高三数学备考冲刺140分问题07函数与方程不等式相结合问题含解析19

1、问题07函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容 ，求值的问题就要涉及到方程 ，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数 ，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段二、经验分享（1）确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.（2）判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.-X*十甚xW 1解析】

2、对任苣的圣士W区都有/区）"区）成立即汽"玉式。必观察回工工31的图象可知，当工=；时，函数,在）叽二；因为式处二|光一上+仍一1竦工一左一伊1）日上T|,所以 ,一g工日二|4一1|.所以JkTR；解得左w；或上岂;，故答案为或左44444【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质，主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题.注意不等式：|a| |b|对a,b R是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广 ，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，它们是高考中考查的重点，所以在教

3、学中我们应引引起高度的重视.（.3d+6工工之G【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数，若恰好存在3个切一A整数x,使得 -U成立，则满足条件的整数a的个数为()A. 34 B. 33 C. 32 D. 25【答案】A【解析】画出f X的函数图象如图所示： I.1 1 4 I兰 £>口时,左)之知当芯<0时，a > /(X),'/(?) = -3><9 + IS = -9 f f (4) = 3x164 24 = 2工 /(一1)+4 =2,/!_-?!=-(-3-3乂(-3/+ 4 = 4,T J三一1T7-3x (-4十4三

4、20，当口哎0时身一24M<?W9y当00口时，口三0与2三口 £ 3 j当白3吐4玉门2”恰好存在3个整数肛使得空史上0成立，整数。的值为-23,-22,-9 x及0, 2, 3, %5，9,共找个，故选白(三)函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合 ，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜

5、明的程度.因此，在高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视.【例3】已知函数=凡式力二±，其中ma均为实数.C;求g(x)的极值；(2)设m 1,a 0,若对任意的xi,x2 3,4 (x X2),""一""厂彳丽|恒成立，求a的最小值；成立，求设a 2 ,若对任意给定的xo(0,e,在区间(0,e上总存在(tit?),使得 m的取值范围.【分析】(1)求g(x)的极值，就是先求出g '(x),解方程g '(x) 0，此方程的解把函数的定义域分成若干个区间，我们再确定在每个区间里 g '(x)的符号，从而得出极大值或极

6、小值；(2)此总是首先是对不等式I/-*w)| H1以石一蒸国 恒成立的转化，由(1)可确定f(x)在3,4上是增函数，同样的方法(导一，一 一一一1数法)可确7E函数在3,4上也是增函数，不妨设x2x1 ,这样题设绝对值不等式可变为f(x2)g(x)f(xi)1g(x2)g(x)/(Xt) < /(x)li(x) - f(x)-,整理为八以三)八卬或刈，由此函数在区间I或1廿口-1)七八一3,4上为减函数，则Ma)i-一二一W0在(3,4)上恒成立，要求a的取值范围.采取分离参数法-J得+工尸一 恒成立，于是问题转化为求一 在3,4上的最大值；(3)由于x0的任意 X1性，我们可先求出

7、g(x)在(0,e上的彳t域(0,1,题设“在区间(0,e上总存在t1,t2(t1 t2),使得f(t1)2 一 2f(t2)g(x0)成立"，转化为函数f(x)在区间(0,e上不是单调函数，极值点为一(0 e),其次m m_ 22f(e) 1,极小值f(一) 0,最后还要证明在(0,一)上，存在t,使f(t) 1,由此可求出m的范围.mmr、 eQ -j)【解析】(1)= -jp一,令 g (x) 0,得 x = 1 .【点评】本题主要考查了导数的应用，求单调区间，极值，求函数的值域，以及不等式恒成立等函数的综合应用.对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想，在运算过程中要细心，不可

8、出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系，还应注意转化的思想和数形结合的思想应用.有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现，要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值，然后进行比较，最大的函数值就是函数的最大值 ，最小的函数值就是函数的最小值 .【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在 0,的函数T4K(1 -刈， 若关于x的方程尸+('-3)/(句+工-2=。有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合【答案】【解析】设

