第七讲-多元函数积分学(一)(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第七讲 多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数定义在有界闭区域上，则二重积分精确定义求极限问题：先提出，在凑出，可以看出是0到1上的，是0到1上的，是0到1上的注：二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当在上连续时，或者在上有界，且在除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则在上可积。极限存在与的分割方式无关。几何意义曲顶柱体的体积；物理意义的质量。2、二重积分的性质（1）区域面积，其中为区域的面积。（2）可积函数必有界：当在闭区域上可积时，则在上必有界（3）线性性质：为常数。（4

2、）可加性：，。（5）保号性：若在上，则；特殊的有。（6）估值定理：设，的面积为,则有（7）二重积分中值定理：设函数在闭区域上连续，的面积为，则至少存在一点使得。3、二重积分的计算（1）直角坐标系计算法型：，在上连续，则型：，在上连续，则（2）极坐标系计算法其中在上连续，则注意：型，型和极坐标的相互转化有时可方便解题4、二重积分的对称性，记为其对称区域的一半（1）若关于轴对称，有（2）若关于轴对称，有（3）若关于原点对称，有（4）（轮换对称性）若关于对称，有若将分成两部分，有二、三重积分1、三重积分的概念设三元函数定义在三维有界空间区域上，则三重积分方法：先提出，在凑出，可以看出是0到1上的，是

3、0到1上的，是0到1上的，是0到1上的。2、三重积分的性质（1）区域面积，其中为区域的面积。（2）可积函数必有界：当在闭区域上可积时，则在上必有界（3）线性性质：，为常数。（4）可加性：，。（5）保号性：若在上，则；特殊的有。（6）估值定理：设，的体积为,则有（7）三重积分中值定理：设函数在闭区域上连续，的体积为，则至少存在一点使得。3、三重积分的计算（1）坐标平面投影法（二套一）（2）坐标轴投影法（一套二）（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”，其中（4）球坐标计算法其中4、三重积分的对称性（1）若关于平面对称，则为对称区域的一半。同理与关于平面对称和平面对称（2）轮换对称性：若关于具有轮

4、换对称性（即若，将意互换后的点也属于），则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值当：，有三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程组成，则曲面的面积若光滑曲面方程为，且，则2、质心（1）薄片的质心：，若薄片是均匀的，密度为常数，则质心即形心，（2）空间立体质心：，则：，3、转动惯量（1）平面薄片的转动惯量，若面密度为，（2）空间立体的转动惯量, 若密度为,4、引力（1）对面上的平面薄片对原点处的单位质量质点的引力分量为；，（2）空间立体的对空间任意一点处的单位质量质点的引力分量为注：匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力；匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质

5、点为半径的球对该点的引力。练习题：1、求极限2、交换下列积分次序（1）；（2）；（3）（4）3、计算下列二重积分（1），；（2）；（3）4、将在下列区域表示为极坐标形式（函数为）（1）；（2）（3）；（4）5、用极坐标计算积分（1）；（2）；（3）；（4），其中是在第一象限区域；（5），其中是在第一象限区域；6、（1）求曲面与围成立体体积。（2）计算面上围成的闭区域为底，以曲面为曲顶柱体体积。7、设函数连续，且，其中是由围成，求。8、设函数在闭区域上连续，且，求。9、设平面闭区域，则 （ ）（A） （B） （C） （D）010、计算其中由围成11、计算，其中由，围成。12、已知，计算下列二重积

6、分（1），是定义在连续正值函数，常数。（2），常数。13、设在上连续，求14、已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分。15、设为连续函数，则_.16、设连续，求。17、设为连续函数，求证。18、设函数在区间上具有连续的导数，且满足，其中，求表达式。19*、求极限20*、计算，其中。21、求极限22、计算，其中为平面所围成闭区域。23、（1）计算，其中是由锥面与平面所围成闭区域。（2）是平面绕旋转所得与，所围区域。24、计算，其中为球面在第一卦限的闭区域。25、计算，其中为球面的闭区域。26、计算，其中是不等式所围成闭区域。27、计算，其中是不等式所围成闭区域。28、求球体上位于锥面之间的部分的体积。29、空间闭区域，则有 （ ）（A） （B）（C） （D）30、计算，其中为球面的闭区域。31、计算（1）；（2）32、求球面含在圆柱面内部的那部分面积。33、求两个直交圆柱面围成立体的表面积。34、求均匀薄片是介于之间的闭区域的质心。35、求均匀立体是围成的质心。36、设球体中任意一点的密度到球心距离成正比，求球的重心。37、求均匀薄片是由与直线所围成，绕旋转的转动惯量（）。