高中学业水平考试数学试卷

1、高中数学学业水平考试试卷、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.已知集合M=0, 1,集合N满足MUN=0, 1,则集合N共有（）个.A.1 B, 2 C, 3 D, 42.直线x+2y+2=0与直线2x+y - 2=0的交点坐标是（(2, -2) B. (2, 2) C. (2, 1) D. (3, -4)A.4A 3 c 4 A. 一 丁 B.一C.D.5 .已知函数f（x）=aX（a>0, a*1）在1,2上的最大值和最小值的和为 6,则a二（A. 2B. 3C. 4 D. 56 .在 ABC中,a=后b, A=120°,则B的大小为（A. 300 B. 450

2、 C. 600 D. 90°7 . 一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A.8.10 B. 12 C. 14 D. 16JU已知 tan a =2 则 tan ( aA.C.二D. - 39.圆x2+y2=1与圆（x+1） 2+ （y+4） 2=16的位置关系是（A.相外切B.相内切C.相交 D.相离10.如图，圆O内有一个内接三角形 ABC,且直径AB=2, /ABC=45,在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形 ABC内（阴影部分）的概率是（）A.B.C.V3二、填空题(共5小题，每小

3、题4分，满分20分)11,不等式x2 - 5x<。的解集是.12 .把二进制数100112转化为十进制的数为 .13 .已知函数f(x)=Asincox(A>0,>0)的图象如图所示，则A,的值分别是.14 .已知函数 f (x) =4-log2x, x 2, 8,则 f (x)的值域是.15 .点P是直线x+y-2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小 值为.三、解答题(共5小题，满分40分)16 .如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛 10场得分可用茎叶图表示如图：(1)某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示

4、，若甲运动员成绩的中位数是 33,求m的值；(2)估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在 20, 40内的概率.17 .已知向量 a= (sinx, 1) , b= (2cosx, 3) , x R.(1)当E=双时，求实数 人和tanx的值；(2)设函数f (x) q?E,求f (x)的最小正周期和单调递减区间.18 .如图，在三棱锥P- ABC中，平面PAB,平面ABC PAB是等边三角形，AC± BC, 且AC=BC=2 O、D分别是AB, PB的中点.(1)求证：PA/平面COD;(2)求三棱锥P-ABC的体积.19 .已知函数f (x) =2+-二的图象经过点(2, 3)

5、, a为常数. 文a(1)求a的值和函数f (x)的定义域；(2)用函数单调性定义证明f (x)在(a, +oo)上是减函数.20 .已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn,且an2+an=2S, nCN*.(1)求 a1及 an；(2)求满足Sn>210时n的最小值；.1 1 I 11 1(3)令bn =4 % 证明：对一切正整数n,者B有“运运+*石.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1 .已知集合 M=0, 1,集合N满足MUN=0, 1,则集合N共有（）个.A. 1B. 2 C. 3 D. 4【考点】19:集合的相等.【分析】根据集合的包含关

6、系求出集合 N的个数即可.【解答解：M=0, 1,集合N满足M UN=0, 1,则 N?M,故 N=?, 0, 1, 0, 1共 4 种可能，故选：D.2 .直线x+2y+2=0与直线2x+y - 2=0的交点坐标是（）A. （2, -2） B. （2, 2） C. （2, 1） D. （3, 4）【考点】IM:两条直线的交点坐标.【分析】根据题意，联立两直线的方程，解可得 x、y的值，即可得交点坐标，即可得 答案.'女42V42=口【解答】解：根据题意，联立一 口门，2x+y-2=0片2解可得.旧-2即直线x+2y+2=0与直线2x+y 2=0的交点坐标是（2, 2）;故选：A.3

7、.不等式2x+y- 3&0表示的平面区域（用阴影表示）是（）【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是否成立 后得二元一次不等式表示的平面区域.【解答】解：画出不等式2x+y-3&0对应的函数2x+y- 3=0的图象, 取点(0, 0),把该点的坐标代入不等式2x+y-3W0成立，说明不等式2x+y-3&0示 的平面区域与点(0, 0)同侧，所以不等式2x+y-3W0表示的平面区域在直线2x+y-3=0的右下方，并含直线.故选B.4 .已知cos0=-二 a是第三象限的角，则sin o= ()A.

