同余定理答案版

1、同余定理第4讲若余数为，余数为，则的余数等于的余数；的余数等于的余数（）或的余数（）。的余数等于的余数。特别的，当时，是的倍数。若两个整数、被同一个非零自然数除，余数相同，那么称、对于同余，用式子表示为.同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。编写说明知识要点 【例1】 有三个自然数，其中除以的余数是，除以的余数是，恰好是的倍数，求的值。【分析】 根据同余定理，除以的余数是，而恰好是的倍数，所以。【拓展】 已知：，其中、均为正整数，且除以的余数是，则除以的余数是多少?【分析】

2、是的倍数，所以和除以的余数相同，除以的余数是。【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。【例2】 的乘积除以的余数是多少？【分析】 ，除以的余数分别为，除以的余数是，所以除以的余数是。【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。【拓展】 的末两位是多少？【分析】 要求末两位，可以转化为求其除以的余数是多少，除以余数是，除以余数是，除以余数为，除以余数是，除以的余数是，依此类推，余数是以，循环的，所以所有余数的和是，除以的余数是，所以和的末两位是。【例3】 求：除以的余数。【分析】 的余数是， ，除以的余数是，所以，所以，除以的余数是，所以除

3、以的余数是.【拓展】 求：除以的余数。【分析】 的余数是，所以，所以，除以的余数是。【例4】 (第七届中环杯六年级初赛第十三题)下面第一行已经填好十个数,请在他们的下面一行也分别填上,使得每一竖列的两个数相乘的积除以所得的余数都是.【分析】 我们知道,除以的余数是,所以除以余的数可以是等等,对照此题,下面的框肯定填,同时确定下面的框,根据乘积可能取的值,我们填出该表格如下:【例5】 一个大于的数去除，时，得余数为，则这个自然数是多少？【分析】 后两个余数比前一个余数分别多和，所以此数若去除，时余数相同，所以这个自然数是.【拓展】 （第六届小机灵杯五年级初赛）由多于人而少于人的学生围成一个圆圈，

4、从某人开始报数. 如果报“”和“”的是同一个人时，那么围成的这个圆圈一共有多少人？【分析】 由题可知，所有的报数，是以所有学生的个数为周期的一列数.那么与之间相差的是周期的倍数.（人），在中能整除的只有和，所以围成的这个圆圈一共有或人.【例6】 号码分别为，的个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？【分析】 ，除以的余数依次为，则好球员与另三人分别进行了，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，盘比赛，共盘；号运动员与另三人分别进行了，盘比赛，共盘，所以打球盘数最多的运动员打了盘。

5、【拓展】 有一个自然数，用它分别去除、都有余数，个余数的和是，求这个数最大是多少？【分析】 根据同余定理，是该数的倍数，若该数是，则余数分别为，符合条件，所以此数最大是.【练习1】 求除以的余数。【分析】 ，所以除以的余数是.【练习2】 一个数去除，这四个数，余数都相同，该数最大可能是多少？【分析】 ，所以该数最大可能是.【练习3】 ，均为非零自然数，已知：是的倍数，除以的余数是，则除以的余数是多少？【分析】 ，所以除以的余数是【练习4】 有一列数:,其中第一个数是,第二个数是,从第三个起,每个数恰好是前面两个数之和的倍再加上,那么这列数中的第个数除以,得到的余数是多少？【分析】 题目必然是一

6、个周期问题,不过我们不能直接求第个数是多少,而是在这列数字除以的余数所组成的数列的中寻找规律.根据余数的性质写出这列数除以以后的余数数列为是以为周期的,因为,所以这列数的第个数除以的余数是.【练习5】 甲、乙、丙、丁个旅行团分别有游客人、人、人、人。现在要把这个旅行团分别进行分组，使每组有人，以便乘车前往参观游览.已知甲乙丙三个旅行团分成每组人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组人的若干组后还剩几人？【分析】 甲乙丙三个旅行团分成每组人的若干组后，所剩的人数都相同，即、除以的余数相同，根据同余定理，这三个数两两做差，所得的差是的倍数。，所以或或.【练习6】 小朋友们围成一圈，按顺时

7、针方向连续报数.如果报和报的是同一个人，那么参加报数的小朋友至多有（ ）人.【分析】 报数的周期就是全班的人数，所以至多有（人）.角度和广度一位老员外，特别喜欢牡丹花，庭内外都种满了牡丹。老员外采了几朵牡丹花，送给一位老翁，老翁很开心地插在花瓶里。 隔天，邻居激动地和老翁说：“你的牡丹花，每一朵都缺了几片花瓣，这不是富贵不全吗？” 老翁总觉得不妥，就把牡丹花全部还给老员外。 老翁一五一十地告诉老员外，关于富贵不全的事情。 老员外忍不住笑地说：“牡丹花缺了几片花瓣，这不就是富贵无边吗？” 老翁听了颇有同感，选了更多地牡丹花，开心地走了。有智慧的人，不会和不同角度的人争吵。每个人站的角度不同，说话

8、的方式自然就有所差异，不管意见和你是否接近，每个角度的意见都值得去采纳！      丹麦馆Bjarke Ingels，这位年仅32岁的建筑师初出茅庐，之前还未曾有过惊世骇俗的作品，此次的出手竟酝酿了如此奇妙的念头：给“小美人鱼”在中国上海安个新家。而她的新家就在上海世博会的欧洲国家馆展区，它有一个好听的英文名字“Welfairytales”，即“Welfare”(幸福生活)和“fairy tales”(童话故事)的组合。 “幸福生活，童话乐园”正如它的名字所示，这座新颖美丽的丹麦馆将会带来有关健康、幸福这一主题的新的童话故事。 上期答

9、案：王子可以在装着金币的盆里留下1枚金币，而把其他9枚金币都倒入装着银币的盆里，那么这个盆里就会有10枚银币和9枚金币。如果王子选中的是放有1枚金币的盆，那么选中金币的几率就是100%；如果王子选中的是另一个盆，选中金币的最大几率是919。而王子选中两个盆的几率都是12。那么，根据前面两项的几率，得到王子选中金币的总几率是100%×12919×121419.而在调换之前，王子选中金币的几率是12，1419的几率要远远大于12 。 蜡烛燃烧的时间这天晚上，哥哥和弟弟正在房间里做作业，突然电灯熄灭，原来是保险丝烧断了。弟弟点燃了两支备用的蜡烛，在烛光下继续做作业，直到哥哥换好保

10、险丝。第二天，哥哥想要知道昨晚停电的时间有多长。当时谁都没有注意什么时间开始断电的，也没有注意什么时候来的电，也不清楚蜡烛原来的长度。弟弟只记得两支蜡烛长短一样，但粗细不同，其中粗的一支全部烧完要用5个小时，细的一支全部烧完要用4个小时。两支蜡烛都是新的、没有用过的蜡烛，都是弟弟点燃的。但是，弟弟没有找到蜡烛剩余的部分，因为妈妈把他们扔了。妈妈只记得： “两支蜡烛剩余的部分不一样长。一支蜡烛的长度等于另一支蜡烛的4倍。”无法知道更多的情况了。那么，你能根据上述的推算，算出蜡烛燃烧了多长时间吗？ 斐波拉契数列的出现13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做算盘书的著作，是当时欧洲最好

11、的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子?” 斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：l，l，2，3，5，8这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。 于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。这个数列有许多奇特的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接