥 P-ABCD 中，PD丄平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC,解析（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则：易证DE/CB, DE/平而PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2借。由（1）知：BC丄平而PCD,所以平而PBC丄平面PCD

8、于PC, 闵为PP=DC, PF=FC,所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。 易知r）F=I,故点A到平面PBC的距离等于血。2（方法二）等体积法：连结AC。设点A到平而PBC的距离为h。因为 AB/ZPC, ZBCP=90,所以ZABC=90o从而 AB=2, BC=1,得 A4BC 的而枳SMBC = 10由PD丄平而ABCP氏PD=1，得三橈锥P-ABC的体积V =SMBC PD = |閃为PD丄平而ABCD, DCU平面ABCH,所以PD丄DC。X PP=DC=1,所以 PC = Jpd+dc，=VL由PC丄BC, BC=1,得APBC的面枳S“肚由 A-PBC P-ABC S&

9、pbc h = V=，得h =近, 故点A到平面PBC的距离等于血oEX2: （2010广东文数）如图4,弧AEC是半径为d的半圆，AC为 克径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点， 平面AEC外一点F满足TC丄平面BED,FB= yl5a（1）证明：EB丄FDE精品(2)求点B到平面FED的距离.【解析】(1)证明：点B和点C为线段AD的三等分点，.点B为圆的圆心又TE曼弧AC的中点，AC为直径，.BC丄EE即BD丄EBV FC丄平面 BDE, EBu平面 BDE, FC丄 EB又BDu平而 FBD, FCu平而 FED且B)nFC=C :. EB丄平而 FBD 又 FQu平

10、而 FBD, EB丄 FD(2)解：设点B到平而FEQ的距离(即三梗锥B-FED的高)为h. FC丄平面BDE, . .FC是三棱锥F-BPE的高，且三角形FBC为亶角三角形由巳知可得 BC-a ,又 FB = Ja/. FC = (y/Sa)2 -a1 = 2a在 RtABDE 中，BD = 2a,BE = a ,故S乂阴=x2a xa = a2,I|2二 Vbde = -Sw)e FC = - xcr x2a = a ,又EB丄平而FBD,故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形，.EF = /6a.DE = yf5a,在 RtSFCD中，2 =辰，S旳= a2,2M 1 V2? , ,2

11、 3.4血T U/iDE =匕-哪即亍h = jU ,故h = ” (I,即点B到平而FED的距离为h =4/2?a21备用题：1、四棱锥P-ABCD中，底面第2题ABCD为宜角梯形，加丄底面ABCD第1题,pn=DC=BC=, AB=2, AB/CD, Z ABC=W,求点 Q 到平面 的距离.2、四梗锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，P4丄底面A BCD,AB=Jb f分别求点Q与点Q到平面PHF的距离.3、如图几何体是由正方体ABCgBCQ与四棱锥EdBCD组成，E为CC的延长线上一点，且EC产C6 AB=2y M为的中点，求点M到平面ACD.的距离.4、如图A BCD与都是边长为2的正三角形，平面MCQ丄平面BCD.AB丄平面BCD、(3)求点0到平面PAC的距离.笫6题5、圆锥P0如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆。的直径为AB、CAB的中点，D为AC的 中点.(1)求该圆锥的侧面枳；(2)证明：AC丄平面POD;6、如图,ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是A以的中点，GC垂宜于ABCD所在的平面，且GC =