《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第一章三角函数

1、 第1章三角函数第1课时任意角 教学过程一、 问题情境情境1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少?3情境2:在体操、跳水运动中,有“转体720°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角?4二、 数学建构(一) 生成概念问题1在初中,角的概念是如何定义的?(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)问题2体操运动中的“转体720°”是如何形成的?(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到

2、)问题3你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.问题4既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢?(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角,进而得到正角、负角、零角的概念)通过讨论,结合下图(图1),给出正角、负角、零

3、角的定义.(图1)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.(二) 理解概念 1. 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩充了. 角有正负之分(结合图2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动); 角可以任意大; 还有零角.(图2) 2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样.问题5角的概念推广后,角的范围也就扩大了,那么,我们又该如何来研究角?为了便于研究,我们要将角放在直角坐标系

4、中.建立直角坐标系的方法:角的顶点与原点重合,角的始边为x轴的正半轴.问题6将角放入直角坐标系中研究后,角的终边会出现在哪些位置?我们该如何称呼它们?(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.(三) 巩固概念(1) 分别举几个第一、 二、 三、 四象限角的例子.(2) 30°, 390°, -330°角分别是第几象限角?观察这些角,你有什么发现?(3) 终边相同的角有何特点?试写出与30°角终边相同的角的集合.5问题7与角终边相同的角的集合如何表示?S=|=k·3

5、60°+, kZ.注意以下问题:kZ;是任意角;终边相同的角不一定相等,但是相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.6三、 数学运用【例1】写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在0°360°的角写出来,并分别判断它们是第几象限角.(1) 460°(2) -21°(3) 963°14'7.(见学生用书P1)处理建议选例1的第一小题板书来示范解题的步骤,其他例题请几个学生板演,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳.规范板书解(1) S=|=460&#

6、176;+k·360°, kZ. S中在0°360°范围内的角是(-1)×360°+460°=100°,它是第二象限角.(2) S=. S中在0°360°范围内的角是1×360°-21°=339°,它是第四象限角.(3) S=|=963°14'+k·360°, kZ. S中在0°360°范围内的角是(-2)×360°+963°14'=243°14

7、9;,它是第三象限角.题后反思只需将这些角表示成k·360°+(kZ)的形式,然后根据角选择一个适当的整数k值,使得k·360°+在0°360°的范围内则可.变式写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中在-360°到720°间的角写出来:(1) -120°(2) 640°.处理建议先由学生讨论,然后让学生回答,互相更正,对出现的错误进行纠正讲解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.答案(1) S=|=k·360°-120°, kZ,分别令k=0, 1,

8、 2得S中在-360°到720°间的角为-120°, 240°, 600°.(2) S=|=k·360°+640°, kZ,分别令k=-2, -1, 0得S中在-360°到720°间的角为-80°, 280°, 640°.【例2】已知与320°角的终边相同,判断是第几象限角.8(见学生用书P2)处理建议引导学生先写出的表达式,然后将表达式中的k值具体化,取几个具体的值来发现结论.规范板书由=k·360°+320° (kZ),可

9、得=k·180°+160° (kZ).若k为偶数,设k=2n (nZ),则=n·360°+160° (nZ), 与160°角的终边相同,是第二象限角;若k为奇数,设k=2n+1 (nZ),则=n·360°+340° (nZ), 与340°角的终边相同,是第四象限角.所以是第二或第四象限角.题后反思(1) 解题的关键在于将表示出来;(2) 在判断所在象限的过程中,蕴含着分类讨论的思想,要让学生充分领悟此方法;(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角可以表示为=k·180&#

10、176;+ (kZ),则的终边与的终边所在的直线重合.变式若角的终边落在x轴上,则的集合为;若角的终边落在第一、三象限的角平分线上,则的集合为. (根据上述题后反思的结论可得到结果)答案|=k·180°, kZ; |=k·180°+45°, kZ(或|=k·180°+225°, kZ)*【例3】(教材第10页习题1.1第11题)如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).9(例3)处理建议此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点.规范板书解(1) 方法1:根据例2的变式可得|k·18

