空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

1、空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式刖言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分，它是以 空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性 质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状 .当曲线的曲率和挠率 之间满足多种不同的关系时，就会得到不同类型的曲线例如：k . 0时为直线， =0时为平面曲线本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率 和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义，第二部分讲述Frenet公式 和曲率、挠率的一般参数

2、表示的推导，第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算 和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识一空间曲线的伏雷内标架给出C2类空间曲线（C）和（C）上一点p .设曲线（C）的自然参数表示是r = r（s）,其中s是自然参数，得1-dra =1 ds是一单位向量.a称为曲线（C）上p点的单位切向量.由于a = 1，则La a ,即L -r _ r.在a上取单位向量L -a r(1)卩称为曲线(c)上p点的主法向量再作单位向量丫称为曲线(c)上p点的副法向量我们把两两正交的单位向量a, B, 丫称为曲线上p点的伏雷内(Frenet)标架 1.2空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概

3、念在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小 的圆弯曲程度较大为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念要从直观的基础上引出曲率的确切定义， 我们首先注意到，曲线弯曲的程度 越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快 所以作为曲线在已知一 曲线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P、Q间切向量关于弧长的平均旋转角设空间中c3类曲线(c)的方程为r = r(s).曲线(c)上一点p，其自然参数为s，另一邻近点pi，其自然参数为S在p、 pi两点各作曲线(c)的单位切向量oc(s)和心+殉两个切向量的夹角是也®,也 就是

4、把点pi的切向量as+As)平移到点p后，两个向量as)和as+As)的夹角 为-我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率定义订空间曲线(c)在p点的曲率为的几何意其中厶S为p点及其邻近点卩可的弧长，厂为曲线在点p和P1的切向量的夹角 再利用命题“一个单位变向量r(t)(即r(t) =1)的微商的模r'(t)义是r（t）对于t的旋转速度” 把这个结果应用到曲线（C）的切向量a上去，则有由于a二r，所以曲率也可表示为由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于 弧长的旋转速度当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就 越大，因此

5、曲率刻画了曲线的弯曲程度对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量一挠率1.3空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一） ，所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密 切平面的程度）现在设曲线（C）上一点p的自然参数为s，另一邻近点P的参数为S As，在P、pl两点各作曲线（c）的副法向量Ys）和s）.此两个副法向量的夹角是二:（如图一）.（图一）再利用命题“一个单位变向量r（t）（即r（t） =1）的微商的模r,（t）的几何意义是r（t）对于t的

6、旋转速度”.把这个结果应用到曲线（c）的副法向量向量y上去,得到iim is此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速 度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法 向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲 线的扭转程度.a a根据（1）和曲率的定义，我们有k(s)丫= (a B)= a B ' a B= k(s) B B ' a B=a B，因而又因为丫是单位向量，所以由以上两个关系可以推出Y/ B.现在我们给出挠率的定义如下：定义“曲线（c）在p点的挠率为:-y，当丫和E异向，(S)二-

7、丫，当丫和B同向.挠率的绝对值是曲线的副法向量(或密切平面)对于弧长的旋转速度介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程 .,下面我们来看2. Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据(3)及挠率的定义有L 丫.(s) B另外，对B-Ya求微商，并利用(4)和(2),可以推导出(4)LL -LB二 Y a 二 ya y a-(s) B a y k(s) B-k(s) a (s) Y(5)公式(2)，( 5),(4)称为空间曲线的伏雷内(Frenet )公式，即 La k( s) BL“

8、 B = -k(s) a+T(S) y ,L7(S)B这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量 a B、丫关于弧长S的微商可以用a B、丫的线性组合来表示它的系数组成反称的方阵壬 0 k(s) 0'-k(s) 0 t(s)l 0 y(s)0j2.2曲率的一般参数表示式的推导若给出c3类的空间曲线(c)r 二 r(s).,则有dr ds l ds rds dt dt所以由上式得注意上式中2ds -d s r 2 dt dtd r ds 2ds dtdt dtdt2r rds=rdtSs 2 r fIdt 丿和学Lrc便jdt Jdt丿Urrr rsin .L-dsr= 1,r 丄

9、 r,=r1dt因而有3ry k r，由此得到曲率的一般参数表示式2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的(4)式L丫- -(s) B, 两边点乘B得1卩-卩卩,因而再把<k Ja cifL _ JL6 L _ _rr r”dsr = r _dtd2sdt23丄ds d2s dt dF代入r, r” r”中得弋Y Y Y所以得到r r rT .r, r,这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线（C）在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线（C）上一点P（s）的主法线的11正侧取线段PC，使PC的长为丄，以C为圆心，以1为半径在密切平面上确定kk

10、一个圆，这个圆称为曲线（c）在P（s）点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为 曲率半径（如图二）.3. 有关曲率、挠率的计算和证明例1求圆柱螺线r -；acosv,asinv,b二u := 的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程r - acosyasin 'bd,先计算r' - -asinr,acosr,b ,r” - -acosn, -asin,0,r” - ；asin r,-acos),0?,于是有=a2 b2.e3e2-asin -a cos-absin, -abcosa?f,-acos -asin r0r，逍 r” =寸a2b2 +a4.代入曲率和挠

11、率的公式得,7,r x r3)rka . a2b2 a2b2r', r ”，r'ba2b一22 2422 （r，,r”）a b +a a +b由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数 .例2订 证明曲率恒等于零的曲线是直线证明已知k二r三0,因而Lr =0,u由此得到再积分即得r =a （常向量）r = as b,其中b也是常向量.这是一条直线的参数方程.例3仃 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若 =0,则y是固定向量，但是我们已知訓厂0,因而有r_ y = 0,积分后得r|_丫二a （常数）,所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明