8、一广B.二 C.-喜D.等 3 DD J【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系、 以及三角函数在各个象限中的符号，求得sina的化【解答】解：cosa=-|-, a是第三象限的角，则sina=-口 = -J"，故选：C.5.已知函数f(x)=ax(a>0, a*1)在1,2上的最大值和最小值的和为 6,则a=()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【考点】49:指数函数的图象与性质.【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解.【解答】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f (x)取得最大值，那么x=2取得最小值，或

9、者x=1时，f (x)取得最小值，那么x=2取得最大值.；a+a2=6. a> 0, aw1, a=2.故选：A.6.在 ABC中，a=Jib, A=120°,则 B 的大小为()A. 300 B. 450 C. 600 D. 90°【考点】HP:正弦定理.【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinBF,结合B的范围即可得解B的值.【解答】解：.ai/lb, A=120°,sirA sinB,可得：sinB=-又.BC (0°, 60°), B=30°.故选：A.7. 一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用

10、分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为()A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【考点】B3:分层抽样方法.【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求.【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 六% =L则应从男运动员中抽出的人数为 生9+5|Ir_ 2 _49X=14,故选：C8.已知 tan a=2,则 tan ( a-)=()D. - 3【考点】GR两角和与差的正切函数.【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值.,Ki tgCl -1 ；1|【解答】解：.tana=2,则tan ( a-)二皿

11、门口 三、故选：B.9 .圆x2+y2=1与圆(x+1) 2+ (y+4) 2=16的位置关系是()A.相外切B.相内切C.相交 D.相离【考点】JA圆与圆的位置关系及其判定.【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可.【解答】解：圆x2+y2=1的圆心(0, 0)半径为1；圆(x+1) 2+ (y+4) 2=16的圆心(- 1,-4),半径为4,圆心距为： 后宙=/17,半径和为5,半径差为：3, VnE (3, 5).所以两个圆的位置关系是相交.故选：C.10 .如图，圆O内有一个内接三角形 ABC,且直径AB=2, /ABC=45,在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在

12、三角形 ABC内（阴影部分）的概率是（）A.奈B.奈C.奈D,+【考点】CF：几何概型.【分析】根据题意，计算圆。的面积S圆和4ABC的面积S.abc,求它们的面积比即可.【解答】解：圆O的直径AB=2,半彳全为1,所以圆的面积为Sh=兀?12=冗； ABC的面积为 &abc=？2?1=1,在圆O内随机撒一粒黄豆，它落在 ABC内（阴影部分）的概率是c SAABC 1P= =_ S圆兀'故选：D.二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11 .不等式x2 - 5x< 0的解集是 x| 0& x0 5.【考点】74： 一元二次不等式的解法.【分析】把不等式x2

13、 - 5x< 0化为x （x-5） <0,求出解集即可.【解答】解：不等式x2 - 5x< 0可化为x （x- 5） < 0,解得00x& 5, .不等式的解集是x| 0<x< 5.故答案为：x|0&x05.12 .把二进制数10011转化为十进制的数为 19 .【考点】WC: mod的完全同余系和简化剩余系.【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.【解答】解：10011（2）=1+1x2+1x24=19故答案为：1913 .已知函数f （x） =Asinwx （A>

14、;0,>0）的图象如图所示，则A,的值分别是2 .【考点】HK：由y=Asin (肝协的部分图象确定其解析式.【分析】根据图象信息即可求出A,的值.【解答】解：根据图象，可知最高点为 3,最低点-3,. A=3.2JI从图可以看出周期T=兀，即丁” .ci)=2.故答案为：3, 2.14 .已知函数 f (x) =4-log2x, xC 2, 8,则 f (x)的值域是 1,3.【考点】34:函数的值域.【分析】由xC 2, 8上结合对数函数的单调性，即可求出函数的值域.【解答】解：:函数f (x) =4-log2x在xC 2, 8时单调递减，当x=2时函数取最大值4 - log22=3

