高等数学(下)课后习题答案

1、高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第卦限；点B在第卦限；点C在第卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之

2、间的距离：（1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.解：（1）(2) (3) (4) .5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故 .6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得 即所求点为M（0，0，）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3

3、）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故ABC为等腰直角三角形.8. 验证：.证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-19. 设试用a, b, c表示解：10. 把ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,和.解：11. 设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为，则12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标

4、A(x, y, z)，则解得x=-2, y=3, z=0故A的坐标为A(-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 在各坐标轴上的投影； （2） 的模；（3） 的方向余弦； （4） 方向的单位向量.解：（1） (2) (3) .(4) .14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达

5、向量a, b, c.解：16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er.解：因,故,（舍去）则.18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且，求向径的坐标.解：设向径=x, y, z因为，所以，故=.19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，的方向余弦是，

6、求点P的坐标.解：设P的坐标为（x, y, z）, 得又故点P的坐标为P（2，3，6）或P（）.20. 已知a, b的夹角，且，计算：(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b).解：（1）a·b =(2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）解：（1）(2) (3) 22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：=3，-2，-6，=6，2，323. 设重量为1

7、00kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m）.解：取重力方向为z轴负方向，依题意有f =0,0, -100×9.8s = =-2, 3,-6故W = f·s=0, 0,-980·-2, 3,-6=5880 (J)24. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解: (a+3b)·(7a-5b) = (a-4b)·(7a-2b) = 由及可得：又，所以,故.25. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的

8、轨迹方程.解：设动点为M(x, y, z)因,故.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.26. 设a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,ab,且a+b=2,4, -2a-b=-6,10,14又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).27. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求：(1) a×b; (

9、2) 2a×7b;(3) 7b×2a; (4) a×a.解：（1） (2) (3) (4) .28. 已知向量a和b互相垂直，且.计算：(1) |(ab)×(ab)|；(2) |(3ab)×(a2b)|.（1）(2) 29. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.解：与平行的单位向量.30. 一平行四边形以向量a =(2,1,1)和b=(1,2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为，因为,所以 .即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(

10、-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证明：.证明：中点M，N，P的坐标分别为故 .32. 求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=(x,0,0)则同时垂直于a，b的向量为=4xj3xk故同时垂直于a，b的单位向量为.33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A, B, C, D.则由A，B，D三点所确定三角形的面积为.同理可求其他三个三角形的面积依次为.故四面体的表面积.34. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线

11、.证明：,显然则故A，B，C三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n=3,-2,6，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.36. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y轴

12、上的截距为b则平面方程可定为又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2.故所求平面方程为38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知代入三已知点，有化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x y =0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3) 图7-2 图7-3 (3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及

13、y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）. 图7-4 图7-5 图7-640. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n=A,B,C已知平面法向量为n1=1,1,-1过已知两点的向量l=1,1,1由题知n·n1=0, n·l=0即所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-

14、2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成的角.解：（1） 因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2） 两平面的法向量分别为n1=1,k,-2 n2=2,-3,1且解得42. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1=2,l,3, n2=m,-6,-1(2) n1=3, -5, l , n2=1,3,243. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y

15、+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n=A,B,Cn1=1,-1,1, n2=2,1,1又（1，1，1）在所求平面上，故AB+C+D=0，得D=0故所求平面方程为即2x-y-3z=044. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n1=3,-1,7, n2=1,-1,2.故则45. 求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s=3-1，1+2，-1-1=2，3，-2故直线的标准方程为： 或 （2）直线方向向量可取为s

16、=1-3，0+1，-3-0=-2，1，-3故直线的标准方程为： 或 46. 求直线的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:且直线的参数方程为：47. 求下列直线与平面的交点：(1) , 2x+3y+z-1=0;(2) , x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1） 和 ；（2） 和 解：（1）两直线的方向向量分别为：s1=5,