9、g（# = /+（F-3” + f-2爸才=2时j=Oj=l显标合题意Z2时正一负根:义（0）0=41）0方程的极大于工尸（工匠（力工）+】-2 = 0只有1根；D2时两根同号:只育胞-个正根在区间（0= 1）而且二L工£=二E - 0,对称轴¥ = ?£（0）：】73.4=0 =5±20,所以25 20.所以取值集合为25入耳裁答新五、迁移运用1.12019届广东省汕头高三上学期第二次联考】 设函数（制是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数 恒二FIX,当还.1刎,电）=/若我）的“吟在在（后8）上有且仅有三个零点,则H的取值范围为（）A. 35

10、B .伍| C . （3,5） D . 16）【答案】C【解析】1=曲。-fw=。.二 rw m,'/CO是偶曲教,根据困贯的周期和奇偶性作出外唠的图象如图所示：二（约一£>力工在工=9 +8）上有且仅有三个零息,-y = f CO和7 = 1口%£的图象在（o,+s）上只有三个交点, 结合图象可得0。九3-logn5 > 1 解得MVqCS,（a > 1应财）式-%-b）都在函数（儿B与8/为同一对）.函数即上的苑围是靠，故选匚2.12019届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中，如果相异两点y=f（x）的图象上，那么称为函数y = fO

11、）的一对关于原点成中心对称的点=， JF COSXjX 0 帖9严肃。的图象上关于原点成中心对称的点有（A. 1对 B . ?对 C . S对 D . 7对因为'''叫* > "关于原点对称的函数解析式为所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数,加0式一冷,2<0图象交点个数,FT同一坐标系内，画出y =y -嗝（一卯< o图象，如图,由图象可知，两个图象的交点个数有5个,的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.3.【2019届山东省济南高三 11月调研】已知函数 "工）=/ + 2-/与心"必式）的图象上存在关

12、于j轴对称的点，则口.的取值范围是（）A.(-3/1 媳)B .(- 9C12 C .【答案】B【解析】依题意I存在加 U 使得六一或0）三。也）、即脸|十2-一；三%|十log式和十的;因而2三二式或口十a）i即图数y = 2T 三与"1。史缶+a）的图像在（口，+00）上有交点j如图所示m可 工1fcJ知若困列3,二L二 与7二】胆0-G的图象在上有交点1则当父=0 时，满足logn（O-Ki） < 2®-；<；010 < n < v"2 才易知当B 三。时J 函数y = L _ ：与y =1暇（苴+ w的图象在+叼上恒有交点,古处的取

13、值范围是（-%、J故选不rxinx- 2xfx>C|f （x） - ffw -j-1 = 04.【2018届安徽省芜湖市高三一模】已知函数"刘=1 J+5=。，若方程恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）113 11A. （一1,一§） B . （- L-） C .（一T一5） D .（一 乙一 5）?2 3由1y = mx- 1与y = l + f相切选B.mi - 1与y =上加k -/ 相切得设切点1如图可得实数m的取值范围是刀5.【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知定义在川上的函数*）,当工4。2时，且对于任意的实数，都有jq-i）,若函数有且只

14、有三个零点，则。的取值范围是（）A. 2,W| B . （%历W访）C 2.10） D .也«可【答案】B【解析】,Era « > 1 rloti.A < 4 比 Jn 10>2«*. v2<(J< (TU 、4已知函数工）二由图可知 “口 网 ' Y ,选B.13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，10】解集为（）A.-11- B(tJTC) r C.1 ln2,1 d , 1,1 ln2【答案】B【解析】因为当x 1时，/G"2 + x之2 ；当x 1时，/二年 C ,所以丁0r3）" 2 ,

15、等价于f(x) 1,即 2ex11,解得x 1ln2,所以/VW) <2的解集为，故选B.14.12017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数/X工）二八"l口（a R,e为自然对数的底数），若曲线y sinx上存在一点（*000）使得0%"="，则2的取值范围是 【答案】1,e【解析】由题设及函数的解析式可知'所以0 y 1 .由题意问题转化 为“存在x 0,1,使得“7m 二，有解"，即在0,1有解，令心）=,t-+x则卜"H,当x 0时，函数“3” 7 +算是增函数；所以0 x 1,当h(0) <方(44夙

16、1)h（x） e.所以1,e，故应填答案1,e .15.12019届天津市三校联考】已知函数g(x) = f(x) - 4,若函数有两个零点，则实数-的取值范围是【答案】-1 C由 0【解析】作匕困额月灯=的图象, 占X_I- V令gGO = Q可得f GO 二 b ：画出直线丁二。二平移可得当一1匚匕C 00寸，直线7 =替呢EI繇y =月外有两个交点；则式灯的零点有两个,故匕的取值范围是一【*%故答案为一1 V匕V 016.12019届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数/（幻在打上连续，对任意FER都有#1闯都有勺）/-"喇H。/（-3-.t） = Al + #

