人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》压轴题综合培优训练(包含答案)

1、人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）3 / 38二次函数压轴题综合培优训练1.如图1,在平面直角坐标系中，抛物 线y=Y刍,？上工入正与x轴交于A、B两点（点 44A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）判断 ABC勺形状；（2）过点C的直线y=-K-班交x轴于点H,若点P是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点 P作PQ y轴交直线CH于点Q,彳PN/ x轴交对称轴于点 N,以PQ PN为邻边作矩形 PQMN当矩形PQMNJ周长最大时，在 y轴上有一动点 K, x 轴上有一动点T, 一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿 R-K

2、-T的 路径运动到点T,再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到 B点处停止运动，求动点 G 运动的最少时间及此时点 T的坐标；（3）如图2,将 ABC绕点B顺时针旋转至 A BC的位置，点A、C的对应点分别为 A、C',且点C'恰好落在抛物线的对称轴上，连接 AC .点E是y轴上的一个动点，连接AE C E,将 AC E沿直线C E翻折为 A C E,是否存在点 A',使得 BAA为等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1） 4ABB以AC为底的等腰三角形.理由如下：由题意知抛物线丫 =芷 q 与x轴交于A B两点（点A在点B的左侧），与y4

3、夕-W轴交于点C,令 x=0,解得 y= 令 x= 0,解得：x1 = 75, x2= 4J3;A （71, 0）, B（4后 0）,匕9, -36）；AC= aM+mC= GJ7）2+W5）2=30, BC= OB+OC=（奶产+C）2=75A=（OA+OB 2=（W3+Vs）2 = 75.AB= BC .ABB以Ag底的等腰三角形.5 L(2)如图1中，过点C的直线y方K-3北交x轴于点H,圜1令y = 0,解得x=1S/3,丁5设 P - rr- 3、乃）,则 Q （mi -n- - 373）,4 2 厄 r L5y争一班一丁&41V.抛物线对称轴为：直线 x=上芋，. cp_N

4、 下） （久 23 Q 区、 扇L NP-rrr''用QP=3/3）NP='1'矩形 PQMN的周长 C 矩形 pqmin= 2 （ QF+NP） =2（+詈仄z-）=422飞r_+：2 (m-sVs)2-< 0,开口 向下，P （373, - 3/3）,当mi= 3、R时，C矩形pqm最小，此时, R为线段CP的中点,.R （上*- 3/3）,作点R关于y轴对称点R （- Jbpl, - 3/3）,此时R与N重 合，由题意知：动点 G运动的最少时间t = RKK*TB,在y轴正半轴上取点 S （0, 4）,连接直线BS则直线BS解析式为y=-*x+4,

5、过点RYR' JXBST J,交y轴于K,交x轴于T,则R J即为所求，."SB氏评调=学./ SBO= 30° , .TJ=：-TB即 t=R K+KT+TJ,RR =3行，/ RR J=Z BTJ=60 , . KRR 为等边三角形，/ RKR = / KRR =60° ./ KRIW / KHR= 30°R' J=2RR = 6 ：;即动点G运动的最少时间t = 6-./3 （秒）；. JMP JRRR' R JR'入 .TM= 3/3- 3 ，T 半 0)；(3)当 AA' =A'V A * Ck

6、一 ； *图二f3 9B时，如图2中,；. _JL 日人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）此时，A'在对称轴上对称性可知/ AC E= /A' C E又/ HEC = /A' C E ./ AC E= / HEC .HE= HC = 5 ：;. OP HE- HO=-；当AA =AB时，如图3中，设A C'交y轴于J.此时 AA =AB=BC =A'' C，四边形A' ABC为菱形由对称性可知/ACE= /A' C E= 30°JE=厂二二. OE= OJ- JE= 6 E (0, 6

