第十章IIR滤波器的设计ppt课件

1、数字信号处理数字信号处理n经典滤波器与现代滤波器。经典滤波器假定输入信号的有经典滤波器与现代滤波器。经典滤波器假定输入信号的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带。因而，当用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带。因而，当输入信号通过滤波器后即可将希望去除的成分有效地去除。输入信号通过滤波器后即可将希望去除的成分有效地去除。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特性导出一套估值算法，然后用硬件或软件予以实现。计特性导出一套估值算法，然后用硬件或软件予以实现。n数字滤波器与模拟滤波器。数字滤波器与模拟滤波器。引引 言言理想模拟滤

2、波器：理想模拟滤波器：引引 言言|H(j)|0c|H(j)|0c|H(j)|0c1|H(j)|0c2c2c1低通低通高通高通带通带通带阻带阻理想数字滤波器：理想数字滤波器：引引 言言低通低通高通高通带通带通带阻带阻|H(j)|0c-c2|H(j)|0-c-c|H(j)|0-c1-c1c2-c2|H(j)|0-c1-c1c2-c2滤波器的技术要求以模拟低通滤波器为例）：滤波器的技术要求以模拟低通滤波器为例）：其中其中 p 为通带截止频率，为通带截止频率， s 为阻带下限频率，为阻带下限频率，1 和和 2 分别分别是通带和阻带的容限。是通带和阻带的容限。 引引 言言|H(j)|0sp11-12通带

3、通带 过渡带过渡带阻带阻带设计滤波器时，给出的是技术指标往往不是设计滤波器时，给出的是技术指标往往不是 1 和和 1，而是通，而是通带允许的最大衰减带允许的最大衰减 p 和阻带应达到的最小衰减和阻带应达到的最小衰减 s 。 p 和和 s 分别定义为：分别定义为：式中假定式中假定 |H(0)| 归一化为归一化为 1。例如，当。例如，当 1=0.293 ，即，即 |H(j)| 在在 p 处下降为处下降为 1-1=0.709，p=3dB；当；当 2=0.01 ，即，即 |H(j)| 在在s处下降为处下降为2=0.01，s=40dB 。引引 言言)1lg(20)(lg20)()0(lg201pppjH

4、jHH1lg20)(lg20)()0(lg20sssjHjHH数字滤波器的设计包括三个步骤：数字滤波器的设计包括三个步骤：给出滤波器的技术指标；给出滤波器的技术指标；设计一个设计一个 H(z) 使其逼近所需要的技术指标；使其逼近所需要的技术指标；实现所设计的实现所设计的 H(z) 。IIR 数字滤波器的设计可借助于模拟滤波器的设计方法。数字滤波器的设计可借助于模拟滤波器的设计方法。 IIR 数数字滤波器的设计步骤为：字滤波器的设计步骤为：按照规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器按照规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；的技术指标；根据转换后的技术指标设

5、计模拟低通滤波器根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器 G(s);按照规则将转换成为按照规则将转换成为 G(z)。如果设计的滤波器不是低通而是高通、带通或带阻的，则首先应如果设计的滤波器不是低通而是高通、带通或带阻的，则首先应将高通、带通或带阻的技术指标转换为低通滤波器的技术指将高通、带通或带阻的技术指标转换为低通滤波器的技术指标。标。引引 言言第十章第十章 IIR 滤波器设计滤波器设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器用双线性用双线性 Z 变换法设计变换法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器数字高通、带通及带阻

6、滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计给定模拟低通滤波器的技术指标：给定模拟低通滤波器的技术指标：p，s， p 和和 s。现希望。现希望设计一个模拟低通滤波器设计一个模拟低通滤波器 G(s) ：使其对数幅频响应使其对数幅频响应 20lg|G(j)| 在在 p 和和 s 分别达到分别达到 p 和和 s 的的要求。要求。p 和和 s 都是都是 的函数，它们的大小取决于的函数，它们的大小取决于 |G(j)| 的形的形状，定义衰减函数状，定义衰减函数 ():显然有：显然有：如此一来，滤波器的四个技术指标和滤波器的幅平方特性联系了如此一来，滤波器的四个技术指标

7、和滤波器的幅平方特性联系了起来。起来。NNNNNNNNscscsccsdsdsddsG11101110)(2)(lg10)(lg20)(jGjG2)(lg10)(pppjG2)(lg10)(sssjG1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计考虑到滤波器的单位冲激响应一般为实函数，根据拉普拉斯变换考虑到滤波器的单位冲激响应一般为实函数，根据拉普拉斯变换的对称性有：的对称性有：因而，如果我们能根据滤波器的四个技术指标求出因而，如果我们能根据滤波器的四个技术指标求出|G(j)|2，就，就很容易得到所需要的很容易得到所需要的 G(s)。G(s) 和和 G(-s) 的零、极点关于原点对称分布：的零、极点关

