洛朗级数展开习题精讲

1、3.5 洛朗洛朗( (Laurent) )级数展开级数展开已知：已知：当当f( (z z) )在圆在圆| |z z- -z z0| |R内解析时，内解析时，Taylor定理告诉我们，定理告诉我们， f( (z z) )可展开成幂级数。可展开成幂级数。问题的提出问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点孤立奇点z z0邻域上的展开式。邻域上的展开式。考虑：考虑：当当f( (z z) )在圆在圆| |z z- -z z0| |R内有奇点时，能否内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。教学

2、目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.难点：解析函数的洛朗展式的证明.一、双边幂级数一、双边幂级数( (含有正、负幂项含有正、负幂项) )00)(kkkzza.)(.)()( )()(.)(.)(020201010120200kkkkkkkzzazzazzaazzazzazzazza其中其中正幂部分称为正幂部分称为 解解析析( (正则正则) )部分部分，负幂部分称为负幂部分称为 主主要要( (无限无限) )部分部分。10)(kkkzza收敛区域收敛区域( (

3、环环) )的确定：的确定：正则部分正则部分 收敛收敛( (圆圆) )区域为：区域为：负幂部分负幂部分 令令 则则设设 即负幂部分在即负幂部分在| |z z- -z z0| |=R2的圆外收敛。的圆外收敛。00)(kkkzza )(10kkkzza)0( |110RRzz01zz .33221aaa21|RR 0|220RRzz，由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。的敛散性来定义原级数的敛散性。规定：规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级

4、时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和数与负幂项级数的和。讨论：讨论：( (1) )若若R1R2，则双边幂级数就在，则双边幂级数就在R2| |z z- -z z0| |R1环环状区域内收敛，环状收敛域称为状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。发散，在环上敛散性不定。正则部分正则部分 主要部分主要部分00)(kkkzza10)(kkkzza01zz 收敛环收敛环R2|z z- -z z0|R1双边幂级数的性质双边幂级数的性质定理定理1：双边幂级数双边幂级数 在收

5、敛环上的和函数是一在收敛环上的和函数是一解析函解析函数数，并且在任意较小的闭圆环上，并且在任意较小的闭圆环上 一致收敛。一致收敛。kkkzza)(011022|RRzzRR定理定理2：设双边幂级数设双边幂级数 的收敛环的收敛环B为为R2| |z z- -z z0| |R1，则，则f( (z z) )( (1) ) 在在B内连续；内连续；( (2) ) 在在B内解析，且逐项可导；内解析，且逐项可导；( (3) ) 在在B内可逐项积分。内可逐项积分。kkkzzazf)()(0定理定理3：设函数：设函数f( (z z) )在环状区域在环状区域R2| |z z- -z z0| |R1的内的内 部单值解

6、析，则对于环内任一点部单值解析，则对于环内任一点z z，f( (z z) ) 必可展开成必可展开成 ，其中，其中kkkzzazf)()(0Ckkdzfia10)()(21称为洛朗系数，称为洛朗系数，C为环域为环域内按逆时针方向绕内圆内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线一周的任一闭合曲线( (也也可取圆周可取圆周) )几点说明：几点说明：( (1) ) z z=z z0( (即展开中心即展开中心) )可能不是可能不是f( (z z) )的奇点，但的奇点，但 在在| |z z- -z z0| |R2上，存在奇点上，存在奇点( (即内圆以内存在即内圆以内存在 奇点奇点) )；( (2) ) 洛朗系

7、数洛朗系数 ，因为因为 成立的条件是成立的条件是f( (z z) )在在C内解析；内解析；( (3) ) 洛朗展开的唯一性；洛朗展开的唯一性；!)(0)(kzfakkCkkdzfikzf100)()()(2!)( (4) ) 如果只有环心如果只有环心z z0是是f( (z z) )的奇点，则内圆半径可的奇点，则内圆半径可以任意小，同时以任意小，同时z z可以无限地接近可以无限地接近z z0点，这时就称点，这时就称 为为f( (z z) )在它的在它的孤立奇点孤立奇点z z0的邻域内的洛的邻域内的洛朗展开式。朗展开式。若若f( (z z) )在在z z0不解析不解析( (不可微或无意义不可微或无

8、意义) )，而在去心邻域而在去心邻域0| |z z- -z z0| |内解析，则称内解析，则称z z=z z0是是f( (z z) )的的孤立奇点孤立奇点。若在。若在z z0无论多么小的邻域内，总有除无论多么小的邻域内，总有除z z0外的奇点，则称外的奇点，则称z z0为为f( (z z) )的的非孤立奇点非孤立奇点。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域域R2|z z- -z z0|R1内的洛朗级数也具有。内的洛朗级数也具有。在收敛圆环域内的洛朗级数可以在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导逐项求导、逐项积逐项积分分、和函数是解析函数和函数是

9、解析函数。kkkzza)(0求洛朗展开式的系数求洛朗展开式的系数Cn洛朗展开式的系数洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的，用公式计算是很麻烦的， 由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利样往往更便利( (即即间接展开法间接展开法) ) 。同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。在相同的收

10、敛圆环域内的洛朗级数一定相同。例例1 1 求函数求函数 在圆环在圆环 的洛的洛朗级数。朗级数。 2221211212121/21f zzzzzz220012( 1)22nnnnnzz 2225(2)(1)zzf zzz解解1 | 2z2z11|2|1, 12zz在圆环内于是有洛朗级数注意注意20112( 1)22nnnnnzz 用到已有的展开：01(01)1nnzzz在泰勒展开作业题的错误集中在后半边的展开，特别是作业题的错误集中在后半边的展开，特别是原因应该是没有熟练掌握已有的展开原因应该是没有熟练掌握已有的展开例例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数 并指出收敛范围 zzez及1,11我

11、们知道我们知道 在原点邻域上的展开式为在原点邻域上的展开式为ze)|.(|! 31! 21! 111!1320zzzzzkekkz把把z全换成全换成1/z,可得到以下结果可得到以下结果:1230111 11 11 111.(|)!1!2!3!kzkekzzzzz 用用1-z去换上式中的去换上式中的z得到：得到：112031111111! 11!12!(1)111.(|)3!(1)1kzkekzzzzz 即即11011(0 |1|)!(1)zkkezkz (0 |z1z1)z 既是的去心领域，又是以为中心点 的去心领域）时当（ z110z1可得令则则2(1.111.)2zeee 用到的已知的展开

12、：用到的已知的展开：01(01)1nnzzz在泰勒展开注意注意23011111.!1!2!3!zkkezzzzk 我们知道我们知道 在原点邻域上的展开式为在原点邻域上的展开式为ze232(1.)22234543235*23!4!5!223!5!eeee （1-）*（1-）*（1-）*（1-）*（1-）所以所以注：以上每项分别是注：以上每项分别是232,eee等的展开，继续计算展开相乘得结果等的展开，继续计算展开相乘得结果2323126111126zzz )z0z1 (的去心领域为中心是以 z 内展成洛朗级数。在把例 zezzfz013 3zzf 32312111z!z!z z!zzz4131223 解解,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得而不能像泰勒级数通过求导得到到,但是根据洛朗级数的唯一性但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如可以利用已知函数如 ) 1(1,1ln,cos,sin,mzzzzemz等的泰勒展开式和幂级数等的泰勒展开式和幂级数的运算的运算,特别是代数运算特别是代数运算,变量代换变量代换,求导和积分等方法求一些求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数初等函数在指