11、0°+45°k·180°+90°, kZ.方法2:|k·360°+45°k·360°+90°, kZ=|k·180°+45°k·180°+90°, kZ.(2) |k·360°-150°k·360°+120°, kZ.题后反思(1)一个角按顺、逆时针旋转k·360° (kZ)角后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺、逆时针旋转k·

12、;360° (kZ)角后,所得“区间”仍与原区间重叠,因此,解决此类问题,我们可以首先在0°到360°范围内找出满足条件的角,然后在加上k·360° (kZ)即可.(2) 此类问题要注意角的终边的大小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的.如第二小题表示为|k·360°+210°k·360°+120°, kZ或|k·360°+120°k·360°+210°, kZ都是错误的解答.变式若是第四象限角,判断是第几象限角.10处

13、理建议根据象限角的定义结合不等式的知识求解,最后来确定所在的象限.规范板书因为是第四象限角,所以k·360°+270°<<k·360°+360° (kZ),故k·180°+135°<<k·180°+180° (kZ),从而在第二或第四象限.题后反思在学生领悟了分类讨论的思想后,在此基础之上可增讲八卦图的巧解法.四、 课堂练习 1. 已知角为-30°,将角的终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为1050°. 2. 钟表经过4小时,时针

14、转了-120度.提示钟表每12个小时,时针顺时针转一圈,即转了-360°,故4小时转过的角度为×4=-120°. 3. 设A=|=k·360°+45°, kZ, B=|=k·360°+225°, kZ, C=|=k·180°+45°, kZ,D=|=k·360°-135°, kZ, E=|=k·360°+45°或=k·360°+225°, kZ,则相等的角集合为B=D, C=E.

15、0;提示可通过分类讨论的方法或在直角坐标系中作出角用数形结合的方法来解决. 4. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并将集合中适合不等式-720°<360°的元素写出来.(1) 60°(2) -225°解(1) 与60°角终边相同的角的集合S=|=k·360°+60°, kZ,当k=0时,=60°当k=-1时,=-300°当k=-2时,=-660°.(2) 因为-225°=-360°+135°,所以与-225°角终边相同的角的集合S=|=k

16、·360°+135°,kZ,当k=0时,=135°当k=-1时,=-225°当k=-2时,=-585°.五、 课堂小结 1. 任意角、终边相同的角的概念. 2. 与角终边相同的角的集合为S=|=k·360°+, kZ,这一结果表示角周而复始的变化规律,同时,它也是研究角之间关系的最为基础的知识. 3. 本节课主要涉及了数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法.第2课时弧度制 教学过程一、 问题情境在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l与之间具有怎样的关系呢?二、 数学建构(一) 生成概念问题1

17、在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的?(回到学生的已有的知识体系中来解决此问题)问题2在弧长公式中,角是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫做什么制?(进一步引导学生复习旧的知识,达到温故而知新的目的)问题3除了上面用“度”作为单位来度量角的角度制外,我们有没有其他的方式来度量角呢?(引入课题)通过学生自学,老师引导,得到1弧度角的定义、角的弧度与角的关系.长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制.(二) 理解概念 1. 用弧度表示角的大小时,只要不引起误解,可以省略单位. 2. 正角的弧度数

18、是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0. 3. 1rad与圆的半径的大小没有关系.(三) 巩固概念练习:(1) 圆的半径为r,圆弧长为2r, 3r, 的弧所对的圆心角分别是2、 3、 .(2) 若圆的半径为r,圆心角所对的圆弧长为2r,则的弧度数就是2.问题4角度制与弧度制如何换算?(引导学生从弧度定义出发归纳出角度制与弧度制的换算公式)问题5半径为r,圆心角为的圆弧长是多少?此扇形的面积又是多少?(与角度制下的弧长及扇形面积公式相比较)说明: 1. 在应用公式|=求圆心角时,要注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值. 2. 应用弧度制后,弧长公式及扇形面积公式要比角度制中的公式要简单.问题

