《概率论与数理统计》习题三答案

1、概率论与数理统计习题及答案习题三以Y表示三次中出现正面次数与1?将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数,出现反面次数之差的绝对值？试写出X和Y的联合分布律？【解】X和Y的联合分布律如表01一8Jl 1 1 13C3 p x x := 2 2 280|1 1 1 C3L J-x-x- = 3/82 2 201111_ X X _ =2 2 282搐子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y 表示取到红球的只数？求 X 和 Y 的联合分布律？【解】X和Y的联合分布律如表01230*00C2uc；3c3LJC2C435c43510C； tLC2

2、6c3Lic； ljc；12c3 _L2c：-35c4-35c4-352P （0黑,2红,2白）=c比上6c2uc230cjCC /c; =35C4一 35c4-353?设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为_ ,、sinxsiny, 0 兰 卫,0八丫 兰一F （x,y）二 八220,其他.求二维随机变量（X, Y）在长方形域一，一y?内的概率？j4 6 3,【解】如图P0 <X兰n, n<Y <n公式（3.2）4 63n n n n n , nF （; ） -F （: ） -F （0,弓灯（0,-）4 34 636n |nn nininsin sin -sinsin-

3、sin 0 sinsinO sin434 一63 一 6说明：也可先求出密度函数,再求概率口4被随机变量求：（i）（2）（3）m（i）(2)题3图(X, Y)的分布密度f (x, y)=常数A；随机变量（P0 <X<1X,0, Aej 1 2 3。), x0,y：>0,Y）的分布函数;0<Y<2.-he -be由;一：f(x, y) dxdy =A=12由定义，有-be -be(3x -U y)A dxdy-叮(.3-1).4y xF(x, y) ! j f(u,v)dudv|(y *2e*dudvjldx)(1-e'y)y 0,x 0,0,0,其他 P0

4、 乞 X ： : 1,0 乞 Y: ： 2二 P0 X 汨，0 : 丫 岂 21 2=LAeWTOdxdyNl ejl ) 7.9499.5被随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y) = J k(6 - x-y), 0 c x v 2, 2 c y < 4,、-0,其他.f(x, y)dxdy = 0 ? k(6 - x - y)dydx =8k =1,?二?二0A21故R =813(2) PX : ： : 1,Y ： : : 3 = _ f(x,y)dydx1 33k(6xy)dydx = - 0 2 88 PX : 1.5 11 f (x, y)dxdy 如图 f (x, y

5、)dxdyx ：1.5D11.541270 dx (6 - x - y)dy .02 832(4) PX Y _4 =f (x, y)dxdy 如 s i f (x, y)dxdyX Y -4D2<a)(b)13题5图6.设X和Y是网个相互独立的随机变量，X在（0, 0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为&,yfY （y） = *y 0,J.(2) PY<X.其他.求：（1） X与Y的联合分布密度;题6图【解】（1）因X在（0, 0.2 ）上服从均匀分布，所以X的密度函数为4 求 PX+YW 4.【解】（1）由性质有I fx (x) ?0.20 ：x ： 0.2,0,所以f

6、Y( y) = 5e 70,y 0,其他.f(X ,y X Y 独立 fx xf) y ()1 5eAy0.20,2 2) P(Y 乞 X) = f (x,y)dxdy25e0,如图Ay25e' ydxdyx 二 0.2 且0,0.20.2 x=L dx )0 25e ydy = 0 (-5e +5)dx-1=e : 0.3679.7世二维随机变量(X, Y)的联合分布函数为C/a4X "F( x, y)_2y、(1 e )(1 e ),x 0, y 0,其 他.0,求（X, Y）的联合分布密度【解】f （x, y）二r2F(x, y)g/x 戈I)0,x 0, y 0,其

7、他.8被二维随机变量（X, Y）的概率密度为f( x,4.8y(2x),0 Ax 乞 1,0 乞 y<y) :x,=0,其他.求边缘概率密度？【解】fX (x)二.f (x, y) dyf-0乞X八1,其他 .! 4.8y(2-x)dy 2.4x (2 x), 0,fY( y) ：f( X, y) dx0,4余田(2 -x)叭2心3-的y2),O0乞y乞1, 其他 .9段:维随机变景f (x,y) = *_ye , 00y求边缘概率密度.【解】fx(x) = f (x, y)dyr七口=x edy 二x 0,0, 0,其他.fy(yA . .'.'f (x,y)dx=0

