广东省东莞市2020年高中数学竞赛决赛试题新人教A版

1、2020年东莞市高中数学竞赛决赛试题、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表的相应位置.）1.若集合M a,b,c中的元素是 ABC的三边长，则 ABC 一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.设 cos100 k ,则 tan80 =()A.1 k2k如果直角3.如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形,三角形的直角边长都为1,4.C那么这个几何体的体积为（DA. 16若A、B两点分别在圆6x16y482y 4x8y 44 0上运动，则| AB |的最大值为

2、19A. 135.设X1,X2是函数f（x） 2008x定义域内的两个变量，且X112(x1 X2),那么，下列不等式恒成立的是（A | f(a) f(X1)| f(X2)B.f(x1)f(x2) f 2(a)C | f(a) f(xj|1f3)f1D.|f(a) f(x1)|f(x2) f |6.已知函数 f（n）n /cos (n5f(1)f(2)f(2008)()f (10) f (21) f (32)f(43)A. 1B .0C . -1D. 4、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.）7.右图的发生器对于任意函数f XxD可制造出一系列的数据

3、，其工作原理如下：若输入数据x0 D ,则发生器结束工作；若输入数据x0 D时，则发生器输出Xi,其中Xif Xo ,并将Xi反馈回输入端.现定义f x 2x 1, D （0,50）.若输入x0 1,那么，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为.8 .若点（1,1 ）到直线xcos ysin 2的距离为d ,则d的最大值是 9 .从0, 1之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是2110 .函数y x X （x n, n 1 ,其中n为正整数）的值域中共有2020个整数，则正2整数n 11 .把1, 2, 3,，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取

4、出来，所得10个数的和记为S .若S的最大值为M ,最小值为N ,则M N .12 .设集合A xx2 x 2 , B Xx 2 ,其中符号 x表示不大于x的最大整数，则A B .三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13 .（本小题满分12分）已知向量 AB (1 tanx,1 tanx) , AC (sin(x ),sin(x ).44(1)求证：BAC为直角；（2）若x -,-,求 ABC的边BC的长度的取值范围. 4 414 (本小题满分12 分)已知函数f(x) ax2 (a 2)x 1.若a为整数，且函数 f(x)在(2, 1)内恰有一个零

5、点，求 a 的值 .15 (本小题满分12 分)设 A 、 B 是函数 y log 2 x 图象上两点 , 其横坐标分别为 a 和 a 4 , 直线 l : x a 2与函数 y log 2 x 的图象交于点 C , 与直线 AB 交于点 D .(1) 求点 D 的坐标；(2)当 ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围.DA上的点，最终又回到点 F ,指16 .(本小题满分14分)如图，在正方体 ABCD A1B1cl D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点.(1)求证：EF /平面 CB1D1 ；(2)求证：平面 CAACU平面CB1D1 ；(3)如果AB 1 , 一个动点从点F出发在正方

6、体的表面上依次经过棱 BB1、B1c1、C1D1、D1D、出整个路线长度的最小值并说明理由17 .(本小题满分14分)2、，已知以点C(t,-)(t R,t 0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点，其中。为坐标原点.(1)求证：OAB的面积为定值； 设直线y 2x 4与圆C交于点M、N ,若|OM | |ON | ,求圆C的方程.18 .(本小题满分14分)对于函数f(x)，若f (x) x,则称x为f (x)的“不动点”，若f(f x ) x ,则称x为f(x)的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B ,即A x | f x x , B x | f f

7、 x x .(1)求证：A B ；(2)若f xax2 1 a R,x R ,且A B ,求实数a的取值范围；(3)若f (x)是R上的单调递增函数，是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由 2020年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题D B A C D C二、填空题7. 58. 2 49 .一 10, 100311. 150512. 1,7316三、解答题13. (1)证明：因为 ab AC (1 tanx)sin(x ) (1 tanx)sin(x ).2rcosx sinx, .、 cosx sinx,.、(sin x cosx) (sin

8、 x cosx)2 cosxcosx0, 4 分所以 AB Ac ,即 BAC 90 . 5 分所以 ABC是直角三角形.6分(2)解：|AC| sin2(x ) sin2(x ) 1,因为 abc是直角三角形，且 AB AC,所以 |bC|2 |aB|2 |AC|2 3 2tan2x 9 分又因为 x , , 0 tan2 x 1 ,所以 1,得 0 a2/2a(a 4)因此，实数a的取值范围是0 a2J212分16 . (1)证明：连ZBD.在正方体AG中，对角线BD/ B1D1.又Q E、F为棱AD AB的中点, EF/BD .EF/B1D1.又 BiDi平面 C0D1 , EF平面 C

9、B1D1,EF /平面 CBD.(2)证明：Q在正方体AC1中，AA，平面ABOD而BQ平面ABGDi,AAUBB又Q在正方形A1BCD中，A1C1LBQ,BQ，平面 CAAC1.又Q B1D 平面CBD,平面CAAO,平面 CBD.(3)最小值为3.2.10分如图，将正方体六个面展开成平面图形,12分从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB、BC、CQ、DD DA上的中点，所求的最小值为14分17 .解：(1)圆C过原点Ot2 - t2设圆C的方程是(x t)222(yt2 , t22分八 八4令 x 0,得 0, y2；令丫 0,得 Xi 0% 2t .-1 S OAB 0A O

10、B21 4_ 1 |2| |2t| 4,即：OAB的面积为定值.4分2 t(2)|OM | |ON |,|CM | |CN |, OC 垂直平分线段MN .八,1_ ,八.1、kMN2, k, 直线OC的方程是y -x. 6分2221 一t,解得：t 2或t2. 8分t 2当t 2时，圆心C的坐标为（2,1） , OC 旗,此时C到直线y 2x 4的距离d J J5, 、5圆C与直线y 2x 4相交于两点.10分此时C到直线y 2x 4的距离d9.5圆C与直线y2x 4不相交,t2不符合题意舍去. 13分圆C的方程为（x 2）2 （y 1）25.14分18.解：（1）若A，则A B显然成立；若

11、A，设t A,则 f t t, f f t f t t ,当t 2时，圆心C的坐标为（2, 1）, OC J5,t B,故 A B.(2)QA, ax2 1 x 有实根,2ax x 1 0的根.若2 2ax a,代入 a x ax a 1 0 ,4分1 A -22a 一 .又 A B ,所以 a ax 11 x,4即a3x4 2a22 2ax x 1 0的根，则由方程ax x 1 0,得a xx2 x a 1 0的左边有因式ax2 x 1 , 从而有 ax2 x 1 a2x2 ax a 10. 6分2 2Q A B , a x ax a 1 0要么没有实根，要么实根是方程a2x2 ax a 1 0没有实根，则 a ；若a2x2 ax a 1 0有实根且实根是方程41113有2ax 1 0.由此解得x ，再代入得1 0,由