19、6角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合是什么?它与实数集之间有怎样的对应关系?(进一步巩固弧度定义,从不同角度加深对弧度制的理解)三、 数学运用【例1】把下列各角从弧度化为度:(1) ;(2) 4.5.2(见学生用书P3)处理建议让学生独立思考,给出解答,老师给出规范解答.规范板书解(1) rad=×=72°(2) 4.5rad=4.5×257.85°.题后反思若化为角度时不是整数,则要注意近似计算的准确性,此时有两种表达形式,一是表示为度的形式,一是表示为度分的形式,要注意度与分之间的转换关系:1°=60'.问题知道了将弧度化为角度

20、,那么,又该如何将角度化为弧度?变式1把下列各角从度化为弧度:(1) 75°(2) 22°30'.处理建议让学生进行板演,同时规范解题的格式.规范板书解(1) 75°=75×=;(2) 22°30'=22.5°=22.5×=.题后反思(1) 将带“分”的角度化为弧度,首先要将“分”化为“度”,然后再用换算公式转化;(2) 用“弧度”为单位度量角,当弧度数用来表示时,如无特殊要求,不必将写成小数;(3) 一些特殊角的弧度数应该加强记忆.变式2填写下表:3角度0°30°90°135&

21、#176;150°180°弧度角度240°270°300°315°弧度2处理建议要求学生一边填表,一边进行记忆.解角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度2【例2】已知扇形的周长为10cm,圆心角为3rad,求该扇形的面积.4(见学生用书P4)处理建议扇形的周长包含2

22、条半径和1条弧长,引导学生利用条件列出关于半径和弧长的二元一次方程组.规范板书解设扇形的半径为r,弧长为l,则有解得故扇形的面积为S=rl=6(cm2).题后反思熟练地掌握弧长公式及扇形的面积公式,同时,重视方程思想的应用.变式一扇形的周长为20cm,当扇形的半径和圆心角各取何值时,这个扇形的面积最大?并求此扇形的最大面积.5处理建议根据弧长及扇形的面积公式,用r表示出扇形面积S,转化为求有关函数的最值问题.求扇形面积的最值问题,常常将其转化成求函数特别是二次函数的最值问题,利用求函数最值的有关方法来求解,若含有参数,还应注意分类讨论.规范板书解设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即

23、l=20-2r,从而可得0<r<10.又S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,当r=5时,S有最大值25,此时l=20-2×5=10,圆心角=2(rad).答:当扇形的半径为5cm和圆心角为2rad时,扇形的面积最大,最大值为25cm2.题后反思当扇形的周长一定时,其面积有最大值.注意消元思想的应用及二次函数最值的求解,还要注意本题中的半径r(0, 10).*【例3】将下列各角化为2k+(0<2, kZ)的形式,并判断其所在象限.(1) ;(2) -1485°.处理建议师生共同分析,寻找解决问题的方法.规范板书解(1

24、) =6=3×2+,它是第一象限角.(2) 方法1:-1485°=-5×360°+315°=-5×2+,它是第四象限角;方法2:-1485°=-1485×=-=-5×2+,它是第四象限角.题后反思将角度制表示为2k+ (0<2 kZ)的形式,有两种方法:一是先将角表示为k·360°+ (0°<360°, kZ)的形式,然后再转化为弧度的表达形式;二是先将角度化为弧度,然后再转化为2k+ (0<2, kZ)的形式.四、 课堂练习 1. rad=15&

25、#176;, -rad=-240°, 735°=rad, -1080°=-6rad. 2. 若=-3,则角的终边在第三象限. 3. 与角终边相同的角的集合为|=2k+,kZ,与-角终边相同的角的集合为|=2k-,kZ. 4. 已知半径为36cm的圆上,有一段弧的长是75cm,则此弧所对的圆心角的弧度数为. 5. 用弧度制表示:(1) 终边在x轴的正半轴上的角的集合;(2) 终边在y轴上的角的集合;(3) 终边在直线y=x上的角的集合;(4) 终边在坐标轴上的角的集合.解(1) 终边在x轴的正半轴上的角的集合S1=|=2k, kZ;(2) 终边在y轴上的角的集合 S