8、叫ye:y 0,c0,其他.0,1w0X题10图x2乞y岂 1,其他？10.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f 2f (X, y)=' CX y,0,(1) 试确定常数C;【解】(1)(2) 求边缘概率密度？I ,1 f (x, y)dxdy 如图 f (x, y)dxdyD1124=-1dxx2 cx 涨 dCT21 c .4fx(x)二：f (x, y)dyi 21I 12x2 42X2ydy0,21 24X2(1X4), 一1 空 x 乞 1, 80,其他.fY(y)： f(X,y)dXyA2ydx72y0.0,11.设随机变量(X, Y)的概率密度为f(X, y) =?0

9、,0辽y乞1,y : x, 0 :x : 1,求条件概率密度fYl X (y I X), fxlY ( X I y)题11图【解】fx(x) = . _ f (x, y)dy-oQ X ! ! 1dy =2x,0 : x : 1,0,其他.卢1Jjdx = 1 +y, T c y £,1fY( y) = Jf(x,y)dx = H1dx = 1y, OEy c1, COy0,其他？i所以fYix(y |x)1f(x,y) X I y| :fx(x) x : : 1,0,其他.y 二 x < 1,17,17fxY(x| y)二-yx :1,f(x, y)JfY(y)0,12.袋中

10、有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记送他个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y.(1) 求X与Y的联合概率分布；(2) X与Y是否相互独立？【解】(1) X与Y的联合分布律如下表Y X345PX =Xi111C； = 1022=1C3C1033C3C 10641 02011CI =1022&一 10310300dd11一10丁10PY =yi1103106106 16 1(2)因 PX =1LPY =3故X与Y不独立PX -1,Y-310 10 100 10(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2) X与Y是否相互独立？m (1)x和丫的边缘分布如下表j -Y258p

11、 Y=y-0.4515S300350.80.80.050J20.03ONP x = xj0.20.4203813.设二维随机变量(X, Y)的联合分布律为2580.150.300.350.050.120.03(2)因 PX =2LPY =0.4 =0.2 0.8 =0.16 = 0.15 二 P(X = 2,Y = 0.4),故X与Y不独立|Y的概率密度为14被X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布,1 J/2 fY(y) =e ,y 0，i0, 其他.(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为a一 (2X) -4Y_0+2Xa+Y=0 ,试求a有实根的概率

12、.陶因fX (x) ?;其1仃，y1,fY(y) =c20, 其他.Le"2故 f(x, y)X,Y 独立 fx (x)Lfy (y尸二 21,y 0,10, 其他.()题14图2(2)方程a 2Xa Y =0有实根的条件是P X2 _ Y f (x, y)dxdyX23故X2绍，从而方程有实根的概率为：-0叫x2百寸/2dy二1 一 .2:(1) 一( 0)-0.1445.15被X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)，弁设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为求Z=X/Y的概率密度211000f( X) =x2x 1000,其他.X【解】如图,Z的分布函数Fz二PZ

13、乞z = P z当 zwo 时，Fz(z) =0当0<z<1时，(这时当x=1000时,y= 皿)(如图a)zyz 10603?dxz15图b)zy 106J当zAi时，（这时当y=10* 时，x=103z)(如图Fz (z)Fz (z)106说r dxdy 二i03dy 1xX、'一106乂yAxydxdy 二 dy 110只,16被某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N( 160, 20 2)分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于 180的概率.1=1 一一2z严了 103 106=f-103 ，2 y zy冷，z-1,fz(z)二z20,0 : z : 1,

14、其他.fz(z)二1尹120,-1,0 z :其他.1,【解】设这四只寿命为 Xi(i=l,2,3,4),则XiN ( 160, 202),从而Pmin(X!,X2,X3,X4)_180Xi之间独立 PXA 1801P伊八 180PX3 _180LPX 4 _180180=1-P* c180_fP XU 8 0PX <_ 18P>X1 二1 - P X!：_460-180180 4 = a i18020二1 -门4 =(0.158) 4 =0.00063.17殁X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p( k), k=0, 1, 2,，PY=r=q (r), r=0,

15、 1, 2, 证明随机变量Z=X+Y的分布律为iPZ=i=' p(k)q(i k) , i=0, 1, 2,k=0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以Z 二 i二X Y =i二X =0,Y =i UX =1,Y 二 i -1U - UX 二 i,Y = 0于是iiPZ = i二悬 PX =k,Y =i-kX,Y 相互独立'P X =kLPY =i - kk zQk=0i八 p(k)q(i k) k £18殁X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n, p的二项分布？明Z=X+Y服从参 数为2n, p的二项分布？【证明】方法一：X+Y可能取值为0, 1,

