第6讲B样条曲线曲面

1、第 6 讲 B样条曲面B样条曲线与曲面样条曲线与曲面Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：Bezier曲线或曲面不能作局部修改；Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂 Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational B-Splines, write the authors in their foreword; they formulate the aim of changing NURBS

2、to EURBS, that is, Everybody. There is no doubt that they have achieved this goal. I highly recommend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems. Helmut Pottmann如何理解B-样条？样条插值，三对角方

3、程给定分划，所有的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数由B样条基函数代替Bezier曲线中底Bernstein基函数，即B样条曲线。4.1 B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质B样条曲线的方程定义为： 是控制多边形的顶点 (i=0,1,.,n) 称为k阶（k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。nikiitNPtP0,)()(), 1 , 0(niPi)(,tNki de Boor-Cox递推定义 并约定OtherwisetttNiii0t1)(11 ,)()()(

4、1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki000knknnnkktttttttt,11110B样条基函数的基本计算1.计算节点区间的下标2.)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki所以，所以，Pi(t)的矩阵表达式为的矩阵表达式为 321321331036303030141 161iiiiPPPPtt ttiP10 t根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次根据上式可以在平面直角坐标系中设计三次B样条曲线生样条曲线生成的程序成的

5、程序.与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题图3.1.24 准均匀三次B样条曲线准均匀B样条分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。图3.1.25 三次分段Bezier曲线 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且B

6、ezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。基函数的导数基函数的导数4.2 B样条曲线的性质局部性局部性。k 阶B样条曲线上参数为的一点至多与k个控制顶点有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。,1iittt), 1(ikijPj),(kiitt 连续性连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。 凸包性凸包性 P(t)在区间 上的部分位于k个点 的凸包 内，整条曲线则位于各凸包 的并集之内。nikttii1),(1ikiPP,1iCiC

7、分段参数多项式P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式 导数公式 ,)() 1()()()(111,1110,0,nkkiniikiiinikiinikiittttNttPPktNPtNPtP变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。直线保持性控制多边形退化为一条直线时， 曲线也退化为一条直线。仿射不变性即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。ninkkiittttNPAtPA011, )()( 造型的灵

8、活性。用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况.对于四阶（三次）B样条曲线.若要在其中得到一条直线段，只要四点 位于一条直线上321,iiiiPPPP为了使P(t)能过P(i)点，只要使 重合尖点也可通过三重节点的方法得到为了使曲线和某一直线L相切，只要取 位于L上及 的重数不大于2。21,iiiPPP21,iiiPPP3it iP1iP2iP3iP)(tP(a)四顶点共线iP1iP2iP3iP4iP三重顶点二重顶点(b)二重顶点和三重顶点iP1iP2iP1iPiP1iP2iP3iP(c)二重节点和三重节点(d)三顶点共线图.1.26 三次B样条曲线的一些特例4.3 de Boor 算

9、法算法欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。de Boor 算法的导出,)()()()()()(11,1111111, 111,11,0,jjkijkjiiikikiiikiijkjikiikikikiikiiijkjikiinikiittttNPttttPtttttNtttttNttttPtNPtNPtP现令则这就是著名的de Boor 算法 jrkjrkjikrtPtttttPttttjkjkjirPtPriirkirkiriirkiiiri, 2, 1; 1, 2 , 1),()(, 2, 1, 0,)(111jkjiki

10、ijkjikiitNtPtNPtP21,11,)()()()(de Boor 算法的递推关系如图nkjjjjkjkjkjkjkjkjPPPPPPPPPPPPP12123133122121De Boor 算法的几何意义de Boor算法有着直观的几何意义 割角，即以线段 割去角 。从多边形 开始，经过 k-1 层割角，最后得到P(t)上的点1ririPP1 riPjkjkjPPP 21)(1tPrj 1kjP2kjPjP12kjP13kjP1jP23kjP2jP34kjP1 kjP图3.1.28 B样条曲线的deBoor算法的几何意义4.4 节点插入算法通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部

11、性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。插入一个节点 在定义域某个节点区间内插入 一个节点t，得到新的节点矢量： 重新编号成为1,iitt11121111101,1kniiittttttTkniittttttT,1101这个新的节点矢量U1决定了一组新的B样条基,原始的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知新顶点 表示1iP101,1)()(njkjtNPtPjBoehm给出了这些未知新顶点的计算公式 r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。1, 1 ,1, ,)1 (, 1 , 0 ,111111nrijPPrikijPPPkijPPjjjjjjjjj111jkjjjtttt节点插入B样条曲线的最小二乘逼近 1kiP2kiP3kiP1iPiP12kiP13kiP1iP图3.1.30 实线框中k个新顶点 取代虚线框中k-1个原始顶点0P1P2P3P11P12P13P1t2t3t4t5t6tt图3.1.31 三次B样条曲线插入一个节点,43ttt3.5 B样条曲面样条曲面给定参数轴u和v的节点矢量 pq阶阶B样条曲面样条曲面定义如下 ,10pmuu