26、2=k+, kZ;(3) 终边在直线y=x上的角的集合S3=k+, kZ;(4) 终边在坐标轴上的角的集合S4=, kZ.五、 课堂小结 1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式. 2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.第3课时任意角的三角函数(1) 教学过程一、 问题情境引入教材的引言:用(r, )与用坐标(x, y)均可表示圆周上点P,那么,这两种表示有什么内在联系?确切地说,用怎样的数学模型刻画(x, y)与(r, )之间的关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题1在前面的学习中,我们如何来研究角?(引导学生应用建

27、立坐标系的方法来研究角,也是对前面的内容的复习)问题2在初中我们是如何研究锐角三角函数的?(复习锐角三角函数的定义,以便为研究任意角的三角函数定义打下基础)问题3我们能用建立坐标系的方法来研究锐角三角函数吗?(引导学生来沟通初中、高中两种研究方法的联系,为下面任意角的三角函数埋下伏笔)通过讨论,结合图1,在平面直角坐标系中,设的终边上任意一点P的坐标是(x, y),它与原点的距离是r(r=>0).(图1)当为锐角时,过P作PMx轴,垂足为M.在RtOPM中,sin=, cos=, tan=.问题4怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?(由特殊推广到一般,通过对比,让学生对知识进行类

28、比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心)通过讨论,结合图2,给出任意角的三角函数的定义.(图2)一般地,对任意角,我们规定:(1) 比值叫做的正弦,记作sin,即sin=;(2) 比值叫做的余弦,记作cos,即cos=;(3) 比值叫做的正切,记作tan,即tan=.(二) 理解概念 1. 根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上的角的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响. 2. 对于确定的角,比值和都唯一确定,故正弦和余弦都是角的函数. 3. 当=k+ (kZ)时,角的终边在y轴上,故有x=0,这时tan无意义,除此之外,对于确定的角,比值也是唯一确定的,故正切也是角的函数. 4. si

29、n, cos, tan分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为三角函数.问题5由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系,因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,那么,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢?(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)通过讨论,借助于三角函数的定义,抓住分母等于0时比值无意义这一关键,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为R, R,.问题6根据三角函数的定义,我们得到了三个三角函数的定义域.通过前面的学习,我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在

30、四个象限中,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响?这种影响表现在什么地方?(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)通过讨论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号,如图3所示:(图3)进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法,如图4:(图4)三、 数学运用【例1】已知角的终边经过点P(2, -5),求的正弦值、余弦值、正切值.3(见学生用书P5)处理建议紧扣三角函数的定义.规范板书解因为x=2, y=-5,所以r=,所以sin=-, cos=, tan=-.题后反思学会用定义来处理问题.变式已知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin, c

31、os, tan的值.4处理建议启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来.解在直线3x+4y=0上任取点P(4a, -3a) (a0),则r=5|a|.当a>0时,sin=-, cos=, tan=-;当a<0时,sin=, cos=-, tan=-.题后反思运用任意角的三角函数的定义来求三角函数值时,先要判断终边的可能位置,然后在终边上任意取一点,也可取一特殊点,求出该点到原点的距离,再由定义来进一步求解.若有参数,还要注意对参数进行分类讨论.【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos;(2) sin(-565°);(3) tan.5(见学生用书P6)处理建议先确定

32、角是第几象限角,然后根据不同象限角的三角函数值的正、负进行判断.规范板书解(1) 是第一象限角, cos>0;(2) -565°=-2×360°+155°,即-565°是第二象限角, sin(-565°)>0;(3) =4+,即是第三象限角, tan>0.题后反思正确确定角的终边所在的象限,是处理这类问题的关键.【例3】已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角终边上一点,且sin=-,求y的值.6(见学生用书P6)处理建议由题设条件确定是第几象限角,然后利用三角函数的定义求解.规范板书解r=,