8、于原点对称分布： jsjsjssGsGsGsGsGjG)()()()()()(*22j0X XS平面平面j0X XS平面平面G(s) G(-s) 1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计目前，人们已经给出了几种类型的目前，人们已经给出了几种类型的 |G(j)|2 的表达式，它们代表的表达式，它们代表了几种不同类型的滤波器。了几种不同类型的滤波器。巴特沃思巴特沃思Butterworth滤波器：滤波器： 其中其中 C 为待定常数，为待定常数，N 为待定的滤波器阶次。为待定的滤波器阶次。切比雪夫切比雪夫型型Chebyshev- ）滤波器：）滤波器： 其中其中NCjG22211)()(11)(222NC

9、jG1 ),arcoshcosh(1 ),arccoscos()(NNCN1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计巴特沃思低通滤波器的设计：巴特沃思低通滤波器的设计：将实际频率将实际频率 归一化。令归一化。令=/p，则有，则有显然显然 p=1，s=s/p，又令归一化复数变量，又令归一化复数变量 p=j, 显然有：显然有：求求 C 和和 N。归一化衰减函数：归一化衰减函数：显然有：显然有： NCjG22211)(NCjG22211)(ppsjjp/2)(lg10)(jG)1 (lg10)(lg10)(222NCjG11010/ )(22NC110 11010/2210/22spNsNpCC1. 模

10、拟滤波器的设计模拟滤波器的设计因为因为 p=1，所以，所以若令若令 p=3dB，那么，那么 C=1，巴特沃思滤波器只剩下一个参数，巴特沃思滤波器只剩下一个参数 N, 此时此时110 11010/2210/22spNsNpCCspspNClg/110110lg 11010/10/10/2NjG2211)(1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 取取1,2,3,4 时的时的|G(j)|2 ：1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计确定确定G(s)。 定义复数变量定义复数变量 p=j：令令 ，解得：，解得：为了保证滤波器是稳定的，应该把左半平面的为了保证滤波器是稳定的，应该把左半平面的极点赋予极点赋予

11、 G(p)，即有，即有NjG2211)()()() 1(11)/(11)(222pGpGpjppGNNN0) 1(12NNpNkNNkjpk2 , 2 , 1 ),212exp()()(1)(21NpppppppGj0S平面平面X XX XX XX XX XX XX XX Xp1pN1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计假设假设 N 为偶数，为偶数，G(p) 的极点皆成对共轭出现：的极点皆成对共轭出现：这一对极点构成一个二阶系统：这一对极点构成一个二阶系统：G(p) 应该是应该是 N/2 个这样的二阶系统的级联：个这样的二阶系统的级联：假设假设 N 为奇数，为奇数， G(p) 应该是一个一阶系

12、统和应该是一个一阶系统和 (N-1)/2个二阶系统的级联：个二阶系统的级联：j0S平面平面X XX XX XX Xp1pN2/, 2 , 1 ,1*NkppkNk1)212cos(21)(1)(21NNkpppppppGkNkk )()(2/1 pGpGkNkj0S平面平面X XX XX Xp1pN )(11)(2/ )1(1 pGPpGkNk1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计反归一化。反归一化。 在求得在求得 G(p) 后，用后，用 s/p 代替变量代替变量p，即得实际需要的，即得实际需要的 G(s)：习题习题 ：设计一模拟低通巴特沃思滤波器，截止频率：设计一模拟低通巴特沃思滤波器，截止

13、频率 fp=5000Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=3dB，阻带下限频率，阻带下限频率 fs=10000Hz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=30dB。解答：首先将频率归一化，解答：首先将频率归一化，p =10000, s = 20000, p =1, s =2。取取 N=5。ppsjjp/psppGsG/)()(spspNClg/110110lg 11010/10/10/2982. 4 1NC1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5 个极点分别为：个极点分别为：N 为奇数，因而为奇数，因而总的归一化系统函数总的归一化系统函数 G(p) 为：为： NkNNkjpk, 2 , 1 ),21

14、2exp(3 /54/56/57/512345,1,jjjjpepeppepe 1618. 011)5/3cos(21)(1)(22511pppppppppG1618. 111)5/4cos(21)(1)(22422pppppppppG11)(3ppG ) 1618. 1)(1618. 0)(1(1)(22ppppppG1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计反归一化：反归一化：回忆回忆 C 和和 N 的求解过程：的求解过程：当当p=3dB时，对于不同的时，对于不同的 N，绘制如下曲线：，绘制如下曲线：)1010618. 1)(1010618. 0)(10(10 ) 1618. 1)(1618.