17、 -3,3×3, -2,1=3,4, -1s2=2,2, -1×3,8,1=10, -5,10由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1s2从而两直线垂直，夹角为.(2) 直线的方向向量为s1=4, -12,3,直线的方程可变为,可求得其方向向量s2=0,2, -1×1,0,0=0, -1, -2,于是49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且

18、与直线平行.解：（1）可取直线的方向向量为s=3，-1，2故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s=2，-1，3故过点（-1，2，1）的直线方程为.50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s=-2，-7，3平面的法向量n=4，-2，-2，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0

19、（-3，-4，0）代入平面方程有.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程.解：直线的方向向量为,取平面法向量为1，2，3，故所求平面方程为即x+2y+3z=0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为其中为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故解得=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053. 求点（-1，2，0）在平面x+2

20、y-z+1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s=n=1，2，-1所以垂线的参数方程为将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点54. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n=1，2，2所以垂线的参数方程为将其代入平面方程得.故垂足为，且与点（1，2，1）的距离为即为点到平面的距离.55. 求点（3，-1，2）到直线的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知

21、直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组解得即为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所

22、表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.解：（1）母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8. 图7-7 图7-8（3）母线平行于y轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x轴的抛物柱面，如图7-10. 图7-9 图7-10（5）母线平行于z轴的两平面，如图7-11. （6）z轴，如图7-12. 图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆

23、抛物面，如图7-14. 图7-13 图7-14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16. 图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-18. 图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x2+y2+z2=a2与z=0,z= (a>0); (2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z

24、=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示. 图7-19 图7-20 图7-21 图7-2261. 求下列曲面和直线的交点：(1) 与;(2) 与.解：（1）直线的参数方程为代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.(2) 直线的参数方程为代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有即为所求圆的方程.63. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在x

25、Oy平面上的投影方程.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为x2+y2=x+1即.故曲线在xOy平面上的投影方程为64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为故曲线在xOy面上的投影曲线方程为65. 试考察曲面在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0;(3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截线方程为其形状为x=2平面上的双曲线.（2）截线方程为为xOz面上的一个椭圆.(3) 截线方程为为平面y=5上的一个椭圆.(4) 截线方程为为平面z=2上的两条直线.

26、66. 求单叶双曲面与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面，yOz平面及xOz平面上的投影曲线.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交线在xOy平面上的投影为以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-60z-35=0.故交线在yOz平面上的投影为 交线在xOz平面上的投影为习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x2+y2<4;(3) (x,y)|y<x2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)开集、无

27、界集，聚点集：R2，边界：(x,y)|x=0.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：(x,y)|1x2+y24，边界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|yx2，边界：(x,y)| y=x2.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan,试求.解：3. 已知,试求解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函数的定义域：解：5. 求下

28、列各极限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f(x,y)=;(2) f(x,y)=;(3) f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间

29、断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数：(1)z=x2y+;(2)s=;(3)z=xln;(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)两边取对数得故 (6)(7)(8)

30、9.已知，求证：.证明： .由对称性知 .于是 .10.设，求证：.证明： ,由z关于x,y的对称性得故 11.设f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：则.12.求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=x4+ y4-4x2y2;(2)z=arctan;(3)z=yx;(4)z=.解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)14.设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：10115.设z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函数的全微分：(1);(2

31、);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1) (1.02)3·(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=13×12+1×13×1&

32、#215;1×0.02+2×12×(-0.03)=1.(2)设f(x,y)=,则故取,则(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3，压强升高0.

33、015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=，且在标准状态下，R=8.20568×10-2,Vdv=-=故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式算出密度的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01时,当v=4.45, m=30.80时.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)求,；（2） z,xuv,yuv,求,；（3） ,yx3,求;（4） ux2y2z2, x,y,z,求.解：（1）(2)(3)(4)

34、.23. 设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.设为可导函数，证明：证明:故25. 设，其中f(u)为可导函数，验证：.证明： ,26. ,其中f具有二阶导数，求解：由对称性知，27. 设f是c2类函数，求下列函数的二阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 试证：利用变量替换,可将方程化简为 .证明：设故29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)解法1 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,则 故 .解法2 方程两边对x求导，得故 (2)设(3)

