积分变换第8讲

1、1拉氏变换的应用2对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数学表达式. 所谓线性系统, 在许多场合, 它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述, 或者说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中, 都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程和建立线性系统的传递函数的概念.3微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示.象原函数(微分方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程4例1 求方程

2、y+2y-3y=e-t 满足初始条件1, 000 ttyy11)(3)(21)(11)(3)0(2)(2)0()0()(22 ssYssYsYsssYyssYysysYs即即 的解. 设L y(t)=Y(s). 对方程的两边取拉氏变换, 并考虑到初始条件, 则得5由 解出Y(s)11)(3)(21)(2 ssYssYsYs 3121242032)32)(1(2)(12111)()32(11)(3)(21)(2222ssssssssYssssYssssYssYsYs的的解解为为6即Y(s)有三个单极点为-1,1,-3ttttttty33e81e83e41e1182723e16321e16321)

3、( B(s)=3s2+6s-1, 因此)()(33232322)32)(1(2)(232232sBsAsssssssssssssssY 7例2 求解方程组 txyxyyxxyt222e 0)0()0(0)0()0(xxyy 满足初始条件的解的解.8对两个方程取拉氏变换, 设L y(t)=Y(s), L x(t)=X(s), 并考虑到初始条件, 得 txyxyyxxyt222e 222221)()(2)()(2211)()()()(ssXssYsXssYssssYssXsXssYs 整理得整理得 )1(1)()1()(2)1(2)()()1(22sssXsssYsssssXsYs9解此线性方程组

4、122122)1()1(21)1(1)()1()(2)1(2)()()1(2222222 sssssssssssDsssXsssYsssssXsYs10ttYYttyssDDsYssssssssssssssssssssssssssssDee1)(2)1(1)()1(12)1(12)1(1)1)(2(112)1(1)1()1(1)1(2222222222 可可得得由由上上讲讲例例112222223222322232222222)1(12)()1(12242)1(152)1(4211221)1(112)1(12)1(21 sssDDsXsssssssssssssssssssssssssDsssss

5、ssDYX120,00,22)1()1()1(121, 111, 01)1()1(12)(3222222222 DDBsBBssDsssBsssCssAsssDsCsBsAssssX则则项项系系数数得得比比较较则则项项系系数数得得比比较较再再通通分分后后得得两两边边分分子子为为得得后后令令两两边边乘乘得得后后令令两两边边乘乘13最后得 tttttttxttytttxssssssXe)(ee1)(e)()1(11)1(12)(2222故故得得14例3 质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端, 外力为f(t), 物体自平衡位置x=0处开始运动, 求运动规律x(t) 根据牛顿定律有 mx=f(t)

6、-kx 其中kx由虎克定律所得. 初始条件为 x(0)=x(0)=0mxxx=0kxf(t)15物体运动的微分方程为mx+kx=f(t)且 x(0)=x(0)=0.对方程两边取拉氏变换, 设L x(t)=X(s),L f(t)=F(s), 并考虑到初始条件, 则得ms2X(s)+kX(s)=F(s)(11)(1)(,20220220sFsmssFmsXmk 有有如如记记16如f(t)具体给出时, 可以直接从解的象函数X(s)的关系式中解出x(t)来.d)(sin)(1)(sin1)(,sin1)(11)(00000002021202 ttfmtftmtxtsLsFsmsX 由卷积定理得由卷积定

7、理得因为因为17当物体在t=0时受到冲击力为f(t)=Ad d(t), 其中A为常数. 此时, L f(t)=L Ad d (t)=A).(,.sin)(1)(00000202或或称称固固有有频频率率然然频频率率为为该该系系统统的的自自称称角角频频率率是是振振幅幅是是运运动动为为一一正正弦弦振振动动在在冲冲击击力力的的作作用用下下可可见见从从而而所所以以 mAtmAtxsmAsX 18如物体所受作用力为f(t)=A sin t时)sinsin()(sinsin)()(11111)()(L00202000202222022022220222ttmAttmAtxssmAsAsmsXsAtf 从而从

8、而19例4 如图所示电路, 求开关闭合后, 回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)tuCtitRiuteuuCRCRdd)(),()( 其其中中由由基基尔尔霍霍夫夫定定律律有有i(t)e(t)KRC20微分方程为)j)(1()(j)(,e,e)(1)()()()()()()(L),()(L)(ddjj sRCsasUsasEraaateRCssEsUsEsUsRCsUsEtesUtuteutuRCCtCCCCCCC则则为复数为复数设设设设21 tRCtbtttbtsstbsstCCRCRCababbabbabbsabsabtusbsabsURCb1jjjjeej11)e(ejjejeej

9、e)()j)()(,1 则则令令22 ttRCCmCCmjttRCCeUtuCRCrUeCRCrCRCrRCRCaRCRCatu j1)j(22)j(22j1eej)(,1111j1jj1ej11eej11)(则则令令其其中中23)cos(e)cos()(Im),sin(eeeeej)(1jjj1)j( tUUtutrrUtuCmtRCCmCtttRCCmC输输出出就就是是则则的的虚虚部部如如输输入入的的是是24例5 如图所示的RLC电路中串接直流电源E, 求回路中电流i(t)(ddd)(1,dd)(),(0titLuttiCutuCtitRiuEuuuLtCCRLRC 即即其其中中Ei(t)