15、 0)(1(1)()(284228424520/22/sssssppppppGsGppspspspspNClg/110110lg 11010/10/10/21. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计s =2s=30dB1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计总的归一化系统函数总的归一化系统函数 G(p) 为：为：令分母多项式为令分母多项式为 ，则有：，则有： 1236. 3236. 5236. 5236. 31 ) 1618. 1)(1618. 0)(1(1)(234522pppppppppppG )(01111apapappANNN 876543210aaaaaaaaaN1234567891.00

16、01.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.4142.0002.6133.2363.8644.4945.1265.7592.0003.4145.2367.46410.09813.13716.5822.6235.2369.14214.59221.84631.1633.2367.46414.59225. 68841.9863.86410.09821.84641.9864.19413.13731.1635.12616.582 5.7591. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计巴特沃思低通滤波器的特点：巴特沃思低通滤波器的特点：巴特沃思低通滤波器的幅频特性无论是

17、在通带内还是在阻带内都巴特沃思低通滤波器的幅频特性无论是在通带内还是在阻带内都随频率单调变化，滤波特性简单。随频率单调变化，滤波特性简单。巴特沃思低通滤波器的幅频特性在通带内误差分布不均匀，靠近巴特沃思低通滤波器的幅频特性在通带内误差分布不均匀，靠近通带截止频率处误差最大。当滤波器阶数通带截止频率处误差最大。当滤波器阶数 N 较小时，阻带幅较小时，阻带幅频特性下降较慢，与理想滤波器的特性相差较远。若要求阻频特性下降较慢，与理想滤波器的特性相差较远。若要求阻带幅频特性下降迅速，则需增加滤波器的阶数，设计该滤波带幅频特性下降迅速，则需增加滤波器的阶数，设计该滤波器时所用元器件数量增多，线路也趋于复

18、杂。器时所用元器件数量增多，线路也趋于复杂。若将误差均匀分布在通带内，就可以设计出阶数较低的滤波器。若将误差均匀分布在通带内，就可以设计出阶数较低的滤波器。实现通带内误差均匀分布可通过选择具有等波纹特性的逼近实现通带内误差均匀分布可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。函数来完成。1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计切比雪夫切比雪夫型型Chebyshev- ）滤波器：）滤波器：上式中上式中 是决定通带内起伏大小的波动系数，是小于是决定通带内起伏大小的波动系数，是小于 1 的正数；的正数；CN() 是是 N 阶切比雪夫多项式。阶切比雪夫多项式。)(11)(222NCjG1 ),arcoshc

19、osh(1 ),arccoscos()(NNCN|G(j)|0 s p121/11. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计切比雪夫切比雪夫型滤波器的幅频特性：型滤波器的幅频特性：当当 0 p 时时, |G(j)| 在在 1与与 之间等幅波动，之间等幅波动， 愈小，愈小，波动幅度愈小。波动幅度愈小。所有曲线在所有曲线在 = p 时通过时通过 点。点。当当 =0 时，假设时，假设 N 为奇数时有为奇数时有 |G(j)| =1；假设；假设 N 为偶数时则为偶数时则有有 。通带内误差分布是均匀的。通带内误差分布是均匀的。当当 s时，曲线单调下降。时，曲线单调下降。N 值愈大，曲线下降愈快。值愈大，曲线下降

20、愈快。|G(j)|0 s p121/121/121/12()1/ 1G j 1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计切比雪夫切比雪夫型滤波器的设计：型滤波器的设计：将实际频率将实际频率 归一化。令归一化。令=/p，则有，则有显然显然 p=1，s=s/p。当当 1 时有时有 ，令，令 ，那么，那么因此有：因此有：于是得：于是得：易知：易知：)(11)(222NCjG)(11)(222NCjG)arccoscos()(NCNarccos)cos()(NCNsinsincoscos)cos() 1cos()(1NNNNCNsinsincoscos)cos() 1cos()(1NNNNCN)(2cosc

21、os2)()(11NNNCNCC)()(2)(11NNNCCC 34)()(2)(12)()(2)( ,)( , 1)(3123201210CCCCCCCC1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计N =3、4、5、6 时的时的 ： )(NC1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计当当 1 时时 ，其中，其中 cosh 表示双曲余弦函数。表示双曲余弦函数。arcosh 表示反双曲余弦函数。表示反双曲余弦函数。N =3、4、5、6 时的时的 ：)arcoshcosh()(NCN2coshee)(NC1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计N =3、4、5、6 时的时的 ：特征：通带内有特征：通带内有 N

22、 个中间点和个中间点和 N+1 个极值点。个极值点。2)(jG1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计求求 和和 N。归一化衰减函数：归一化衰减函数：显然有显然有 ，那么，那么求出的求出的 N 不一定是整数，应当对其取整再加上不一定是整数，应当对其取整再加上1。 2)(lg10)(jG)(1 (lg10)(lg10)(222NCjG110)(10/ )(22NC110arcosh(cosh)(110)( 10/222210/22spssNpNNCC）110 10/2psspspsNNarcosh) 110/() 110(arcosh) 110/() 110()arcosh(cosh 10/10/

