三角与向量训练题

1、三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.在ABC,已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,S为 ABC 的面积.若向量 p=(S,a+b+c), q=(a+b-c,1),满足 p / q,则tan C=()2A.-B.-C.2D.442【解析】 选 D.由 p / q 得 S=(a+b) 2-c2=2ab+a 2+b 2-c2,即1 1_C sinC2absinC=2ab+2abcosC,亦即 4sinC=1+cosC,tan -= 1+cosC =4.2 .已知向量 a=(1, v3), b=(cos 0 ,sin 8),若 a/ b,贝U tan 8 =()A?D.-【解析】选B.因

2、为a/b,所以 sin 8-v3cos 0=0,即 sin 0= v3cos。.故 tan 0= v3.3 .在AABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, m=(bcosC,-1), n=(c-3a)cosB,1),且 m/ n,贝U cosB 的值为 ()A.33d.-T【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可 解.【解析】 选 A.由 m /n,得 bcosC+(c-3a)cosB=0.所以a2+b 2-c 2= (3a-c)(a 2+c 2-b 2) 2a2ac贝U c(a2+b 2-c2)=3a(a 2+c 2-b 2)-c(a 2+c 2-b 2).一1

3、 a2+c2_b 2所以 2a2c=3a(a 2+c 2-b 2),则3= a 胃a2+c 2-b 21于是 cosB=2= 34.若向量 a=(cos % ,sin %2ac 3),b=(cos B ,sin B),则 a 与 b 一定满足A.a与b的夹角等于 - BB.abC.a/ bD.(a+b) (a- b)【解题提示】欲求a与b满足的关系，先利用平面向量数量积公式判断a与b是否有垂直或者平行的关系，再结合选项判断.【解析】 选 D.因为 a b =(cos %,sin %) (cos 3,sin 3)=cos( %-B),这表明 这两个向量的夹角的余弦值为 cos( %- B).同时

4、，也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b) (a-b)=0,所以(a+b)，(a-b).故选D.一 一5.已知P,M,N是单位圆上互不相同的三个点，且满足| PM|二| PN|,则一 一PM PN的最小值是()A.- 1B.-1C.-3D.-1424【解析】选B.根据题意，不妨设点P的坐标为(1,0)，点M的坐标为(cosdsin 0)点N的坐标为(cos 0,-sin 0),其中0 0再一 一则 PM=(cos 0-1,sin 0),PN=(cos 0-1,-sin 0),一 一所以 PMPN=(cos 0-1,sin 0) (cos 0-1,-sin 0)=(cos 0-1

5、) 2-sin 2 0=cos 2 0-2cos 0+1-sin 2 01、2 i=2cos 2 0-2cos 0=2 (cos -)2) -2,11所以当cos 0=2时,PM PN有最小值-二、填空题6 .在 ABC中，内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,已知m=(1,2), n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若 mlI n, milp,则ABC勺形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后，再边化角可解.【解析】由m lln可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即 sin(A+C)=2sinCcosA.从而 sinAcosC+co

6、sAsinC=2sinCcosA,故 sinAcosC-cosAsinC=0.即 sin(A-C)=0,又-兀A-C 再所以 A-C=0,即 A=C.由 m，p 可得 c-2bcosA=0,从而 sinC-2sinBcosA=0,故 sin(A+B)-2sinBcosA=0.即 sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0,故 A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形 答案:等边三角形7 .已知正三角形OAB中，点O为原点，点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限，向量m=(-1,0),记向量m与向量OA的夹角为，则sin 口的值为一.一一一 、一.一 .

7、-冗 4仃、.4【解析】设向重0*x轴正向的夹角为B，则%+ B=兀+了=可，且有sinf5,cos B=- 3,sin %=sin(兀-%)=sin ( B - -) =-sin 伊4os 3=4x1-(- 3)X 53225 257V3 4+3 V3 一=.210答案:4+3 a/3108 .在ABC中，角ABC的对边分别为a,b,c,且2cosTcosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-3,若a=4v2,b=5,贝UBA在BC方向上的射影为.5【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由 2cos 2AB-cosB-sin(A-B) sinB

8、+cos(A+C尸-3, 253得cos(A-B)+1cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,5即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- 5.3则 cos(A-B+B)=- 5,即 cosA=- 3.5由0Ab,贝U AB,故B=-,根据余弦定理，有(4 v2)2=5 2+c 2-2 X5c X(- 3), 5解得c=1或c=-7(舍去).故向量bA在命方向上的射影为|BA|cosB= .答案号三、解答题9 .在AABC,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，m=(2a+c,b), n=(cosB,cosC), 且 mr n=0.求角B的大小. _ 一 设函数f