7、)当AA =A' B时，如图4中，设AC交y轴于M5 / 38人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）9 / 38图4此时，A 在对称轴上/ MCE= 75又/ AM今 / EMC = 30 ./ MEC = 75 .ME= MC，MC=OE=，E43+近）当A' B= AB时，如图5中，图二此时 AC=A' C =A' B= AB四边形AC A'' B为菱形由对称性可知，C' , E, B共线OE=730B=12,E （0, 12）.综上所述，满足条件的点 E坐标为（0, 3-J3）或（0, 6）或（0,

8、 3+J5）或（0, 12）.2.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+5与x轴交于 A (- 1, 0), B (5, 0)两点(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C, B不重合)，过点D作DF，x轴于点F,交直线BC于点E,连接BQ直线BC能否把 BDF成面积之比为 2： 3的两部分？ 若能，请求出点 D的坐标；若不能，请说明理由.(3)若M为抛物线对称轴上一动点， 使得 MB直角三角形，请直接写出点 M的坐标.解：(1)将 A ( 1, 0) , B (5,0)代入 y = ax2+bx+5,得：解得(西升 5b+5

9、 二。1 ，则抛物线解析式为 y = - x2+4x+5;(2)能.(0, 5), B (5, 0)代入得设直线BC的解析式为y = kx+b,5k+b=01?=-1把C解得L，所以直线BC的解析式为y=- x+5,设 D (x, x2+4x+5),贝U E (x, x+5), F (x, 0), (0<x< 5), DEE= - x2+4x+5 - (- x+5) =- x2+5x, EF= -x+5,2当 DE EF= 2: 3 时,S>A BDE S>ABEF 2： 3,即(一x+5x): (x+5) =2: 3,整理得 3x2- 17x+10 = 0,2 65、

10、2解得x1 = , x2=5 (舍去)，此时D点坐标为(当 DE EF= 3: 2 时,S>A BDE S>ABEF 3 ： 2,即（x2+5x）: （ x+5） =3: 2,整理得 2x2- 13x+15 = 0,q一 q 屎解得xi = , x2= 5 （舍去），此时D点坐标为（,）;224综上所述，当点 D的坐标为（一，一二）或（二，三）时，直线BC把4BDF分成面积之9 z 4比为2: 3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线 x=2,如图,设 M(2, t),-B (5, 0), C (0, 5),BC= 52+52= 50, MC= 22+ (t5) 2=t210t+29

11、, MB = (25) 2+t 2= 12+9,当 bC+mC= mB 时， BC曲直角三角形，/ BC附 90° ,即 50+t2- 10t+29=t2+9,解得 t = 7,此时M点的坐标为(2, 7);当 BC+MB=吊6时， BCM直角三角形，/ CBIW 90° ,即 50+t2+9 = t2- 10t+29,解得 t = - 3,此时M点的坐标为(2, - 3);当 mC+mB= bC时， BCM直角三角形，/ CM降 90° ,即 t2 - 10t +29+t2+9= 50,解得ti=6, t2= 1,此时M点的坐标为(2, 6)或(2, 1),综上

12、所述，满足条件的M我的坐标为(2, 7), (2, -3), (2, 6), (2, -1).3.B (4,如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c (a<0)经过点A(T, 0)、(1)求抛物线的解析式；(2)点M在第一象限的抛物线上，ME¥彳t y轴交直线BC于点E,连接AC CE当ME取值最大值时，求 ACE勺面积.(3)在y轴负半轴上取点 D (0, - 1),连接BQ在抛物线上是否存在点 N,使/ /ACO / OBD若存在，t#求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.BANh解：(1) B (4, 0),. tan / ABC=0COBOC丁'

13、;OB- 4,. OC= 2,C (0, 2),设 y = a(x 1) (x4),把C (0, 2)代入求得a= -/，抛物线的解析式为(x 1) (x 4)=-x+2;(2)设直线BC的解析式为y=kx+2,把B (4, 0)代入求得k=-y,直线BC解析式为y=-x+2,ri_i设 M (rq -3+mr2),人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）ME= -i 当m 2时，M或得最大值2, E (2, 1),S»AACE= S»A ABC- S ABE=5X 5X (2-1)=-217 / 38(3)作C' (0, - 2)与

