平面向量内积的坐标运算

1、课 题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式*能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b，作0A = a , OB = b，则/ AO B= 0 (o< 0 <n )叫a与b的夹角2平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角是0 ,则数量|a|b |cost叫a与b的数量积,

2、记作a b ,即有a b = |a |b |cosv(o< 0 < n ).并规定0与任何向量的数量积为 0”3. 向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b |cosT的乘积4. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1 e a = a e =|a|cosn； 2 a_b 二 a b = 03当a与b同向时，a b = |a|b|；当a与b反向时，a b = -|a|b卜特别的a a = | a |2或| a尸a aa b= -4 cosr =； 5 |a b | < |a|b |a |b |5. 平面向量数量积的

3、运算律交换律：a b = b a数乘结合律：( a) b = (a b ) = a ( b )分配律：(a + b ) c = a c + b c二、讲解新课：i. 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 = (x1, y1) ,b=(x2,y2)，试用a和b的坐标表示a b +设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么N亠亠Na = xiiyi j , b = x?iy2 j所以 a b =(xj yij)(x2i y?)ngi2 xi j X2y, j yj又 i i =1, j j =1, i j = j i = 0所以 a b = x1x2 y1y2这就是说：两个向量的数量

4、积等于它们对应坐标的乘积的和+即 a b = x1 x2 y1y22. 平面内两点间的距离公式(1 )设 a = (x, y)，则 | a |2 = x2 y2 或 | a 1= x2 y2 (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(为,y1)、(X2,y2)，那么|a|= .(人-X2)2 -丫2)2 (平面内两点间的距离公式)3. 向量垂直的判定设 a = (x) , b = (x2, y2)，贝V a _ b = x1 x2 y1 y2 = 04. 两向量夹角的余弦(0 _二乞二)、 a bX1 x2+ yi y2cos 1 =|a| |b|hi2 + yi'X22

5、 + y22三、讲解范例：例 1 设 a =(5, -7)，b = (-6, -4)，求 a b解：a b = 5X ( -6) + ( -7) X (_4)=七0 + 28 = -2例2已知a(1,2) , b (2, 3), C(-2, 5)，求证： ABC是直角三角形.证明： AB =(2 -1,3-2) = (1, 1), AC = (_2_1,5_2) = (_3, 3) AB AC =1 X (3) + 1 X 3 = 0/ AB _ ACx a = 9与x b = -4的向量X解：设 x= (t, s),Xa =9'3t s = 9't =2由- 二 J二 *Xb

6、 = -4+ 2s = -4s=：例3已知a = (3, -1), b = (1,2)，求满足- X= (2, -3) ABC是直角三角形例4已知a =(1, 屈),b =( J3 + 1, J3 1),贝U a与b的夹角是多少？ 分析：为求a与b夹角，需先求a b及| a丨丨b |,再结合夹角0的范围 确定其值解：由 a =(1, -J3 ), b =(加'3 + 1, V3 1)a 1=2,有 a b =3 + 1+ . 3 (3 1)=4,记a与b的夹角为0 ，贝U cos 0 =ji又0Wn,.0 =评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5如图，以原点和A (5,

7、 2)为顶点作等腰直角 ABC，使.b = 90，求点b和向量AB的坐标.解：设 b 点坐标(x, y)，则 OB = (x, y)， AB = (x-5, y2)/ OB _ AB. x(x_5) + y(y-2) = 0 即：x2 + y2 _5x - 2y = 0又/ |OB | = | AB | x2 + y2=(x-5)2 + (y-2)2 即：10x + 4y = 29产 22x + y 5x 2y = 0J J J0x +4y =297x1 =二2或3"匚3x2 - 27"2-733 7b点坐标纭二)或(庐)AB=(寺7)或(J23例6在厶ABC中,AB =(

8、2, 3)，AC =(1,心且厶ABC的一个内角为直角,求k值.解：当a = 90时,AB AC = 0，3. 2X 1 +3 X k = 0 k =-2当b = 90时,AB BC = 0，BC = AC - AB = (1-2, k-3) = (-1, k-3) 2 X (-1) +3 X (k£) = 011-k =3当 C= 90 时，AC BC = 0 , -1 + k(k3) = 03一 一13k2四、课堂练习：1.右 a =(-4,3),T-b =(5,6),则 3| a| -4 a b =(A.23B.57C63D.832.已知 a (1,2),b (2,3), c

9、(-2,5)，则 a b c 为(A.直角三角形B.锐角三角形C钝角三角形D.不等边三角形3. 已知a =(4,3),向量b是垂直a的单位向量，贝U b等于()3 44 33 43 4A(,)或(，)B.(,)或(-,)5 55 55 55 534433434C(,)或(-匚，) D.(,)或(-？)5 55 55 55 54.a =(2,3), b =(-2,4),则(a + b ) (a- b )=- - 1 -5. 已知a (3,2),b(-i,-i)，若点F(x,-)在线段a b的中垂线上，则x=.26. 已知 a(l，0)，b (3，1)，c(2，0)，且 a = BC , b =C

10、A ,则 a 与 b 的夹角 为 .参考答案：1.D 2. A 3.D 4.- 5.- 6.45 :4五、 小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a =(2,3), b =(-4,7),则a在b方向上的投影为()A . 13B.13C.一 65D. . 65A.23B.23C. 23D.2342. 已知a=(入，2), b =(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则入的取值范围是()A、10一 10A.入一B.入一333.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a+xb)丄(a - b),贝 y x 等于(4. 已知| a|= .10 , b =(1

11、,2)且a / b ,则a的坐标为5. 已知 a =(1,2), b (1,1), c=b - ka ,若 c 丄 a，贝U c =-_3:6. 已知a =(3,0), b =( k,5)且a与b的夹角为，贝U k的值为47. 已知a =(3,-1), b =(1,2),求满足条件x a=9与x b =-4的向量x.8. 已知点A(1 , 2)和B(4 , -1)，问能否在y轴上找到一点 C,使/ ABC= 90°,若不能，说明理由；若能，求 c点坐标9. 四边形 ABCD 中= AB(6,1),BC =(x, y) , CD =(-2,-3),若BC / DA，求x与yH问关.农心

12、满足问的同时又有 AC丄BD，求 x,y的值及四边形 ABC D的面积.参考答案：1. C 2. A 3. C 4.( 、2 , 2 V2 )或(-& 2 ,-2 时，2 )2 15.( 一，-一)6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)55x = 6亠 x = 29.(1) x+2y=0 (2)丿或丿S 四边形 ABCD=16、y = 3、y = _i七、板书设计(略)八、课后记及备用资料：已知 a =( 3, 4) , b =( 4, 3)，求 x,y 的值使(xa+yb )丄 a，且丨 xa +yb I=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想解：由 a =( 3, 4), b =( 4, 3)，有 xa+yb =(3x+4y,4x+3y)又(xa +yb )丄 a (xa+yb )-a = 0 ：= 3(3 x+4y)+4(4 x