9、(x)=sin2xcos(A+C)- ycos2x,求函数f(x)的取小正周期， 最大值及当f(x)取得最大值时x的值.【解析】(1)由已知得，(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以 2sinAcosB+sin(B+C)=0,即 2sinAcosB+sinA=0.因为0A兀，所以sinA #0.i所以 2cosB+1=0,所以 cosB=- 2.又0B兀，所以B=M.(2)因为 f(x)=sin2xcos(A+C)- ycos2x_ Cc 3c二-sin2x cosB-

10、 ycos2x1 . c 3 c= 2sin2x- ycos2x=sin (2x -；).故f(x)的最小正周期T=，=兀.当 2x- ；=2k 兀 + y,k Z即当 X=k 兀+52s,k 6 Z 时,f(X)max=1.10 .已知平面向量 a=(cos(|),sin 6 ), b=(cosx,sinx), c=(sin (|),-cos(|),其中 0(|) 兀，且函数 f(x)=( a - b)cosx+( b - c)sinx 的图像过 点(6 0 .求。的值及函数f(x)的单调增区间.先将函数y=f(x)的图像向左平移 /个单位，然后将得到函数图像 上各点的横坐标变为原来的2倍，

11、纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图 像，求函数y=g(x)在0, 2上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化 简函数解析式，由函数f(x)的图像过定点确定。的值，并由此求函数 f(x)的单调增区间.(2)先根据图像变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【解析】(1)因为 a b=cos j cosx+sin j sinx=cos( j -x),b c=cosxsin (|)-sinxcos (|)=sin( (|)-x).所以 f(x)=( a b)cosx+( b c)sinx=cos( (|)-x)cosx

12、+sin( (|)-x)sinx=cos( (|)-x-x)=cos(2x- j),即 f(x)=cos(2x- (|),一一-匹 人 一 , _所以 f( ) =cos (- (|)=1, W 0V d 兀,一 一TT所以j = .一 一 -TT所以 f(x)=cos (2x -),r一 花 一由2k兀-兀4x- - w2k兀.3/l=f冗冗得 k 7t-xk 兀 + ,即f(x)的单调增区间为k田3,k%+ f(kZ).由(1)得,f(x)=cos (2x -；)，平移后的函数为3y=cos 2 (x + 12)-=cos (2x：），_. 一_ _冗、于是 g(x)=cos (x 6).

13、当 x6 0, 2时,-fx- ：；所以;cos (x ；)5.冗.1即当x二金时,g(x)取得最小值5，.冗 -当x=时,g(x)取得最大值1.11 .ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 m=(-/ /、/r V3 IfI1,1), n= (cosBcosC,sinBsinC- -)，且 ml n.(1)求A的大小. 现给出下列四个条件：a=1;b=2sinB;2c-（第+1）b=0;B=45 .试从中再选择两个条件以确定 ABC求出你所确定的 ABC的面积.【解析】(1)因为m，n,所以-cosBcosC+sinBsinC- y=0,v3v3即 cosBcosC-si

14、nBsinC=- y,cos(B+C)=- y,因为 A+B+C=180,所以 cos(B+C)=-cosA, 、万一.所以 cosA= 2，又 0 A180 ,所以A=30 , (2)选择可确定 ABC,因为 A=30 ,a=1,2c-( v3+1)b=0,由余弦定理 12=b2+(g；b) -2b g；bcos30 ,整理得 b2=2,b= v2,c=,11v6+ v2 1 速+1所以 Sbc= &bcslnA= 2Xv2x-2 x&=-4,【一题多解】(2)选择可确定 ABC,因为A=30,a=1,B=45 ,所以C=105因为sln105=sln(60 +45 )=sln60 cos4

15、5 +cos60 sln45 =二二由正弦定理a bslnA slnB得b=aslnB 1 x sln45slnA sln30ULi、r _1 . _1, T v6+ v2 v3+1所以 Sbc= gabslnC= 2 X1 xv2 x4-=【加固训练】 已知 a=(sinx,1), b=(cosx,-；),若 f(x)= a - (a-b),求:(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程.f(x)的单调递增区间.(3)当x 6 0,；时,函数f(x)的值域.1.【解析】因为 a=(sinx,1), b = (cosx,-万),3、所以 a-b= (sinx - cosx,；),所以 f(x)= a (a-b)=sinx(sinx-cosx)+ 3=sin 2x-sinxcosx+ 1_ 1-cos2x 1 .2 + 3一 2-2s 2=2- 2(sin2x+cos2x) v2Tt=2- ysin (2x + 4),所以函数f(x)的最小正周期为丁二红4=再 co 2.Tt Tt令 2x+i=+k MkSZ),解得 x= ：+ kf (k 6 Z),所以函数f(x)对称轴方程为x= ；+ ?(k 6 Z).因为 f(x)=2