14、C关于x轴对称，连接 BC ,过点D作DELBC于点E,Ca口 A,方.OA OCCOE AO© COB/ ABC= / ACO . / ABC = / ACO即/ BAN= / ACO / OBD= / DBC ,由题意得 DC =1、DB=V17, BC =21,DC' -OB BC'*DE.DE= :21. tan / DBC = tan / BAN=_, y设 N (n,、2+二-n+2)，且 n>0,.tan / BAN=当 2n+2 = 9X （一n+12 .n +- -n+2）时,z32当 2n+2= -9X（-n+2）时，n）.,n2= - 1

15、（舍去）；.N点的坐标为（32 828140g98814.抛物线y=x2+ （m+2） x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线 y=x+2与抛物线交于 A,点（点A在点B的左侧）.（1）求抛物线的函数表达式;（2）点P是抛物线上一点，若S>A PA 2Saabg求点P的坐标;（3）将直线AB上下平移，平移后的直线 y= x+t与抛物线交于 A, B两点（A在左侧），当以点A, B和（2）中第二象限的点 P为顶点的三角形是直角三角形时，求的值.备用图解：（1） ,抛物线y = x2+ （ m+2） x+4的顶点C在x轴正半轴上,解得mi= - 6.，抛物线的函数表达式是y=x2-4x+4;（2

16、）如图1,过点C作CE/ AB交y轴于点E,设直线 AB交y轴于点H.由直线 AB： y=x+2,得点 H (0, 2).设直线CE y=x+b.,y = x2-4x+4= (x-2) 2,C (2, 0).-2+b=0,贝U b= - 2.HEE= 4、由 SapaB= 2Saabg可在y轴上且点H上方取一点F,使 FH= 2HE 贝U F (0, 10).过点F作FP/ AB交抛物线于点Pi、P2.此时满足 Sa paB= 2Sa abg设直线Pi、B的函数解析式为:y= x+k. F (0, 10)在直线& P2上, .k=10.直线Pi、B的函数解析式为:y= x+10.联立解

17、得综上，满足条件的点 P的坐标是Pi (T, 9), P2 (6, 16);(3)设 A' (xi, yj, B' (X2, y2),显然，/ PA' B'丰90(i)如图 2,当/A' B P= 90° 时，过点 B'作直线 MN y 轴，A ML MNT M PN1MNP N鹭直线A' B'的解析式是y = x+t, ./ B AM= 45 .进一步可得到 A B M APB N都是等腰直角三角形. PN= NB ,，x2+1 = 9 y2,即 x2+y2 = 8 又 y2= x2+t,将点（4 - ；t ,4+1t

18、）代入二次函数解析式，得解得ti=0, t2=10 （此时点A与点P重合，舍去）；如图3,当/ A PB =90°时，过点 P作EF/ y轴，A E±EF于E, B FL EF于F. XiX2+(X1+X2) +1=9 (yi+y2) 丫仇-81.令 x2- 4x+4=x+t,贝U x2- 5x+4 - t = 0.则 Xi+X2=5, x1x2=4 t.yi+y2= (x+t) + (X2+t) = x+X2+2t =5+2t .y1y2= (x1+t) (X2+t) = X1X2+t(X1+X2) +t2=t2+4t+4.(4-t) +5+1=9 (5+2t) - (t

19、2+4t+4) -81.整理，得 t2- 15t - 50=0.解得 t=20, t2= - 5 (舍去).综上所述，t的值是0或20.5.在平面直角坐标系中，矩形OABC勺顶点B的坐标为(2, 4),抛物线y=-2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点 D.(1)如图1,求抛物线的函数表达式；(2)如图2,连接AC AD将 ABC& AC折叠后与AD y轴分别交于点交于 E、G求OG勺长度；(3)如图3,将抛物线在 AC上方的图象沿 AC折叠后与y轴交与点F,求点F的坐标.解：(1)如图1,四边形OAB磔矩形，B (2,4),A (0, 4), C(2, 0),:抛物线