23、10/10/21. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计确定确定G(s)。 定义复数变量定义复数变量 p=j：G(s)G(-s)的极点即为多项式的极点即为多项式 的根。的根。定义定义 ，即，即 。显然。显然 是复数，令是复数，令则有则有)()()/(11)(222pGpGjpCpGN)(11)(222NCjG)/(122jpCN/)arccos(cos 0)/(122jjpNjpCN)arccos(jp)cos(jp 21j21212121212121coshcossinhsin sinhsincoshcos sinsincoscos)cos(jjjjjjjjp)sinh()sin()cosh()

24、cos(xjjxxjx1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计及：及：令实部与实部相等，虚部与虚部相等，则有令实部与实部相等，虚部与虚部相等，则有因而因而 G(s)G(-s)的极点的为：的极点的为：/ sinhsincoshcos )sin()sin()cos()cos(cos)cos(2121212121jNNjNNjNNjNNjNNNNkNNN2) 12( 0cos 0coshcos1121/1sinhsin21NN/1sinh2) 12(sin2Nk/1sinh2N)1(arsinh12NNkNNkjNNkpk2 , 2 , 1 )1(arsinh1cosh2) 12(cos)1(arsi

25、nh1sinh2) 12(sin1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计如果令如果令 ，则有，则有 这意味着极点落在这意味着极点落在 S 平面上的椭圆圆周上。平面上的椭圆圆周上。kkkjp 1)1(arsinh1cosh)1(arsinh1sinh22NNkkj0S平面平面X XX XX XX XX XX XX XX X1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计为了保证滤波器是稳定的，应该把左半平面的极点赋予为了保证滤波器是稳定的，应该把左半平面的极点赋予 G(p)，即有即有其中其中反归一化。反归一化。 在求得在求得 G(p) 后，用后，用 s/p 代替变量代替变量 p，即得实际需要的，即得实际需要

26、的 G(s)：)(21)(11kNkNpppGNkNNkjNNkpk, 2 , 1 )1(arsinh1cosh2) 12(cos)1(arsinh1sinh2) 12(sinppsjjp/psppGsG/)()(1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计习题习题 ：设计一个模拟低通切比雪夫滤波器，其技术要求为：通带：设计一个模拟低通切比雪夫滤波器，其技术要求为：通带截止频率截止频率 fp=3106 Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=0.1dB，阻带下限频率，阻带下限频率 fs=12106 Hz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=60dB。解答：将频率归一化，解答：将频率归一化，p =6106,

27、 s=24106, p =1, s =4。求常数求常数 和和 阶次阶次 N：110 10/2p15162. 0110110 01. 010/ )(pspsNarcosh) 110/() 110(arcosh 10/10/54.6 arcosh/) 110(arcosh 10/ )(ssN1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计根据下式求出系统的根据下式求出系统的 N 个极点：个极点：然后得到归一化的系统函数然后得到归一化的系统函数 G(p)： 最后通过反归一化得到实际的系统函数最后通过反归一化得到实际的系统函数G(s):NkNNkjNNkpk, 2 , 1 )1(arsinh1cosh2) 12

28、(cos)1(arsinh1sinh2) 12(sin)63592. 087198. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(21526. 01 )(21526. 01)(21)(22451411ppppppppppGkkkNkNpsppGsG/)()(1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计查表确定查表确定 N：1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计查表确定查表确定 和分母多项式系数：和分母多项式系数：通带衰减为通带衰减为 0.2 dB，=0.21709 通带衰减为通带衰减为 1 dB，=0.50885表格省略）表格省略） 通带衰减为通带衰减为 3 dB，=0.99763 （表格

29、省略）（表格省略） 876543210aaaaaaaaaN1234567894.6062.3561.5120.5890.2880.1470.0720.0370.0181.9272.0771.5221.0820.6610.4160.2370.1411.6302.1781.8651.6031.1180.8130.5121.5352.3652.2082.1741.6601.3521.4932.5822.5542.8042.2881.4712.8122.9013.4941.4573.0503.2501.4493.2911.4431. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计切比雪夫切比雪夫型型Chebyshe

30、v- ）滤波器：）滤波器：11. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计椭圆滤波器：椭圆滤波器：11. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟低通滤波器的设计：模拟低通滤波器的设计：巴特沃思滤波器；巴特沃思滤波器；切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫、型滤波器；型滤波器；椭圆滤波器。椭圆滤波器。问题：如何设计模拟高通、带通和带阻滤波器呢？问题：如何设计模拟高通、带通和带阻滤波器呢？答案：模拟高通、带通和带阻滤波器的设计都是先将要设计的滤答案：模拟高通、带通和带阻滤波器的设计都是先将要设计的滤波器的技术指标通过某种频率转换关系转换成为模拟低通滤波器的技术指标通过某种频率转换关系转换成为模拟低通滤波器的技术指

