平面向量及其应用(林胜杰)

1、平面向量及其应用（林胜杰）温州八中林胜杰向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用， 通过本章的复习 将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的 思想方法，增强我们解决实际问题的能力。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角 函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式 的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的 媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线 等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定 性”研究推向“定量”

2、研究。【考点梳理】一、考试内容1. 向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。2. 平面向量的坐标表示，线段的定比分点。3. 平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。4. 平移及平移公式。二、考试要求1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2. 掌握向量的加法与减法。3. 掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4. 了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的 坐标运算。5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处 理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6. 掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分

3、点和中点公式，并且能 熟练运用；掌握平移公式。三、考点精析1. 平面向量知识结构姑亟屜_丽向辭行的麵臺件IL向址的數戦聞戾t血垂直祐充聲超 厂I定比点歳"向址関廷用_ -2. 向量的概念(1) 定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长 度，叫做向量的模。(2) 特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量(平行向 量)，相等向量，相反向量。(3) 表示法 几何法：画有向线段表示，记为 AB或a。 坐标法：AB =xi+yj =(x,y) ； AB=(X2 xi ,y2 yi),其中 A(xi,yi),B(x2,y2)3.向量的运算运算 名称定义(法则)运算

4、性质坐标运算加法 运算a+b a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a设 a=(xi,yi), b=(x2,y2)， 则 a+b=(xi +X2,yi+y2)减法 运算a ba设 a=(xi ,yi), b=(X2,y2)， 则 a-b= (xi-X2,yi-yz)实数 与向 量的 积石 ？0时，2a与a同向，1 2|= 2a| 20时，2与a反向，1 2|= 2a| 0 a=0 入(卩a)=(入卩)a (入+ 1 )a=入a+卩a 入(a+b)=入 a+2 b设 a=(x,y)则入a=(入x 2 y平面 向量 的数 量积 a ba b=|a|b|cosB工 0,bM

5、 0,0< 0 < n ) a b=b a (2) b=a (2b)=2 (a b) (a+b) c=a c+b c设 a=(xi,yi), b=(x2,y2) 则 a b= xiX2+yiy24.定理与公式(1) 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 入使得b=石(2) 平面向量基本定理：如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 入i,入2使a=入iei+入2e2(3) 两个非零向量平行和垂直的充要条件：设a=(xi,yi),b=(X2,y2) a/ b a= ?bxiy2-x2yi=0 a 丄 ba

6、b=0xix2+yiy2=0(4) 数值计算公式两点间的距离公式：若 a=(x,y)，贝卩 |a|2=x2+y2或|a|=. x2 y2 ；若设 Pi(Xi, yJP2(x2,y2)，则 IRP2F(X2 X1)2 (y? yj2线段的定比分点坐标公式：x 设 Pi (xi,yi),P2 (x2,y2),P(x,y), RP 二入 PP,，贝UyX1入x21入Y1入Y21入x中点坐标公式：设Pi (xi,yi),P2 (x2,y2),P(x,y)为P1P2的中点，J则yx1x22yiy22两向量的夹角公式：设 a =(xi,yi),b=(x2,y2), a, b的夹角为0 ,贝U cos0 =

7、a b _xgI a I I blx12y；yiY2'22.X2y2图形变换公式平移公式：若点Po(x,y)按向量a_(h,k)平移至P(x' ,y'),则x'y'x hy k.(6)有关结论 线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，0是平面内任一点，则 1 OM 丄(OA + OB);2 向量加法的多边形法则：有限个向量 a1,a2,an相加，可以从点O出发,逐一作向量OA =a1, AA2=a2,An 1An =an,则向量0代 即这些向量的和，即a1+a2+an= OA + A A2 + An 1 An = OAn (向量加法的多边形法则)。当A

8、n和O重合时(即上述折线OA1A2An成封闭折线时)，则和向量为零向 量。注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式， 是 解决向量问题的重要手段。5. 向量的应用(1) 向量在几何中的应用(2) 向量在物理中的应用四、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何 学中有很大的用处。【热点透视及命题趋向】本部分高考的热点是向量的概念、加法、减法，平面向量的坐标运算，平面 向量的数量积；两个非零向量平行及垂直的充要条件；图形的平移，线段定比分点公式的应用；正、余弦定理及其在解斜三角形中的应用等。试题多以选择题、填空题为主，考查基本概念、基本运算。