33、且sin=-,所以sin=-,得y2=64.由题意知为第四象限角,所以y=-8.题后反思若已知角终边上一点,则x, y, r即可确定.本题求解时应注意隐含条件为第四象限角.*【例4】若sin<0且tan>0,确定是第几象限角.7处理建议让学生先回忆三角函数值在四个象限(包括在坐标轴上)的符号规律.规范板书 sin<0, 是第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上;又tan>0, 是第一、三象限角.综上可得是第三象限角.题后反思本题的易错点在于由sin<0得出是第三、四象限角,而忽略掉它的终边还有可能在y轴的负半轴上,从而导致解题不完善.四、 课堂练习 1. 已知角的终

34、边经过点P(5, 12),则sin+cos=. 2. 若sincos<0,则角的终边在第二、四象限. 3. sin1 cos2 tan3值的符号是正. 4. 已知角的终边过点(3x-9, x+2),且cos0, sin>0,则x的取值范围是(-2, 3. 提示由cos0, sin>0得故-2<x3.五、 课堂小结 1. 任意角的三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号规律. 2. 重视数形结合思想、类比思想在分析问题和解决问题中的作用.第4课时任意角的三角函数(2) 教学过程一、 问题情境在前面的学习中,我们知道,角的三角函数值与角的终边上的点P(x, y)的

35、位置是无关的,那么我们就可以在角的终边上取一些特殊的点,让问题研究变得简单些.二、 数学建构(一) 生成概念问题1在角的终边上取什么样的点,可以让我们在研究问题时变得简单呢?(引导学生说出:考虑单位长度,从而引进单位圆的概念)圆心在坐标原点,半径等于单位长度的圆,叫做单位圆.问题2在单位圆中,角的正弦值、余弦值分别是多少?(引导学生得到sin=y,cos=x)问题3x, y分别是角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标,我们能将它们用几何量表示出来吗?(引导学生过点P作x轴的垂线,交x轴于点M,从而将线段OM,MP的长度与x, y联系起来,即OM的长度等于|x|,MP的长度等于|y|,为引进有向线段

36、作铺垫)问题4我们能否直接用线段OM,MP的某种形式来表示x, y,也即表示角的余弦值、正弦值呢?(为此,进一步引导学生考虑,请学生讨论解决问题的方法)(图1)结合图1,进行如下思考:当角的终边不在坐标轴上时,若x>0,则x即为OM的长度;若x<0,则x即为OM的长度的相反数.同理,若y>0,则y即为MP的长度;若y<0,则y即为MP的长度的相反数.问题5在前面的学习过程中,我们遇到过类似的情境吗?(引导学生与正数、负数及正角、负角的概念进行类比,由此,来规定线段、直线的方向,引进有向线段、有向直线的概念)有向线段是指规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.类似地,规定

37、了正方向的直线称为有向直线(如x轴、y轴).(二) 理解概念 1. 有向线段的方向是由起点和终点产生的,有向直线的方向是由正方向产生的. 2. 当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时,若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相同,则在它的长度添上正号;若有向线段AB的方向与有向直线l的方向相反,则在它的长度添上负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB.问题6引进有向线段的数量后,在图1中, x, y分别与哪个有向线段的数量对应?通过讨论,得到x=OM, y=MP,从而有sin=MP, cos=OM.我们把有向线段MP,OM分别叫做角的正弦线、余弦线.问题7类似地,我们能引进正切

38、线的概念吗?(学生讨论,师生共同探讨,引导学生思考这里需要解决什么问题)由于tan=,根据前面正弦、余弦的经验,我们应该让=?,从而找到?所代表的有向线段的数量.由此得正切线(如图2所示).(图2)当角终边在y轴的右侧时,在角终边上取点T(1, y'),则tan=y'=AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点);当角终边在y轴的左侧时,在角终边的反向延长线上取点T(1, y'),由于它关于原点的对称点Q(-1, -y')在角的终边上,故有tan=y'=AT.因此把有向线段AT叫做角的正切线.3当角终边在不同象限时,其三角函数线如图3所示.(图3)特殊情况: 当