31、标，并依据这些技术指标设计出低通滤波器的波器的技术指标，并依据这些技术指标设计出低通滤波器的系统函数，然后再依据频率转换关系转变成为所要设计的滤系统函数，然后再依据频率转换关系转变成为所要设计的滤波器的转移函数。波器的转移函数。低通滤波器：低通滤波器： G(s) G(j) =/p p= j 高通、带通和带阻滤波器：高通、带通和带阻滤波器： H(s) H(j) =/p q= j 1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计观察模拟低通和高通滤波器的频率响应：观察模拟低通和高通滤波器的频率响应：|G(j)|0sp=110|H(j)|p=1s1-p-s=-1=1低通滤波器的通带低通滤波器的通带变换到高通的

32、通带，变换到高通的通带，阻带变换到高通的阻带变换到高通的阻带。阻带。1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计采用采用 =1 时：时：采用采用 =-1 时：时：所以所以spppGsH/)()(sjjjjpppp)/(11sjjjjpppp)/(111. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计习题习题 ：用巴特沃思滤波器设计一个高通模拟滤波器，通带截止频：用巴特沃思滤波器设计一个高通模拟滤波器，通带截止频率率 fp=100Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=3dB，阻带截止频率，阻带截止频率 fs=50Hz，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=30dB。解答：解答： 将频率归一化，将频率归一化，p =200,

33、 s = 100, p =1, s =0.5。 频率转换，得频率转换，得 p =1, s =2，p 和和 s 保持不变。保持不变。 根据上述要求设计巴特沃思低通滤波器，得到总的归一化系统根据上述要求设计巴特沃思低通滤波器，得到总的归一化系统函数函数 G(p) 为：为： 得到高通滤波器的系统函数得到高通滤波器的系统函数 H(s): ) 1618. 1)(1618. 0)(1(1)(22ppppppGspppGsH/)()(1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计观察模拟低通和带通滤波器的频率响应：观察模拟低通和带通滤波器的频率响应：sl : 下阻带上限频率下阻带上限频率1 : 通带下限频率通带下限

34、频率3 : 通带上限频率通带上限频率sh : 上阻带下限频率上阻带下限频率定义：定义：归一化：归一化：再定义：再定义：0|G(j)|0sp=11-p-s|H(j)|shsl13213BWBWshshBWBWBWslsl/3311312231221. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计寻找寻找 与与 转换关系。转换关系。|G(j)|0sp=11-p-s0|H(j)|shsl132-x/ ,2222xx3122px2213222 x1, 113p1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计由由 可知可知所以所以222)()( )/()/(133122312222222222ssssqqjqjqjjjpBW

35、BWBWBWBWsjjq)(13312)()(ssppGsH1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计习题习题 ：设计一个切比雪夫模拟带通滤波器，要求带宽为：设计一个切比雪夫模拟带通滤波器，要求带宽为 200Hz，中心频率为中心频率为 1000Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=3dB，在频率小于，在频率小于 830Hz 或大于或大于 1200Hz 处的最小衰减处的最小衰减 s=25dB。解答：由题意知，解答：由题意知， BW =2200, 2 = 21000, sl =2830, sh =21200, p=3dB, s=25dB。 将频率归一化，将频率归一化， 频率转换，频率转换， 6/ 13

36、. 4/ 25)/(2222BWshshBWslslBW2213131525. 5525. 431 132223p222 112221p833. 1222shshs874. 1222slsls1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 设计切比雪夫低通滤波器，技术指标为：设计切比雪夫低通滤波器，技术指标为：p=3dB，s=25dB， p=1，s=1.833。N 和的值也可以通过查表获得。然后采用求极点或查表的方法得和的值也可以通过查表获得。然后采用求极点或查表的方法得到总的归一化系统函数到总的归一化系统函数 G(p) ： 系统函数系统函数 H(s): )8392. 02986. 0)(2986.

37、0(21)(22ppppG110 10/2pspsNarcosh) 110/() 110(arcosh 10/10/9952623. 0 23 N200210004)(22213312)()()(sspssppGpGsH1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计|H(j)|shsl1320观察模拟低通和带阻滤波器的频率响应：观察模拟低通和带阻滤波器的频率响应：1 : 下通带截止频率下通带截止频率sl : 阻带下限频率阻带下限频率sh: 阻带上限频率阻带上限频率3: 上通带截止频率上通带截止频率定义：定义：归一化：归一化：再定义：再定义：|G(j)|0sp=11-p-s13BWBWshshBWBWB