20、y=- 2x2+bx+c经过A C两点,Il E'，抛物线的函数表达式为： y= - 2x2+2x+4;人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练(包含答案) / BCA= / B' CA. AO/ BC ./ BCA= / B' CA / BCA= / OACZ B' CA= / OAC. AG= CG设 OG= x,则 AG= CG= 4-x.在 Rt OGO, 22+x2= (4-x) 2,得.0Go(3)如图3,在AC上方的抛物线图象取点 F的对称点F',过点F'直线AC于点G.作y轴的平行线交由题意得：/ FAC= /

21、 F' AG F' A= FAAO/ F' G,/ FAC= / AGF . / FAC= / F' AC / FAC= / AGF . ./ F' AC= Z AGF ,.F' A= F' G.易得直线AC的解析式为：y= - 2x+4.设点 F (n, - 2n2+2n+4),则 G (n, - 2n+4).-F，G= - 2n2+4n, F A2 = n2+ (-，2n2+2n) 2. F，A= F' G.23 / 38，F' A2=F' G2.即：n2+ (-2n2+4n)2= (- 2n2+2n) 2,解

22、得：m=0(舍去)11因嚼 .F' A= F' G= FA= F (0,73326.如图，已知抛物线 y = x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左),与y轴交于点C(0, -3),对称轴是直线 x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CET点F,交抛物线于 P、Q两点，且点P在第三象限.P的坐标.当线段杷时，求tan / CED勺值；当以C 口 E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点.抛物线与y轴交于点C(0, -3), . c= - 3,，抛物线的函数表达

23、式为y=x2-2x - 3;(2)二.抛物线与x轴交于A、B两点,当 y = 0 时，x2- 2x3=0.A点在B点左侧,A (T, 0), B (3, 0)kx+rq设过点B (3, 0)、C (0, -3)的直线的函数表达式为y3k+ro=0 ith-3，尸I. irP-3，直线BC的函数表达式为 y = x-3;(3). AB= 4, PQ=.PQ= 3.PQLy 轴，PQ/ x 轴，则由抛物线的对称性可得 P阵惊,对称轴是直线x=1,.P至|J y轴的距离是，点P的横坐标为-.下如直平分CE于点F,5CE= 2FC=r点D在直线BC上,当 x=1 时，y= 2,则 D (1, - 2)

24、,过点D作DGL CE于点G,DO 1, CG= 1,GEE= CE- CG=- - 1 =.22在 RtAEGD, tan/CE9瞿=菖.EG 3 Pl (1 - 2), P2 (1 -, - ：)设 OE= a,则 GE= 2 - a,当 CE为斜边时，则 dG= CGGE 即 1= ( OC- OG?(2- a),1 = 1 x ( 2 - a), a= 1,CE= 2,，OE OE-EF= 2 F、P的纵坐标为-2,把y= - 2,代入抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3得：x=1+历或1-6 点P在第三象限. P1 (1 -近，-2),当CD为斜边时，DEI CE. OE= 2,

25、 CE= 1, .OF= 2.5 , .P和F的纵坐标为：-y,把丫=-二，代入抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3得：x=1-Zg,或1 点P在第三象限.P(1一限一即综上所述：满足条件为 Pi (1-72，-2), P2(1亨，7.如图，抛物线 y = ax2+bx+c与x轴交于点A(- 1, 0),点B (3, 0),与y轴交于点C, 且过点D (2, -3) .点R Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线ODT方时，求 PO面积的最大值.(3)直线OQM线段BC相交于点E,当 OBETABCK似时，求点 Q的坐标.解：(1)函数的表达式为