39、角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM等于1或-1; 当角的终边在y轴上时,正弦线OM等于1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,而正切线不存在.三、 数学运用【例1】分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1) ;(2) ;(3) -;(4) -.4(见学生用书P7)处理建议可让学生参见教材P13图1-2-8的作法.规范板书解(例1)图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP,OM, AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线.题后反思作三角函数线分三步:先画出单位圆,柱注点A(1, 0);准确作出角的终边,找到角的

40、终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M,过点A作x轴的垂线交角的终边(或角的终边的反向延长线)于点T;写出结论:正弦线为有向线段MP、余弦线为有向线段OM、正切线为有向线段AT.【例2】比较下列各组三角函数值的大小:(1) sin35°, sin55°(2) cos, cos;(3) tan1, tan2.5(见学生用书P8)处理建议引导学生作出单位圆中的三角函数线来比较大小.解(1)sin35°<sin55°(2) cos>cos;(3) tan1>tan2.题后反思三角函数线是有方向的,与x轴、y轴的正方向相反的三角函

41、数线,长度越长,它所表示的有向线段的数量越小,即三角函数值越小.问题1从例2中,我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小,那么,我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间0, 2上的单调性吗?问题2我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间上的单调性吗?问题3我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗?(让学生自主探究,一方面是对例题的加深、拓展,同时,让学生深化对三角函数线的理解;另一方面也可以为研究三角函数的性质作铺垫,并在这个过程中培养学生的探究能力)【例3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合:(1) sin=;(2) cos=

42、-;(3) tan=.6(见学生用书P8)处理建议由学生作出相应的三角函数线,互相之间进行讨论,研究,师生共同完成解答.在确定答案时,要引导学生先找出一个满足条件的角,然后写出与该角终边相同的角的集合,从而得到问题的答案.(例3)规范板书解(1) 作出如图所示的图形,则根据图形可得|=2k+或=2k+, kZ;(2) |=2k+或=2k+, kZ(图略);(3) (图略).题后反思要提醒学生注意正弦线平行于y轴或在y轴上,而余弦线在x轴上,这是此题的易错点.变式利用单位圆写出符合不等式cos-的角的集合.7处理建议引导学生正确作图.规范板书解作出如图所示的图形,则根据图形可得,满足条件的角的集

43、合为|2k-2k+, kZ.(变式)题后反思解决此类问题一般可分为三步:(1)求出边界的值;(2)标出满足条件的区域;(3)根据区域写出满足条件的答案.另外,还要注意,是否包括边界,通常情况下,包括边界的,边界用实线表示,不包括边界的,边界用虚线表示.*【例4】已知为锐角,求证:1<sin+cos<.8处理建议引导学生去思考sin, cos可以用单位圆中的正弦线、余弦线表示出来,那么1, 能用什么表示出来?从而联想到单位圆中的半径1及扇形的弧长、面积(都与有关),由此得到本题的解题思路.规范板书(例4)解如图,设单位圆与x轴、y轴的正半轴分别交于点A, B,角的终边与单位圆交于点P

44、(x, y),过P作PDOx, PEOy, D, E为垂足.因为y=sin, x=cos,在OPD中,OD+DP>OP,从而sin+cos>1.又SPOA=OA·PD=sin, SPOB=OB·PE=cos,而S扇形OAB=·×12=,且S扇形OAB>SPOA+SPOB,故sin+cos<,从而1<sin+cos<成立.题后反思(1)利用单位圆把三角函数值转化为单位圆中某些线段的长;(2)利用整体的面积大于部分的面积证明三角函数的不等关系是证明这类问题的常用方法.四、 课堂练习 1. 已知MP, OM, AT分别是75

45、°角的正弦线、余弦线、正切线,则这三条线长从小到大的排列顺序是OM, MP, AT.  2. 如果角(0<<2)的正弦线与余弦线的长度相等,且符号相异,那么的值为或. 3. 设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线,给出以下不等式: MP<OM<0; OM>MP>0; OM<MP<0; MP>0>OM.其中正确的是(填序号). 4. 利用单位圆比较大小:(1) sin25°<sin150°(2) cos=cos;(3) tan<tan;(4) tan>tan.五、 课堂小结 1.