10、KRCL根据基尔霍夫定根据基尔霍夫定律律, 有有25代入上式得如下微分方程0)0()0(,)(dd)(d)(10 iiEtitLtRittiCt)(111/)()()()(12122rsrsLELCsLRsLECRsLsELsRCssEsIsEsLsIsRIsICs 解解得得 设Li(t)=I(s), 对微分方程两边取拉氏变换,26tLELErrLErrrrLEtirrLCLRLCLRLRrLCLRLRrLCsLRsrrtttttrtrtrtr sinhe2eeeeeee)(,1,2142,14201,2112212122222212212121 则则记记的的根根是是方方程程27ttttLEt

11、isLEsIrrCLRtLEtitttitLEti e)(,)()(,/2sine)(,sinj)sinh(j.,j,),(,sinhe)(221为为重重根根当当这这时时由由是是实实数数可可令令为为虚虚数数时时而而当当直直接接按按上上式式计计算算为为实实数数时时当当28线性系统的传递函数29线性系统的激励和响应一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述. 例如例4中的RC串联电路, 电容器两端的电压uC(t)所满足的关系式为)(ddteutuRCCC 这是一个一阶常系数线性微分方程. 通常将外加电动势e(t)看成是这个系统的输入函数, 称为激励, 而将uC看成是这个系统的输出函数, 称为响

12、应.30这样的RC电路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统, 如下图所示. 虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量的连接方式. 这样一个线性系统, 在电路理论中又称为线性网络(简称网络). 一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定.RCe(t)uC(t)31对于不同的线性系统, 即使在同一激励下, 其响应是不同的. 在分析线性系统时, 我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况, 而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系, 可绘出如下图所示的框图, 为了描述这种联系需要引进传递函数的概念.系统特性激励响应32传递函数的概念假设有一个线性系统, 在一般情况下, 它的激励x(t)

13、与响应y(t)可用下列微分方程表示:any(n)+an1y(n1)+.+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+.+b1x+b0 x(2.22)其中a0,a1,.,an, b0,b1,.,bm均为常数, m,n为正整数, nm.设L y(t)=Y(s), L x(t)=X(s), 则L aky(k)=akskY(s)aksk1y(0)+.+y(k1)(0)(k=0,1,.,n)L bkx(k)=bkskX(s)bksk1x(0)+.+x(k1)(0)(k=0,1,.,m)33对(2.22)式两边取拉氏变换并通过整理, 可得D(s)Y(s)Mhy(s)=M(s)X(s)Mhx(s)23.

14、2()()()()()()()(sDsMsMsXsDsMsYhxhy即 其中 D(s)=ansn+an1sn1+.+a1s+a0M(s)=bmsm+bm1sm1+.+b1s+b0 Mhy(s)=any(0)sn1+any(0)+an1y(0)sn2+.+any(n1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0) Mhx(s)=bmx(0)sm1+bmx(0)+bm1x(0)sm2+ .+bmx(m1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).34称G(s)为系统的传递函数. 如Gh(s)=0, 则)25. 2()()24. 2()()()()()23. 2()()()()(,)()()(0111011

15、1asasasabsbsbsbsGsGsXsGsYsDsMsMsGsDsMsGnnnnmmmmhhxhyh式中式可写成则若令)26.2()()()()()()(sXsYsGsXsGsY或35在零初始条件下, 系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比. 当我们知道了系统的传递函数以后, 就可以由系统的激励求出其响应的拉氏变换, 再求逆变换可得其响应y(t).传递函数G(s)x(t)y(t)X(s)Y(s)传递函数不表明系统的物理性质, 许多性质不同的物理系统, 可以有相同的传递函数.36脉冲响应函数假设某个线性系统的传递函数为)()()(sXsYsGttxgtxtgty0d)()

16、()()()( 或Y(s)=G(s)X(s) 假设g(t)=L 1G(s) 则由卷积定理可得即系统的响应等于其激励与g(t)=L 1G(s)的卷积.37一个线性系统除用传递函数来表征外, 也可以用传递函数的逆变换g(t)=L 1G(s)来表征.称g(t)为系统的脉冲响应函数. 它的物理意义可以这样解释, 当激励是一个单位脉冲函数, 即x(t)=d(t)时, 则在零初始条件下, 有L x(t)=L d(t)=X(s)=1所以 Y(s)=G(s) 即y(t)=g(t)G(s)d(t)g(t)38频率响应在系统的传递函数中, 令s=j, 则得01110111)(j)(j)(j)(j)(j)(j)()()(aaaabbbbjXjYjGnnnnmmmm 称它为系统的频率特性函数, 简称为频率响应, 可以证明, 当激励是角频率为的虚指数函数(也称为复正弦函数)x(t)=ejt时, 系统的稳态响应是y(t)=G(j)ejt. 因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数.39如图所示电路,