26、：y= a (x+1) (x-3),将点D坐标代入上式并解得：a= 1,故抛物线的表达式为： y = x2-2x- 3；(2)设直线PD与y轴交于点G,设点P (mi m2 - 2mi- 3),将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y= sx+t并解得:亍x OG(xd-xp)(3+2m)直线PD的表达式为：y=mx- 3-2簿 则OG= 3+23& poD=人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练(包含答案) - 1 < 0,故S/xpo-T最大值，当 m=±时，其最大值为；|416(3) . OB= O住 3, .Z OCB= / OB仔45

27、76; ,一/ABO / OBE故 OBEW ABCf似时，分为两种情况:当/ ACB= / BOQ寸,AB= 4, BC= 3-/2, AC=VlQ,过点A作AHL BC于点H,则 sin / ACB=AH= 2 一：kAHAC,则 tan / ACB= 2,29 / 38则直线OQ勺表达式为：y= - 2x,联立并解得：x =士6,故点Q（a/3, 2行），Q （-质,2咫 / BAG= / BOQ寸,=3= tan / BOQ, 0C 3tan / BAC=3-、- 0A 1则点 Q (n, 3n),则直线OQ勺表达式为：y= - 3x,联立并解得：x =故点q（¥，户”。十部

28、3+W13综上，当 OBEfABCt目似时，Q （匹,-2后）,Q（-行，第）,Q （二Q/ 5 Q4 X c 5 口 / ,8.如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，/ ABC= 90° ,以A为顶点的抛物线y= - x2+bx+c经过点C (3, 0),交y轴于点E (0, 3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式；(2)若点P从A点出发，沿 Z B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点 B停止，设运 动时间为t秒，过点P作PD，AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点 Q连接AQ CQ当t为何值时， ACQ勺面积最大？最大值是多少？(3)若点M是

29、平面内的任意一点，在 x轴上方是否存在点 P,使得以点P, M E, C为顶 点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.故抛物线的表达式为：y= - x2+2x+3,则点 A (1, 4);(2)将点A C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y= - 2x+6,_,、n_ t+2, x 、汁-c t+2 t*、点 P (1, 4t),则点 D (- -, 4 t),设点 Q ( ;, 4,S.acqt-X DQ BC=- #+t,- 4< 0,故SAacqM最大值，当t = 2时，其最大值为1;(3)设点 P (1, m),点 M (x

30、, y),当EC是菱形一条边时,当点MB y轴右方时,点E向右平移3个单位、向下平移 3个单位得到C,则点P平移3个单位、向下平移 3个单位得到 M贝U 1+3= x, rrr 3= y,而 MP= EP得：1+( rrr 3) 2= ( x - 1) 2+ (y - mi 2,解得：y = m_ 3= : 17,故点M(4, J百)；当点MB y轴左方时，同理可得：点M( - 2, 3+、万4);当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，贝U x+1= 3, y+m= 3,而 PE= PC,即 1+ ( m- 3) 2=4+ (m- 2) 2,解得：m= 1,故 x = 2, y= 3

31、 - m= 3-1=2,故点 M (2, 2);综上，点 M (4,才诉)或(-2, 3+U1Z)或 M (2, 2).9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2 (aw0)与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线经过点 D ( - 2, - 3)和点E (3, 2),点P是 第一象限抛物线上的一个动点.(1)求直线DE和抛物线的表达式;(2)在y轴上取点F (0, 1),连接PF, PB,当四边形 OBP附面积是7时，求点P的坐 标；(3)在(2)的条件下，当点 P在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE±存在两点 M N (点 M在点N的上方)，