46、单位圆的概念,有向线段、有向直线的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义.三角函数线都是一些特殊的有向线段,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,它们是三角函数的几何表示. 2. 应用单位圆中的三角函数线,解决了一些与三角函数有关的问题,如比较三角函数值的大小,求角或角的范围.这里,关键在于要学会用数形结合的思想来解决问题,同时,也是培养学生数形结合意识的好机会.第5课时同角三角函数关系(1) 教学过程一、 问题情境当角确定后,的正弦、余弦、正切值也随之确定,它们之间有何关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题1设点P(x, y)为单位圆上任意一

47、点,则x, y满足什么关系?(结合前面知识,引导学生说出:x2+y2=1)问题2设角的终边与单位圆交于点P,则点P的坐标是什么?那么sin与cos满足什么关系?tan与sin,cos之间满足什么关系?(引导学生研究任意角的三种三角函数之间的关系,得出三角函数的基本关系式)通过讨论,结合图1,给出同角三角函数的基本关系式:sin2+cos2=1, tan=.(图1)问题3上述两式对于任意的都成立吗?(引导学生理解等式成立的条件,突出三角函数的定义域)sin2+cos2=1对于任意的角都成立,tan=在k+ (kZ)时成立.问题4对于任意的两个角, , sin2+cos2=1能恒成立吗?(引导学生

48、理解三角函数的基本关系式中,突出“同角”)问题5你能给出同角三角函数的基本关系式的几种变形吗?(引导学生进一步理解公式的形式,培养学生思维的灵活性)(二) 理解概念 1. 注意“同角”,至于角的形式无关重要,如sin24+cos24=1等. 2. 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如tan= (k+, kZ),以后遇到的关系式(包括已证的和待证的)也是这样.解题中,如果没有特殊说明,一般都把关系式看成有意义的. 3. 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用,如:公式的几种常见变形,sin2=1-cos2, cos2=1-sin2, cos=±, sin=±(

49、注意分析“±”号的选取);sin=cos·tan, cos=等.三、 数学运用【例1】已知cos=,且是第四象限角,求sin, tan的值.3(见学生用书P9)处理建议引导学生直接运用公式求解,但应注意角所在象限.规范板书解因为sin2+cos2=1,所以sin2=1-cos2=1-=.又是第四象限角,因此sin<0,故sin=-, tan=×=-.题后反思已知某角的一个三角函数值,可以利用同角三角函数的基本关系式求出这个角的另外两个三角函数值(即“知一求二”).求解过程中应该注意,利用平方关系求值时,由于要开平方,就面临一个正负号的选择问题,为此要讨论角所

50、在的象限.思考1若角所在的象限是未知的,我们又该如何处理呢?变式1已知tan=2,求sin和cos的值.4处理建议让学生比较此题与例1的区别及联系,从中找到解题的方法与步骤.规范板书解由=tan=2,可得sin=2cos.又sin2+cos2=1,故(2cos)2+cos2=1,解得cos2=.又由tan=2>0,知是第一或第三象限角.若是第一象限角,则cos=, sin=;若是第三象限角,则cos=-, sin=-.题后反思本题的解题中,将正切化为正弦与余弦,一方面与解题目标相近,另一方面,也是“消元思想”的体现.在三角函数的解题中,经常会将“切”化“弦”.思考2上述解法的本质是什么?

51、将sin, cos看成两个未知数,通过建立方程组的方法来解出它们的值,它是一种方程思想的体现.思考3我们能直接找到tan与sin或cos的关系吗?解法2:因为sin2+cos2=1,所以tan2+1=,从而cos2=.以下同上面的解法.变式2已知tan=2,求下列各式的值:(1) ;(2) sin2+2sincos+3cos2.5(见学生用书P10例3)处理建议引导学生尝试用不同的方法求解.规范板书解(1)方法1:由tan=2得sin=2cos,故=;方法2:=;方法3:由tan=2得sin=2cos,又sin2+cos2=1,故(2cos)2+cos2=1,解得cos2=.又由tan=2&g

