立体几何常考证明题及答案

1、立体几何常考证明题1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E, F , G, H 分别是边 AB, BC , CD , DA 的中点（ 1）求证： EFGH是平行四边形（ 2）若 BD=23 ， AC=2， EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、 BD所成的角。AEHBDFGC证明：在ABD 中， E, H 分别是 AB, AD 的中点 EH / BD , EH1 BD2同理， FG / BD , FG1BD EH / FG ,EHFG 四边形 EFGH 是平行四边形。2(2) 90 ° 30°考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形

2、ABCD 中， BCAC,AD BD ， E 是 AB 的中点。求证：（ 1） AB平面 CDE;（ 2）平面 CDE平面 ABC 。ABCACCE AB证明：（ 1）BEEAEADBDDEABBC同理，BEAE又 CEDEE AB平面 CDED（ 2）由（ 1）有 AB平面 CDE又 AB平面 ABC ，平面 CDE平面 ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定13、如图，在正方体 ABCDA1 BC1 1D1 中， E 是 AA1 的中点，求证： AC1 / 平面 BDE 。AD1证明：连接AC 交 BD 于 O ，连接 EO ，B1CE E 为 AA1的中点， O为 AC 的中点 EO 为三

3、角形 A1 AC 的中位线 EO / AC1AD又 EO 在平面 BDE 内， AC1在平面 BDE 外 AC /平面 BDE 。BC1考点：线面平行的判定4、已知ABC 中ACB90 ,SA面ABC,AD SC 求证： AD,证明： ACB90 °BCAC又 SA面 ABCS AB CBC面 SACBCAD又 SCAD, SCBCCAD面 SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体 ABCDA1BC11 D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 .求证： ( ) C1O面1 1 ；(2)1面11 ABDACAB D证明：（ 1）连结 AC11 ，设ACB DO，连结 AO11111

4、1ABCDABC D1是正方体A ACC 是平行四边形11111 A1C1 AC 且 AC1AC1又O ,O分别是AC1, AC 的中点， O1C1 AO 且 O C AO1111AOC1O1 是平行四边形C1O AO1 , AO1面 ABD ，CO面 ABD1C1O面 AB D111111（ 2）CC1面ABCDCC BD AC111111!又1B DB D面ACC即AC BD11 1 ，同理可证 AC1AD1 ，1111111又 D1B1AD1D1AC1面 AB1D1考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定面 SBCSDABCD1C1B1A1DCOAB26、正方体ABCDA&

5、#39;B 'C 'D '中，求证：（1） AC平面 B' D 'DB ；（2） BD '平面 ACB '.考点：线面垂直的判定7、正方体 ABCD A1B1C1D1 中 (1)求证：平面 A1BD 平面 B1D 1C；D 1C1(2) 若 E、 F 分别是 AA1， CC1 的中点，求证：平面EB1D1平面 FBD B1A1证明： (1)由 B1B DD 1，得四边形 BB1D 1D 是平行四边形，B1D 1 BD ，F又 BD 平面 B1D 1C， B1D1 平面 B1D1C，EG BD平面 B1D1CDCA同理 A1D 平面 B1D

6、1CB而 A1D BD D，平面 A1BD 平面 B1CD(2) 由 BD B1D 1，得 BD 平面 EB 1D1取 BB1 中点 G， AE B1G从而得 B1EAG，同理 GF AD AG DF B1E DF DF 平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体 ABCD 中， ACBD ,E, F 分别为 AD, BC 的中点， 且 EF2AC，2BDC 90 ，求证： BD平面 ACD证明：取 CD 的中点 G ，连结 EG, FG ， E, F 分别为 AD, BC 的中点， EG / 1 AC2FG / 1 BD ，又 AC BD,

7、 FG1 AC ，在EFG 中， EG 2FG 21 AC2EF 2222 EGFG ， BDAC ，又BDC 90，即 BDCD，ACCD C BD平面 ACD考点：线面垂直的判定, 三角形中位线，构造直角三角形9、如图 P 是ABC 所在平面外一点， PAPB, CB平面 PAB ，M 是 PC 的中点， N 是 ABP上的点，AN3NB（ 1）求证： MNAB ；（ 2）当APB90 ， AB2BC4 时，求 MN 的长。3MCABN证明：（ 1）取 PA 的中点 Q ，连结 MQ , NQ ， M 是 PB 的中点， MQ / BC ，CB平面 PAB，MQ平面 PAB QN 是 MN