17、；在:“. 1）中任意取两个不相等的实数若f（2a则实数口的取值范围是.【答案】卜叫：卜（1什8）【解析】由f（ - 3 T）=网1 + "可知函数/（对关于直线,二_I对称；在_j_ 1）中任意取两个不相等的实数 打勺，都有g72力出）“八。）卜”恒成立；可知函数幻在区间（-g,- 1）上单调递减，由对称性可知函 数，（£在区间（-L + g:上单调递增，不妨设 用"U + 1W,则由 3-D<，3h-2）可得14a1 < （3a - 1/+ 1 > 0i，整理得，即，解得白工;或u > 1 ,所以实数口的取值范围kJ是（以ju£

18、;L + 8）.（-L0）U（O 4-r）19.定义在' 一 ,' 一 ' 上的函数 f（x）及二次函数 g（x） 满足：1+ M £（1） = -3） = 3“工）一2八与二由二,八，不' ，且g（x）的最小值是1. x H（I ）求f （x）和g（x）的解析式；（n）若对于Xi,X2 1,2,均有W.句一工/（七）-21口2-2成立，求实数a的取值范围;(ID)设忒*> ="顼（至>0）中河切=-1式j（）（xwuy讨论方程的解的个数情况.【答案】（I） 二一1叱1）押正/+2、（n） （,4（出）三个解.【解析】（I了3-2

19、/d）=En加汽37人力=瓜凤工+1）小 X Xx由联立解得* /（<）=-hio+i）j虱工）是二次函数，可设gCx） = .<r-徵、/a = 01-3又gQ）二g（-3） =工抛物缄对称E妫上=-1.揖=-1.一根据髭意函摆有最小值为汽=-L，廉6 =A（xy-i.又冢1） = /1 + 1尸_ = 3 = ."=：故卮（x） = （h411： _ = Y + 2m(n)设 - 一一 ,.-I- -一一 依题意知：当1 x 2时,F'8 - y- -x+1X3+H - 2=g+2乂工一。之0x+1x+1,F（x）在1,2上单调递增，G111 二 口 - 3

20、M 0,：G（2 卜力+8£0,解得24,实数a的取值范围是（，4；（出）图像解法：（x）的图象如图所示： 令T二 T1 =-1 工=01（x），则（T）1而（x）1有两个解，（x） e 1有1个解.代数解法；令丁=a幻则l（1）由啊T）=T 得;T：-2F = K7WG 或1江丁 + 1） = 7（T ）6：解得 7；=TJ>"L若心=五=-1,贝户2-皿。）或-皿。）什底工)=£ = C- 口>工 + 2工二。一1(x30) -ln(x41) = e-l(jr>0) 若”.上 ，则' )或 由/ * "叱°）解得覆

21、=M 7而一皿日1）= 0）无解综上所述，方程，"双-1共有三个解.20.已知函数 /（工）"_"."*1"好夫.（1）讨论f x的单调性;（2）证明：当X 0,1时,（3）若函数f x有两个零点x,x2，比较f x+x2与0的大小，并证明你的结论2）上递增；a 1时,f （x）在（0,）上递增；a 0时,f汽）在（0,1）【答案】（i）a1时,f （x）在（0, 1）上递增，（2,1）上递减，（1,aa上递增；1 a 0时,f （x）在（0,1）上递增，（1, 1）上递减，（1 aa上递增，在（1,）上递减；（2）见解析；（3）,六1>

22、0.解析】（1）/二一9WX口之。时，.在<0,1）上递增在（L+电上递减JO&vO时f （乂）M的两根为J aA.工=1 .即q = l时;f 3 在（。：+均上通埼 a尻一即口<T时f（G在（03上递膘LLd上递减十。上递增J raa且八）=-1+上+以-3<0；故此时一工）在Q+工）上有且只有一个零点. a La aC. ->lP-l<a<O0tf U）在D上递坡怯3上堪咸（Lm）上递增： £td?£1目，=9故此时f （x）在（Or8上有且只有一个零点,，1， 1，、 一 、，.综上所述：a 1时,f （x）在（0,一）上递