38、Wslsl/331131223122|H(j)|shsl13201. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计寻找寻找 与与 转换关系。转换关系。|G(j)|0sp=11-p-s-x/ ,2222xx31222213px222 1x1, 113p1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计由由 可知可知所以所以312132312222222222)()( )/()/(ssssqqjqjqjjjpBWBWBWBWBWsjjq31213)()()(ssppGsH2221. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计习题习题 ：设计一个巴特沃思模拟带阻滤波器，其下通带截止频率：设计一个巴特沃思模拟带阻滤波器，其下通带截止频

39、率 f1 为为 905 Hz，阻带下限频率，阻带下限频率 fsl 为为 980Hz，阻带上限频率，阻带上限频率 fsh 为为 1020Hz，上通带截止频率，上通带截止频率 f3 为为 1105 Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=3dB，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=25dB。解答：由题意知，解答：由题意知， 1 =2905, sl =2980, sh =21020, 3 =21105, BW =2200, 22 = 42104975, p=3dB, s=25dB。 将频率归一化，将频率归一化， 频率转换，频率转换， 计算滤波器的阶次计算滤波器的阶次 N(C=1)25 525. 5 1 .

40、5 9 . 4 525. 4312231shsl222833. 1222shshs874. 1222slsls1pspsNlg/110110lg 10/10/2 N1. 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计然后采用求极点或查表的方法得到总的归一化系统函数然后采用求极点或查表的方法得到总的归一化系统函数 G(p) ： 系统函数：系统函数：10497542002)(2231213)()()(sspssppGpGsH 876543210aaaaaaaaaN1234567891.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.4142.0002.6133.2363

41、.8644.4945.1265.7592.0003.4145.2367.46410.09813.13716.5822.6235.2369.14214.59221.84631.1633.2367.46414.59225. 68841.9863.86410.09821.84641.9864.19413.13731.1635.12616.582 5.7591414. 11)(2pppG2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器模拟低通滤波器模拟低通滤波器模拟高通滤波器模拟高通滤波器模拟带阻滤波器模拟带阻滤波器模拟带通滤波器模拟带通滤波器数字高通滤波器数字高通

42、滤波器数字带阻滤波器数字带阻滤波器数字带通滤波器数字带通滤波器数字低通滤波器数字低通滤波器2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器考察考察 S 平面与平面与 Z 平面之间的映射关系：平面之间的映射关系： ，令令 ，则有，则有 ssssTjTTjsTeeeez)(,sTerjrez jImjReS平面平面Z平面平面00单位圆单位圆sT 2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器jImjReS平面平面Z平面平面00单位圆单位圆-/Ts/Ts3/Ts-3/Ts考察考察 S 平面与平面与 Z 平面之间的映射关系：平面

43、之间的映射关系： ，令令 ，则有，则有 ssssTjTTjsTeeeez)(jrez sT ,sTer2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器由由 S 平面到平面到 Z 平面的映射关系可知，平面的映射关系可知， 或或 ，并，并有有 。显然，。显然， 和和 之间是一种线性转换关系。假定滤之间是一种线性转换关系。假定滤波器是低通的，由上节的方法我们可以得到模拟低通滤波器的波器是低通的，由上节的方法我们可以得到模拟低通滤波器的转移函数转移函数 G(s) 。将。将 G(s) 转换为转换为 H(z) 的一个最直接的方法是的一个最直接的方法是:但这样做的结果将使

44、但这样做的结果将使 H(z) 中的中的 z 以对数形式出现，使以对数形式出现，使 H(z) 的的分子分母不再是分子分母不再是 z 的有理多项式，这将给系统的分析和实现带的有理多项式，这将给系统的分析和实现带来困难。来困难。ssTze(1/)lnssTzsT 1ln( )( )sszTH zG s2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器冲激响应不变法又称标准冲激响应不变法又称标准 Z 变换法，它保证从模拟滤波器变换变换法，它保证从模拟滤波器变换得到的数字滤波器冲激响应序列得到的数字滤波器冲激响应序列 h(n) 是相应的模拟滤波器的单是相应的模拟滤波器的

45、单位冲激响应位冲激响应 ha(t) 的等间隔的等间隔Ts的采样值，即的采样值，即其中其中 ha(t) 的拉普拉斯变换是的拉普拉斯变换是 Ha(s) ，即为模拟滤波器的系统函，即为模拟滤波器的系统函数。这种方法的设计思路是先得到模拟滤波器的系统函数数。这种方法的设计思路是先得到模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后对其冲激响应，然后对其冲激响应 ha(t) 采样，得到数字滤波器的单位脉冲采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应响应 h(n)，最后，最后 h(n) 所对应的所对应的 Z 变换记为所求数字系统的系统变换记为所求数字系统的系统函数函数 H(z)，即，即( )( )|sat nTh nh t(