35、方程两边求全微分，得则 故 (4)设,则 30. 设F(x,y,z)=0可以确定函数x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),证明：.证明：31. 设确定了函数z=z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g是类函数，求(4) 求解：(1)原方程组变为方程两边对x求导，得当 (2)设故 (3)设则 故 (4)是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得整理得 解得 方程组两边对y求导得整理得 解得 33. 设，试求解：由方程组可确定反函数，方程组两边对x求导，得解得 所以 方程组两边对y求导，得解得

36、所以 .34. 求函数在(2，-1)点的泰勒公式.解：故35. 将函数在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：习题九1. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。解：2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：的方向余弦为故3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为，它是第三象限的角，因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y33(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6xx2)(4yy2);

37、(4)z=(x2+y2);(5)z=xy(axy),a0.解：（1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6在点（0，0）处，A=6，B=0，C=-6，B2AC=36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2

38、)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.(3) 解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6xx2)在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B2AC=8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC>0，所以(0,4

39、)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-u由，令得u=1,当u>1时，；当u<1时，,由此可知，在满足x02+y02=1的点（x0,y0）的邻域内，不论是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函数z在点（x0,y0）

40、取得极大值z=e-1(5)解方程组得驻点为 zxx=-2y, zxy=a-2x-2y, zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为 于是 易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且,H（P2）当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.5. 设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对x,y求导，解得令解得,将它们代入原方程，解得.从而得驻点.在点（-2，0）处，B2-AC<0，因此函数有极小值z=1.在点处，B2-AC<0，函数有极大值.6. 在平面xOy上求一点，

41、使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为距离的平方和为由得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。7. 求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求其在条件z= x2+y2下的最值。设F（x,y,z）=解方程组得故所求最短距离为8. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则|OP|

42、2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2， x+y+z=1设F（x,y,z）= x2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程组得 由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且.所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.9. 在第I卦限内作椭球面的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：令椭球面上任一点的切平面方程为即 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为即求在约束条件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。设 ,解方程组得.故切点为，此时最小体积为*10. 设空间有n个点，坐标为

43、,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为解方程组得驻点又在点处Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.故在点处，S取得最小值.即所求点为.11. 已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点，问点的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。解：该质点系对于p点的转动惯量为解上式得驻点因驻点唯一，故转动惯量在点处取得最小值.*12. 已知过去几年产量和利润的数据如下：产量x(千件)4047557090100利润y(千元)323443

44、547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程组把(xi,yi)代入方程组，得解得 a=0.884, b=-5.894即 y=0.884x-5.894,当x=120时，y=100.186(千元).13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).解：曲线在点的切

45、向量为当时， 切线方程为.法平面方程为即 .（2）联立方程组它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得解得 在点M0（1，-2，1）处，所以切向量为1，0，-1.故切线方程为法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导，得于是 曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为法平面方程为.14. t(0<t<2)为何值时，曲线L：x=t-sint, y=1-cost,z=4sin在相应点的切线垂直于平面，并求相应的切线和法平面方程。解：,在t处切向量为,已知平面的法向量为.且,

46、故解得，相应点的坐标为.且故切线方程为法平面方程为即 .15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);(2)z=arctan,点M0(1,1,);解：（1）故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z-5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法线方程为（2）故曲面在点M0(1,1,)的切平面方程为z-=- (x-1)+(y-1).法线方程为.16.指出曲面z=xy上何处的法线垂直于平面x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量为.已知平面法向量为.且，故有解得x=2,y=-1,此时，z=-2

47、.即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为.切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.17. 证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。证明：螺旋线的切向量为.与z轴同向的单位向量为两向量的夹角余弦为为一定值。故螺旋线的切线与z轴形成定角。18. 证明：曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F(x,y,z)=xyz-a3.因为 Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为它为一定值。习题十1. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域.解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1从而 故有 所以 （2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.图10-2从而 ln(x+y)>1故有 所以 2. 根