15、,当x=8时函数取最小值4 - log28=1,函数f (x)的值域为1, 3,故答案为：1, 3.15 .点P是直线x+y-2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小 值为的T .【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值.9【解答】解：圆心(0, 0)到直线x+y- 2=0的距离d/=/L再由d r=6 1, 知最小距离为也-1 .故答案为：V2-1.三、解答题(共5小题，满分40分)16 .如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：(1)某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中

16、用m表示，若甲运动员成绩的中位数是 33,求m的值；(2)估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在 20, 40内的概率.【考点】CC列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA:茎叶图.【分析】(1)由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出 m.(2)由篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间20, 40内，能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在20, 40内的概率.二33,【解答】解：(1)由茎叶图性质得： 中位数为: 解得m=4.(2)二篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间20, 40内,可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在20, 40内的概率为17 .已知向量

17、W二(sinx, 1) , b= (2cosx, 3) , x R.(1)当E二选时，求实数人和tanx的值；(2)设函数f (x)=且?b,求f (x)的最小正周期和单调递减区间.【考点】GL三角函数中的恒等变换应用；9R:平面向量数量积的运算.【分析】(1)根据向量的运算性质，向量相等即可求解.(2)根据函数f (x) m?5,求出f (x)的解析式，即可求出f (x)的最小正周期和单调递减区间.【解答】解：(1)向量 a= (sinx, 1) , b= (2cosx, 3) , xC R.当b|=履时，可得r 1=3t3sinx=2cosxX 1=3»2,即 tanx=T.(2

18、)函数 f (x) =a?C, .f (x) =2sinxcosx3=sin2x+3.，一,2兀- f (x)的最小正周期T二一-一 - f (x)单调递减.冗3 K贝U十2k冗十2kn，kCZ,1行：/.f(x)的单调递减区间为丁18.如图，在三棱锥P- ABC中，平面PAB,平面ABC PAB是等边三角形，AC± BC,且AC=BC=2 O、D分别是AB, PB的中点.(1)求证：PA/平面COD;(2)求三棱锥P-ABC的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS直线与平面平行的判定.【分析】(1)由O、D分别是AB, PB的中点，得OD/ AP,即可得PA/平面COD.

19、(2)连接OP,彳# OPX面ABC,且OP辛X 2啰哂.即可得三棱锥P- ABC的体积 忖一吟小2%也邛.【解答】解：(1) ;。、D分别是AB, PB的中点，. OD/ AP又PA?平面COD, OD?平面COD. PA/ 平面 COD.(2)连接OP,由4PAB是等边三角形，则OP±AB又平面 PAB1平面 ABC OP±面 ABC,且 OP=x?M哂.三棱锥P-ABC的体积V=e祝乂22X戈上吃.19.已知函数f (x) =2+的图象经过点(2, 3) , a为常数.乂1 a.(1)求a的值和函数f (x)的定义域；(2)用函数单调性定义证明f (x)在(a, +o

20、o)上是减函数.【考点】3E：函数单调性的判断与证明；33：函数的定义域及其求法.【分析】(1)把点(2, 3)代入函数解析式求出a的值；根据f (x)的解析式，求出 它的定义域；(2)用单调性定义证明f (x)在(1, +OO)上是减函数即可.【解答】解：(1)函数f (x) =2+;，的图象经过点(2, 3),X 日.-2+-=3,解得 a=1；.f (x) =2+7,且 x- 1w0,则 xw 1 ,函数f (x)的定义域为x|xw 1；(2)用函数单调性定义证明f (x)在(1, +oo)上是减函数如下；设 1<Xi<X2,则 。-、 一I_些三f(x1)-f (x2) =(2+町一1)-(2+为-)=&_)(町T),1<Xi<X2, ；X2 Xi>0, Xi 1>0, X2 1>0,f (Xi) >f (X2),.f(X)在(1, +oo)上是减函数.20.已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn,且an2+an=2$, nCN*.(1)求 ai 及 an；(2)求满足Sn>2