46、)( )( )( )aaHsh th nH z理想采样2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器根据拉普拉斯变换与根据拉普拉斯变换与 Z 变换的关系可知：变换的关系可知：上式表明，时域的采样使得连续时间信号上式表明，时域的采样使得连续时间信号 ha(t) 的拉普拉斯变的拉普拉斯变换换Ha(s) 在在 S 平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过 的映的映射关系，将射关系，将 Ha(s) 映射到映射到 Z 平面上，即得平面上，即得 H(z) 。msasezmTjsHTzHssT)2(1)(ssTze2. 用冲激响应不变法设计用冲激

47、响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器当当 s=j 时得到数字滤波器的频率响应：时得到数字滤波器的频率响应：若模拟滤波器是带限的，即若模拟滤波器是带限的，即 则有则有此时数字滤波器在可在折叠频率抽样频率的一半内不失真此时数字滤波器在可在折叠频率抽样频率的一半内不失真的重现模拟滤波器的响应。的重现模拟滤波器的响应。msasezmTjjHTzHjHsTj)2(1)()(saTjH/ , 0)( ),(1)(1)(sasasTjHTjHTjH2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器实际的模拟滤波器频率响应不可能是真正带限的，所以冲激响实际的模

48、拟滤波器频率响应不可能是真正带限的，所以冲激响应不变法总会有混叠失真。应不变法总会有混叠失真。对于低通和带通滤波器来说，当对于低通和带通滤波器来说，当 Ts 足够小的时候，冲激响应不足够小的时候，冲激响应不变法能够给出较为满意的结果。变法能够给出较为满意的结果。00|Ha(j)|H(j)|/Ts2-2-11/Ts相应的冲激响应为：相应的冲激响应为：2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器将系统函数将系统函数 Ha(s) 写成如下的部分分式形式：写成如下的部分分式形式：NiiiassAsH1)(NitsiatueAthi1)()(NinTsisanue

49、AnThnhsi1)()()(NiTsinnTsNiinNinnTsinnzeAzeAzeAznhzHsisisi11011011 )()(根据冲激响应不变法的定义，数字滤波器的冲激响应为：根据冲激响应不变法的定义，数字滤波器的冲激响应为：数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数 H(z) 应为应为()011( )|iis ts s tstiieu t edtessss 2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器从上式可知：从上式可知：Ha(s) 和和 H(z) 的各部分分式的系数是相同的；的各部分分式的系数是相同的；极点是以极点是以 的关系进行映射的

50、，即的关系进行映射的，即 Ha(s) 的极点的极点 s=-si 变成变成了了 H(z) 的极点的极点 ; Ha(s) 和和 H(z) 的零点没有一一对应的关系。的零点没有一一对应的关系。根据以上分析可知，在用冲激响应不变法设计数字滤波器时，根据以上分析可知，在用冲激响应不变法设计数字滤波器时，应先把模拟滤波器的系统函数写成部分分式形式，然后按应先把模拟滤波器的系统函数写成部分分式形式，然后按照上述的极点转换原则，求出数字滤波器的所有极点，即照上述的极点转换原则，求出数字滤波器的所有极点，即可得到系统函数可得到系统函数 H(z) 。NiiiassAsH1)(NiTsizeAzHsi111)(ss

51、Tez siTsiez2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器考察：考察：若采样频率较高，数字系统幅频响应的增益就会很大。为了防若采样频率较高，数字系统幅频响应的增益就会很大。为了防止溢出，通常在采样时做修正，即令止溢出，通常在采样时做修正，即令则有则有及及 ),(1)(1)(sasasTjHTjHTjHNinTsissasnueATnThTnhsi1)()()( ),()()(saaTjHjHjHNiTsiszeATzHsi111)(NiiiassAsH1)(习题习题 ：Ts=0.1s，采用冲激响应不变法将，采用冲激响应不变法将变换成一个数字滤波器

52、变换成一个数字滤波器 H(z)。解答：将解答：将 Ha(s) 部分分式展开部分分式展开极点在极点在 s1=-3 和和 s2=-2 处均为单极点），处均为单极点）， 因而因而651)(2ssssHa2132)(sssHa21112136065. 05595. 1108966. 01 . 01112)(zzzzezeTzHssTTs2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器冲激响应不变法设计数字滤波器的一般步骤以低通为例）：冲激响应不变法设计数字滤波器的一般步骤以低通为例）

53、：利用利用 将转数字频率转换成为模拟频率，而将转数字频率转换成为模拟频率，而 p 和和 s保持保持不变；不变；根据根据p , p, p 和和 s 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 G(s)；利用部分分式展开，将利用部分分式展开，将 G(s) 展开成展开成: 把模拟极点转换成数字极点，得到数字滤波器的系统函数把模拟极点转换成数字极点，得到数字滤波器的系统函数H(z)为：为：sT NiiissAsG1)(NiTsiszeATzHsi111)(2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器冲激响应不变法的特点：冲激响应不变法的特点：数字滤波器保持了模拟滤波器