32、且MtN= 2/2,动点Q从点P出发，沿P- MR NR A的路线运动到终点 A, 当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点 N的坐标.解：(1)将点D E的坐标代入函数表达式得:-34-2卜+2,解得:故抛物线的表达式为：y = - -j-：-x2+-；=-x+2,上 2同理可得直线 DE的表达式为：y = x-1；(2)如图1,连接BF,过点P作PH y轴交BF于点H,将点FB代入一次函数表达式,同理可得直线 BF的表达式为：y=-gx+1,4设点 P (x, - -ttx2+-；-_x+2),则点 H (x, jx+1),S四边形obpf= Saobi+Sapfe3= T7 X 4X11

33、+ ：X PHX B0= 2+2 (等2+|x+2看 xT) =7,解得：x= 2或z3 2R故点P (2, 3)或(露等);2 o(3)当点P在抛物线对称轴白右侧时，点 P (2, 3),DE于点M此时,过点M作A M/ AN过作点A直线DE的对称点 A ,连接PA'交直线点Q运动的路径最短，和.MNk 2历，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点 A (1, 2),A A，DE则直线A A过点A',则其表达式为：y=-x+3， 联立得x=2,则A A中点坐标为(2, 1), 由中点坐标公式得：点 A (3, 0),同理可得：直线 A P的表达式为：y=-3x+9,联立并解得

34、:x周,即点M/菅),点M沿ED向下平移2b个单位得：N仔,10.如图1,抛物线y=p (x-mj) 2的顶点A在x轴正半轴上，交 y轴于B点,(1)求抛物线的解析式;S>A OAB= 1 .(2)如图2, P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过 P的直线l与抛物线有且只有一个公共点,l交抛物线对称轴于 C点，连PB交对称轴于 D点，若/ BA住/ PCD求证：AC= 2AQM N两点，当直角/ MANg(3)如图3,以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于A点旋转时，求证：MN台终经过一个定点，并求出该定点的坐标. 解：(1)由题意和y=t (x-mj) 2设A 0)人教版数学九年级

35、上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练(包含答案)当 x = 0 时，y 工(0 m 2=JL,即设 B (0, 见)444 .OA=簿 OB= 1q由 S»A OAB= 112- -=-?OA?OB= 1,即 ntf!_=234解得，m=2 A (2, 0), B (0, 1)把 y=； (x-2)2化为一般式为，y=x2-x+i.(2)由(1)得抛物线对称轴为直线 x=2.口 C两点在直线x=2上，则设C(2, n), D(2, n')如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC x轴于点E. / BA仔 / PCD / BOA= / EAC= 90°Rt

36、BOA" RtAEAC / BAO / ECA .tan / BAO-tan / ECA=,-AC='2.AC= 2AE又 / BAO / EAQ / BAO / ECA / ECA= / EAQ又一/ ECA/CEA= 90° / EAQ/ QEA= 90 .BQLPC设直线AB的解析式为y = kx+b,把A (2, 0), B (0, 1)代入得,产之 “解得.-了，直线AB的解析式为，y= - x+12由BQL PC设直线PC的解析式为y = 2x+b' .一又过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，令 2x+b' (x-2) 2整理得，x2

37、- 12x+4-4b' =0,且= 0即 144-4 (4- 4b' ) = 0解得，b' = - 8 直线PC的解析式为，y= 2x-8. 把点 C (2, n)代入 y = 2x8 中得，n=2X28解得，n=-4.，C点坐标为(2, 4),即AC= 4由 AC= 2AE得，AE= 2.把b' = - 8代入方程x2- 12x+4- 4b' = 0中得，x2- 12x+36= 0解得，x1 = x2= 6再把x= 6代入y=2x- 8中得，y=2X6-8解得，y=4 P (6, 4)设直线PB解析式为y= k' x+1把P (6, 4)代入上