52、t;0,知是第一或第三象限角.若是第一象限角,则cos=, sin=,从而=;若是第三象限角,则cos=-, sin=-,从而=.(2) 解法1:sin2+2sincos+3cos2=cos2(tan2+2tan+3)=11cos2.又由sin2+cos2=1得1+tan2=,故cos2=,从而原式=.解法2:sin2+2sincos+3cos2=.解法3:(同(1)的解法3,略)题后反思(1) 上述三种解法中,以解法一、二较为简便,解法三较为繁琐.一般地,已知tan或sin与cos的关系,求, (齐次式)的值,可利用分子、分母同除以cos, cos2转化为tan的表达式,也可将正弦转化为余弦

53、再约分求值;如果要求sin, cos的值,可采用解方程(组)的方法求解,需要注意的是要对角所在的象限进行讨论.(2) 学习中,要注意灵活地运用知识,对所学的公式进行适当的变形来使用,如本题中所用的由sin2+cos2=1得到1+tan2=,这样就直接沟通了正切与余弦的关系.(3) 第(2)小题解法2中应用了常数“1”的代换,将1看成sin2+cos2,简化了问题.【例2】已知sinx+cosx=,且0<x<,求下列各式的值:(1) sin4x+cos4x;(2) tanx.6(见学生用书P10)处理建议本题可直接求出sinx, cosx的值,再代入求解即可;也可将待求解的式子进行转

54、化,如(1)式进行降幂,(2)式通过齐次式求tanx.规范板书方案一:解出sinx, cosx的值.方法1:由题意得解得或又0<x<,故从而(1) sin4x+cos4x=+=;(2) tanx=-.方法2:由sinx+cosx=两边平方,得1+2sinxcosx=,即sinxcosx=-,将它与sinx+cosx=联立成方程组,解得或又0<x<,故下同方法1.方法3:由方法2得sinxcosx=-<0,而0<x<,所以sinx>0, cosx<0,故sinx-cosx=,与sinx+cosx=联立解得下同方法1.方案二:根据目标,进行化归

55、.方法4:由上述方法2得sinxcosx=-,从而(1) sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2×=;(2) 由sinxcosx=-,解得tanx=-或tanx=-.若tanx=-,则sinx+cosx=(1-)cosx=,即cosx=,而由sinxcosx=-<0, 0<x<得sinx>0, cosx<0,与cosx=矛盾,故tanx=-不成立,从而tanx=-.7*【例3】已知sin, cos是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(aR).(1) 求sin3+cos3的值;(2) 求tan+的值.8处理

56、建议本题的易错点在于不能正确地求出a值,从而得到增根.要引导学生思考方程的根所满足的条件,从而得到正确的结果.规范板书解依题意,有从而得a2=1+2sincos=1+2a,解得a=1±.因为sincos1,故a=1-.(1) sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=a(1-a)=-2.(2) tan+=+=-1.题后反思由于sin, cos的自身的取值范围影响着a的取值,所以,在解题中要注意挖掘题目中的隐含条件,同时,对于含“切”的式子常化为“弦”来处理.四、 课堂练习 1. 已知cos=, (0, ),则tan=. 2. 已知tan=-,则sin

57、+cos=±.提示sin+cos=cos(1+tan)=cos,由sin2+cos2=1得tan2+1=,从而cos=±,故sin+cos=±. 3. 若=2,则tan=1. 4. 已知A是三角形的一个内角,且sinA+cosA=,则这个三角形的形状是钝角三角形.提示由条件可得sinAcosA=-,又0<A<,所以角A为钝角.五、 课堂小结 1. 对同角三角函数的基本关系式,要注意两个方面:一是“同角”;二是“有意义”. 2. 应用同角三角函数的基本关系解题时,要注意常见的几种变形的应用:(1) 切化弦;(2) 正弦、余弦的“齐次式”化为正切;(3) 常数“1”的代换;(4) (sinx±cosx)2=1±2sinxcosx. 3. 要学会从不同的角度来分析同一个问题,培养思维的灵活性、简洁性与严谨性.第6课时同角三角函数关系(2) 教学过程一、 问题情境3上节课,我们学习了同角三角函数基本关系