54、的时域瞬时特征；数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬时特征；数字频率和模拟频率之间的关系为数字频率和模拟频率之间的关系为 ，即两者呈线性关系，即两者呈线性关系，没有线性失真问题；，没有线性失真问题；数字滤波器的频谱是模拟滤波器频谱的周期延拓，因此当模拟数字滤波器的频谱是模拟滤波器频谱的周期延拓，因此当模拟滤波器不是带限的，或采样频率不够高时，数字滤波器的滤波器不是带限的，或采样频率不够高时，数字滤波器的频谱将会发生混叠失真；频谱将会发生混叠失真；高通和带阻滤波器不是带限的，因此不能用冲激响应不变法来高通和带阻滤波器不是带限的，因此不能用冲激响应不变法来实现模拟滤波器到数字滤波器的转换，这极大的限

55、制了冲实现模拟滤波器到数字滤波器的转换，这极大的限制了冲激响应不变法的应用范围。激响应不变法的应用范围。sT 习题习题 ：利用冲激响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，：利用冲激响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率通带截止频率 fp=750Hz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=3dB，阻带下限频，阻带下限频率率 fs=1600Hz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=7dB。解答：由给定的技术指标，得到模拟滤波器的技术要求为：解答：由给定的技术指标，得到模拟滤波器的技术要求为： p =1500, s=3200, p=3dB, s=7dB然后：然后： 取取 N=1。S 平面左半

56、平面只有一个极点：平面左半平面只有一个极点：spspNClg/110110lg 11010/10/10/2917. 0 1NC1)exp(1jpNkNNkjpk, 2 , 1 ),212exp(2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器归一化的一阶巴特沃思滤波器的系统函数为：归一化的一阶巴特沃思滤波器的系统函数为：反归一化：反归一化：根据冲激响应不变法，将根据冲激响应不变法，将 G(s) 转化为数字滤波器的系统函数转化为数字滤波器的系统函数 H(z) :上述模拟和数字滤波器的幅频响应分别为：上述模拟和数字滤波器的幅频响应分别为： 11)(ppGppsp

57、spsGp 11)(115001115001)(zeTzeTzHsspTsTps21|()|(/1500 )1G j 150030001500|()| 12cossssTTTH jee2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器幅频响应曲线：幅频响应曲线：2. 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器3. 用双线性用双线性 Z 变换法设计变换法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器用冲激响应不变法把模拟滤波器的系统函数用冲激响应不变法把模拟滤波器的系统函数 G(s) 转换为数字滤转换为数字滤波器的系统函数波器的系

58、统函数 H(z) 时，因为时，因为 的映射关系不是单值的映射关系不是单值映射，所以从映射，所以从 S 平面直接映射到平面直接映射到 Z 平面时可能会产生混叠，平面时可能会产生混叠，这是冲激响应不变法的一个缺点。我们希望从这是冲激响应不变法的一个缺点。我们希望从 S 平面到平面到 Z 平面的映射关系满足：平面的映射关系满足：S 平面的整个平面的整个 j 轴只映射为轴只映射为 Z 平面的单位圆上一周；平面的单位圆上一周；假设假设 G(s) 是稳定的，则由是稳定的，则由 G(s) 映射得到的映射得到的 H(z) 也应该是稳定也应该是稳定的；的；这种映射是可逆的，既能由这种映射是可逆的，既能由 G(s

59、) 得到得到 H(z) ，也能由，也能由H(z)得到得到G(s) ；假如假如 G(0) =1，那么，那么 H(0) 也应该等于也应该等于 1。ssTez 3. 用双线性用双线性 Z 变换法设计变换法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器一阶系统一阶系统 G(s)=A/(s+) 也可以用微分方程也可以用微分方程来描述。用来描述。用 y(n)-y(n-1)/Ts 替代替代 dy(t)/dt, y(n)+y(n-1)/2 替代替代 y(t), x(n)+x(n-1)/2 替代替代 x(t)，于是得到差分方程：，于是得到差分方程：两边取两边取 Z 变换得：变换得：与与 G(s)= A/(s+) 相

60、比较可知相比较可知:)()()(tAxtydttdy)1()(2)1()(2)1()(1nxnxAnynynynyTs112)(zzTAzHs112zzTss)()()()(zXzknxzXzknxkZkZ3. 用双线性用双线性 Z 变换法设计变换法设计 IIR 数字低通滤波器数字低通滤波器双线性变换的映射关系为：双线性变换的映射关系为：112zzTsssTsTzss)2/(1)2/(1)2/tan(2)2/cos()2/sin(2)()(21122/2/2/2/2/2/ssjjjjjjsjjsTjTjeeeeeeTeeTj)2/tan(2sT)2/arctan(2sTjImjZ平面平面00S