38、式得，4=6k'+1解得，k' =y 直线PB的解析式为，y=x+1又 D (2, n')在直线PB上，将其代入y=T；x+1中得，n' =-x 2+1=2，D点坐标为(2, 2),即AD= 2，AD= AE. AC= 2ADD(3)如图3中，以A为原点建立新的坐标系,0则抛物线的解析式为 y'= ：x2,在新坐标系中设M(a,435 / 38.AM/L AN1_ 2ILa.1 2m<a= 16设直线MN的解析式为=kx+b,则有b M 1 2 ka4-b=-Ta1 2 mk+b=m(a-bni)ma= - 16,b= 4,直线MN的解析式为=方(

39、a+nj) x+4直线MNS过定点(0,4)(新坐标系中)在原来坐标系中，直线MNg过点(2, 4),直线MNS过定点(2, 4).11 .如图，抛物线 y= ax2+bx+3-J与x轴交于A (- 3, 0), B (9, 0)两点，与y轴交于点C,连接AC BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点 A向点C运动，同时，点 Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点 B向点O运动，当一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动，连接PQ过点Q作QDL x轴，与抛物线交于点 D,连接PD与BC交于点E.设点P的运动时间为t秒(t >0)(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出P, D两点的坐标

40、(用含t的代数式表示，结果需化简)在点P, Q运动的过程中，当 PQ= PD时，求t的值;(3)点M为线段BC上一点，在点P, Q运动的过程中，当点 E为PD中点时，是否存在pmU-bm的最小值；若不存在，请说明理点M使得PM/BM的值最小？若存在，请求出ax2+bx+3J3，得:9,解得：,X2+9a-3b+3V3=081a+9b+3V3=0抛物线的表达式为 y=-由题意得：/ ACO= Z OBC= 30° , Z ACB= 90° ,将点直线BC的表达式为：y=点P的坐标为(-3+5,-皆"+3日;V3t ),点Q (9 - 2t , 0),将点Q的坐标代入

41、式并整理得：点D9 -2t ,(6t -12);R C (0, 3>/3)的坐标代入一次函数表达式并解得:当PQ= PD时，则DQ中点的纵坐标=点 P的纵坐标,即：1 毕(6t-t2) =,解得：t =(6t-12),(3)点P的坐标为(-3+;尹，乂3t )、点D9 - 2t点E是PQ的中点，则点E3 -邑t , 叵 t +L (6t - t2), 4 4g将点E的坐标代入式并整理得：12- 6t+9=0,解得：t = 3,即点P (-，"呵)即点P是AC的中点，22作点P关于直线BC的对称点P',过点P'彳P' Hl±x轴、BC于点H M过

42、点P作PN，y轴于点N,则 MH=二-MB则此时，pJb阵PM+MH= P' H为最小值, 2MC= N. /ACB= 90 , PC= P' C, / P' CM= / NCP / P' MC= / PNC= 90 ,.P' M室 PNC(AAS,3973OM= -OC=P，H,故加勺最小值为B,与y轴交于点C.12 .抛物线y = x2+bx+c与x轴负半轴交于点 A,与x轴正半轴交于点(1)如图 1,若 OB= 2OA= 2OC求抛物线的解析式；若M是第一象限抛物线上一点，若 cos/MAG爷;，求M点坐标.(2)如图2,直线EF/ x轴与抛物线相

43、交于 E F两点，P为EF下方抛物线上一点，且 P(m -2) .若/ EP已90。，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由.人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）37 / 38解：(1): x= 0 时，y= x2+bx+c=c.C (0, c), O仔-c (c< 0). O4 O(C= - c, OB= 2O仔-2c A (c, 0), B ( 2c, 0):抛物线y=x2+bx+c经过点 A、Br 2人c +tc+c=04c2bc+c=C，抛物线的解析式为解得:12x过点M作MDL AC于点D,过点D作GH x轴，过点 A作AGLGHT点G