9、在解答题中, 般是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度适中。【例题讲解】一.向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相 关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充 要条件。例1已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量, 贝卩向量a的终点坐标是.方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知4(x 3)3( y 1)0(x 3)2 (y + 1)1x解得y125或151859，故填1方法二 与向量b= (-3,4)平行的单位向量是土 (-3,4)，5故可得a

10、=± (-3 ,-)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。5 5注 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质, 注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。与a平行的单位向量e=±|a|例 2已知 |a|=1,|b|=1，a 与 b 的夹角为 60° , x=2a b，y=3b a,则 x 与 y 的夹角是多少？分析：要计算x与y的夹角9,需求出|x|,|y|,x y的值。计算时要注意计算 的准确性。1解： 由已知 |a|=|b|=1， a 与 b 的夹角 a为 60° ,得 a b=|

11、a|b|cos 0=- 。2 要计算x与y的夹角9,需求出|x|,|y|,x y的值。T |xf=x2=(2a b)2=4a2 4a b+b2=4 4X 丄 +1=3，2|y|2=y2=(3b a)2=9b2 6b a+a2=9 6X 1 +1=7.22 2x y=(2a b) (3b a)=6a b 2a 3b +a b=7a b 2a2 3b2 =7X - 2 3=-，2 2又 I x y=|x|y|cos 9 即一色=3 X J7cos 92<21cos 9=， 9= n -14x'2-arccos14即x与y的夹角是n arccoA114注：本题利用模的性质|a| 2=a

12、2在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b, AC =a, AD =2a,/ BAC=60°。由向量减法的几何意义，得BD = AD AB =2ab。由余弦定理易得|BD|= 3，即xi= 3，同理可得|y|= 7.例3如图所示，向量i，j ，e1， e2均为单位向量，且i丄j， 8丄e2； 用i，j表示e1， e2；，求关于xi、yi的表达式, 若(OP=xi+y j ,且 xy=1 ； OP=x1 e1+y1 e2 ；当 J并说明方程表达的曲线形状；分析：利用平面向量的基本定理对向量进行分解，中间包含向量的基本运算可得ei=cos +si

13、n J) e2=-sin i+cos j2e1= 2 (i+j)2 方程为：X12-y12=2曲线为双曲线。e2=22(-i+j)注：本题要求学生对平面向量的基本定理有较深刻的理解，基向量的选择，就是坐标系的选择。利用向量的运算，可以研究在不同坐标系下同一曲线的不同方程，体现了坐标变换的思想，使初等数学与高等数学平稳过渡，这是新课改”的一个方向。二平面向量与三角函数的交汇向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处” 构题，又加强了对双基的考查。例 4 已知 a= (cos a sin a) ,b= (cos 0sin ) (0< a 护n，(1) 求证：a+b与a-b互

14、相垂直；(2) 若ka+b与a-kb的大小相等(k R且0),求a(1) 证法一:/ a= (cos a sin a ,b= ( cos 0sin )二 a+b=( cosacos，sin a sin ) , a-b=( cosacos g sin a sin ) (a+b) (a-b)= (cosa+cos 3 sina+ sin ) (cosacos g sin a sin ) =cos a-cos 越sin a sin f=0(a+b)丄(a-b)证法二： I a= (cos a sina) ,b= (cos f,sin )|a|= 1， |b|= 1 (a+b) (a-b)= a2-b

15、2=|af-|b|2=0二(a+b)丄(a-b)证法三：Ta= (cos a sin a) ,b= (cosfsin )|a|= 1， |b|= 1,记 OA = a, OB = b,则 |OA匸 |OB|=1,又B,O、A、B二点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形 OACB是菱形，其中OC = a+b, BA = a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+b)丄(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又/ |ka+b|2 = (kcoso+cos+(ksina+sin B2=k2+1+2kcos( b- a, |ka+b|2= (cosakcos

16、®2+(sinaksin B2=k2+1-2kcos( p a), 2kcos( p- a= -2kcos( p- a又 kM 0- cos( p a) 00< a< n- 0< p a< n- p a=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。例5 (2004年高考浙江)已知平面上三点 A、B、C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则 ab?Bc bc?Ca Ca?Ab 的值等于。