8、 在平面 PAB 内的射影，取AB 的中点 D ，连结PD ， PA PB, PDAB ，又 ANNB3， BN NDQN /PD ，QNAB，由三垂线定理得MNAB（ 2）APB90， PAPB, PD1 AB2， QN1， MQ平面 PAB . MQNQ ，且2MQ1 BC 1， MN22考点：三垂线定理10、如图，在正方体ABCDA1BC1 1 D1 中， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点 . 求证：平面 D1 EF 平面 BDG .证明： E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，EF BD又 EF平面 BDG ， BD平面 BDGEF平面 BDG D

9、 GEB 四边形 DGBE 为平行四边形，D EGB111又 D1E平面 BDG ， GB平面 BDGD1E 平面 BDGEFD1EE，平面 D1EF 平面 BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体ABCDA1BC1 1 D1 中， E 是 AA1 的中点 .（ 1）求证： AC1 / 平面 BDE ；（ 2）求证：平面A1 AC平面 BDE .证明：（ 1）设 ACBD O， E、O分别是 AA1、 AC 的中点，AC1 EO又 AC1平面 BDE ， EO平面 BDE ，AC1 平面 BDE（ 2）AA1 平面 ABCD ， BD平面 ABCD ， AA1 BD又

10、 BDAC，ACAA1A ，BD平面 A1AC ， BD平面 BDE ，平面 BDE平面 A1 AC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12、已知 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， AB2， PAAD 4，E为 BC 的中点（ 1）求证： DE 平面 PAE ；（ 2）求直线 DP 与平面 PAE 所成的角证明：在ADE 中， AD 2AE 2DE 2，AEDE PA平面 ABCD ， DE平面 ABCD ， PADE又 PAAE A，DE平面 PAE4（ 2）DPE 为 DP与平面 PAE 所成的角在 RtPAD ， PD42，在 RtDCE 中， DE22在

11、 RtDEP 中， PD2DE ，DPE300考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形13 、如图， 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB600且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD （ 1）若 G 为 AD 的中点，求证： BG 平面 PAD ；（ 2）求证： ADPB ；（ 3）求二面角 A BCP 的大小证明：（ 1） ABD 为等边三角形且G 为 AD 的中点，BGAD又平面 PAD平面 ABCD ，BG 平面 PAD（ 2） PAD 是等边三角形且G 为 AD 的中点，ADPG且 ADBG，PGBGG ，AD平面 PBG

12、，PB平面 PBG ，ADPB（ 3）由 ADPB，ADBC，BCPB又 BGAD，ADBC，BGBCPBG 为二面角 ABCP 的平面角在 RtPBG 中， PGBG ，PBG450考点：线面垂直的判定, 构造直角三角形 ,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图 1,在正方体 ABCDA1BC1 1 D1 中， M 为 CC1的中点， AC 交 BD 于点 O，求证： AO1平面 MBD 证明：连结 MO ， A1M ， DB A1 A ，DB AC， A1AACA ， DB 平面 A1 ACC1 ，而 AO1平面 A1ACC1DB AO1 设正方体棱长为a，则 A1O 23

13、a2 ， MO 23 a2 24在 Rt AC M 中，A1 M 29 a2 222， AOOM1 14AO1MOAM11 OM DB =O，AO 平面 MBD 1考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图，在三棱锥 BCD中， BCAC， ADBD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ，连结 CF， DF ACBC ， CFAB ADBD ， DFAB 又CFDF F， AB平面CDF CD平面 CDF， CDAB 又 CDBE，BEABB ， CD平面 ABE， CDAH 5AHCD，AHBE，CDBEE， AH 平面 BCD考点：线面垂直的判定D 1C1A 1B 1DC16、证明：在正方体ABCD A 1B 1C1D1 中， A 1C平面 BC1D AB证明：连结AC BD AC AC 为 A 1C 在平面 AC 上的射影BD A1CA1C 平面 BC1D同理可证 A1C BC1考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB 、 SC，且 ASB= ASC=60 °， BSC=90 °，求证：平面 ABC 平面 BSC证明 SB=SA=SC ， AS