44、过点M作MH ，GHT点H,如图1 ./ ADIW / G= / H= 90°tn 、 T7RtAADMfr, cos / MAG 皿” 颜 17 .AM= TiADmd=Va -47aM-A!)2 = 4AD - c=一二.A (-O 1-2 1-2OA= OCZ OAC45.Z GAD= / GAO / OAC45.AD等腰直角三角形 / ADG 45人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数压轴题综合培优训练（包含答案）Z MDH 180° -/ADG Z ADIM= 45， MD的等腰直角三角形设 AG= DG= t ,则 AD= 6t.MD= 4AD= 4 1DH

45、= MH= 4tx产 xx+t +4t =一Ym= 4t t = 3t丁点MB抛物线上1'(一二+5t ) 2 ( +5t )22221解得：tl=0 (舍去)，t2=k一 1.21 8 、，_63一2 10 5' yM 50=3t，点M坐标为（(2) EF所在直线的纵坐标是定值，理由如下:过点P作PCL EF于点Q如图2 P (m - 2)在抛物线上ni+bn+c= 2,即 c+2= - n2- bm.EF/ x轴且在点 P上方xcc= xp= m,设 yE= yF= yc= n, n>2PC= n - ( - 2) = n+2x2+bx+c = n,整理得 x2+bx

46、+c- n = 0xE+xF= b, xE?xF= c _ n PQ号 / PCF= 90° . / EPF= 90° / EPQ/ FPQ= / FPC+Z PFQ= 90° .Z EPQ= / PFQEP(C0 PFQ,BQ _PQ.一 一PQ= EQ?FQ2. . ( n+2) = ( rrr Xe) (xf- irj)n2+4n+4=m?xF- m2-xE?xF+m?xEn2+4n+4 = m(Xe+Xf) - mi-Xe?Xfn2+4n+4 = - bm- m- (c-n)2n +4n+4= c+2 c+n解得：ni= - 1, n2= - 2 (舍去)

47、EF所在直线的纵坐标为-1,是定值.图113.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+2的图象经过点 A (4, 0), B(-4, -4),且与y轴交 于点C.(1)请求出二次函数的解析式；(2)若点M (m n)在抛物线的对称轴上，且 AM平分/ OAC求n的值.(3)若P是线段AB上的一个动点(不与 A、B重合)，过P作PQ/ AC与AB上方的抛物 线交于点Q与x轴交于点H,试问：是否存在这样的点 Q,使PH= 2QH若存在，请直 接出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.t16a-4b+2=-4解：（1）将点A B的坐标代入函数表达式得:故抛物线的表达式为：y =-工x2+Lx+2 ；42（

48、2）如图，过点 A作/ A的角平分线交y轴于点G,过点G作GNL AC于点N,二次函数对称轴交 AM x轴于点M H,设：OG= x=GN 则 AN= OA= 4,AC= 2 匹 OC= 2, CM= 2-x, CN= CA- AN= 2/-4,则由勾股定理得：(2-x) 2=x2+ (2y54) 2,解得：x = 4/-8,. GH/ OM则粤噜，即： =7， OM AO x 4；贝U n = GH= x=3-/-6;(3)存在，理由：如图：将点R A的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB的表达式为：y=7yx-2，同理直线AC的表达式为：y= - x+2,.PQ/ AC则设直线 PQ的表

49、达式为：y=x c (c>0),联立并解得：x=2±2jT* (舍去正值)，故点 Q (2 2y心+3, 1 c+/e+3)， PH= 2QHP、Q的纵坐标之比也为 2,即一7；c T = ± 2 (- 1 - c+J c+3)，解得：c=3或击，故点 Q( 一或(， j y0 2d14.如图，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A (0, 3), C (2, n)两点，直线 l： y=x+2 过 C点，且与y轴交于点B,抛物线一上有一动点E,过点E作直线EF，x轴于点F,交直线BC于点D(1)求抛物线的解析式.BE BF,是否存在点 E使(2)如图1,当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接直线BC将4BEF的面积分为2: 3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由;(3)如图2,若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接 AE当/ AE氏/ ABCM,直接写出此时点E的坐标.解：(1)