17、分析：本题主要是向量与解三角形的结合， 解题时应注意两个向量的夹角与三角形的内角的关系，女口 <BC,CA>=nC。答案：一25三.平面向量与解析几何的交汇平面向量与解析几何集代数与几何于一身的共同特性决定了它们之间的必 然联系，因此平面向量与解析几何的交汇成为高考复习的重点，通常涉及到夹 角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号 化、数量化，从而将推理转化为运算。例6平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A (3,1),B(-1,3)，若点C满足OC = aOA+pOB，其中 R且a+p 1,贝U C点的轨迹方程为()A. 3x+2y-1 仁0B. (x

18、-1)2+(y-2)2=5 C. 2x-y=0D. x+2y-5=0分析： 设 C(x,y)，则 OC=(x,y)由 OC =(x,y)= o(3,1)+ p(-1,3)=(3a- p a+3 p(可从中解出a p)又 T a+ p 1消去 a、p得 x+2y-5=0例7将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线 y= 2x2+4x+2的两 个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。解法一 设平移向量a=(h,k),则将y=2/按a平移之后得到的图像的解析式为 y=2(x h) 八/ 2hk2，宀, 4X= 4 2 k, k= 4 y=2(x+1)2 4,即 y=2x2+4x 2。注：定比

19、分点和向量平移是向量中的两个重要内容，通过它们可以和平面解 析几何、函数图像等其它章节辞知识相联系，成为知识的交汇点。在处理这类问 题中，最关键的是“顺序”(定比分点中，要分清起点和终点；图像平移中，要 分清哪一个到哪一个，然后结合公式解题)。由平移公式可知，平移前的函数解析式y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的函 数解析式是y=f(x-h)+k四平面向量解决物理问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、 加速度等。用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成 数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象。例8设炮弹被以初速V0和仰角

20、a抛出(空气阻力忽略不计)。当初速度 V0的大小一定时，发射角 a多大时，炮弹飞行的距离最远。解：将V0分解为水平方向和竖直方向两个分速度V1和V2，则| V1|=| v0|cos a| V2|=| v0|sin a由物理学知识可知，+k。设 M ' (m,n)和 M ' ( m, n)是 y= 2x2+4x+2 与 y=2(x h)2+k 的两个交点,则:n 2m2 4m 2n 2( m)24( m) 2解得:点(1, 4)和点(一1， 4)在函数y=2(x h)2+k的图像上2 2(1 h)k 4h12( 1 h)2 k 4 k4故所求解析式为：y=2(x+1)2 4,即y

21、=2x2+4x 2解法二 将y=2«按向量a=(h,k)平移，设P (x,y)为y=2x2上任一点，按ax' x hx x' h平移之后的对应点为p'(x y ),则x x h故xy' y ky y' k由 y 2(x2 h) k 消去 y 得：4/ 4(h+1)x+2h2+k 2=0y 2x 4x 2又.两交点关于原点对称x1+x2=0，即9=0,h=14又 y1+y2=0, 2x124hx1 +2+k+2x224hx2+2+k=0 2(x12+x22)+4(x1+x2)= 4 2k2 2(x 什X2)+4(x1 +x2) 4x1 X1= 4

22、 2kX1 x2=2h2 k4X1X2炮弹在水平方向飞行的距离 S=| V1| t=| vo|cos a （t是飞行时间） 炮弹在垂直方向的位移是0=| V2|t-gt2 （g是重力加速度）2v02 sin 2g. 2 由得t=2|V0 |sin ，代入得s=2|Vo 1 sin cosgg由于| vo|定，所以当0=45°时，S有最大值。故发射角0=45°时，炮弹飞行的距离最远。注：上述问题中涉及速度等物理量， 可根据平面向量的基本定理和物理问题 的需要，把vo分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知 识建立数学模型，最后利用向量的知识求解。【思维能力训练】A.3B.5C.655D.651.（2004年高考广东）已知平面向量a=（3,1）,b=（x,-3）,且a丄b,则x等于（）A. 3B.1C. 1D.-32. (2004年高考-浙江）已知向量a=(3,4), b =(sinaos 0,且 a /b,，则 tan等于（）3344A.3-B.