16、 2,，2n.kPX Y 二 k二'PX 二 i,Y 二 kii =032八 P(X =i)|_PY 二 kik fn"n乞i k7 Q 人.Ki=0 k(n二z i =0Jr |pqk _i n_k ip q 一k.p qk 2n _kp q2n上方法二：设 比禺，；s叮，人均服从两点分布（参数为p）,则X= s+ M2+ + s, Y= s ' -+' +',X+Y= s+ M2+- + Mn+ s' + ' +? +', 所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.19被随机变量（X, Y）的分布律为3450120123

17、00.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2)求V=max (X, Y)的分布律；(3)求U=min (X, Y)的分布律；(4) 求W=X+Y的分布律.【解】(1) PX =2|Y =2=PX =2,Y =20.050250.25PY 二 2PX=2,Y=2飞x PX 二 i,Y =2i =0PY =3|X =0=PY = 3, X = 0PX =0PX =0,八33'PX =0,Y

18、 = jj =00.01 10.033(2) PV 二 i二 Pmax( X,Y)二 i二 PX 二 i,Y ： : i P X G,Y 二 ii 4i八 PX 二 i,Y =k PX =k,Y =i, i = 0,1,2,3,4,5k =0k=0所以V的分布律为V=max(X,Y) 00.040.160.280.240.28PU罚 = Pmin( X,Y) =i=PX =i,Y _i PX i,Y =i3工嘉k 4PX5i,L k ' PXk 4 1k,Yii =0, 1, 2,3U=mi n(X,Y)P00.2810.3020.2530.17(4)类似上述过程，有W=X+Y 10.

19、020.060.130.190.240.190.120.05【解】因(X,Y)的联合概率密度为f (x, y)二TR*2'x2y2乞R2,(1) PY 0|Y X其他.PV V题20图杖PY AX.f(x,y)d -y 0y x.f(x,y)d 匚y xx/40设 M=maxX , Y,求 PM >0.3/81/2 PM .0 =Pmax( X,Y) .0 =1-Pmax( X,Y) 乞 01 = 1 PX 乞 0, 丫 乞 0=1 f(x, y)d 二=14X里4y ?®21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e 【解】因 PY = yj二 Pj

20、 = 'P X = X j, Y = yj, i =1 故 PY 二比 =PX =X1,Y ryd PX =X2,Y ryd, 1 1 1 从而 P八 Ax1,Ay1. 824所围成，二维随机变量（X, Y） 在区域D上服从均匀分布，求（X, Y）关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少？【解】区域D的面积为的联合密度函数为=2. (X,Y)2So=一 dx=lnx :1 x1 2 1,1 _ x _ e ,0 : y , f(x,y)二二 20,其他.（X, Y）关于X的边缘密度函数为仁x乞e2,其他.1/x 1! ! - dy fx(xN 2'2x0,1 所以 fX(2)

21、一.422.设随机变量 X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（ X, Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处y1y2y3PX=Xi=piX1 x21/81/8PY=yj=pj1/61而 X 与 Y 独立，故 px 二 Xi|_PY 二 yj二 PX 二 Xi, Y 二 yi, 从而 P X 二 xi1 =PX =为,丫=%=-又 PX 二为 =PX 二冷 丫 =yd PX =Xi,Y *2 P X =Xi,Y =3,=，显 +PX FY = y 3,24 8，呵从而PX =% Y二3 ,12同理 PY = y2=2,PX =X2,Y = y2二又&#

22、39;PY=y j=1,故j 1同理 PX =X2从而PX =X2, Yn ys二 PY 二 ys-PX =%,丫二33 12y1y2y3PX =x = PX11241811214X2183一81一434PY = yj = Pj161213123殁某班车起点站上客人数X服从参数为 久？>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （ 0<p<1 ）,且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1 ）在发车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（2）二维随机变量（X, 丫）的概 率分布.【解】(1) PY=m|X= n =C : pm(1 p)num,0

23、兰 m 呢 n, n = 0,1,2,ill. PX n,Y =m =PX =nLPY =m|X =nm mn m6 P (1-P) 一 , n < m < n,n = 0,1,2n!24殁随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为x 03，而Y的概率密度为f(y).求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).m 设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为2|X = 2G(u)二 PX YAu =0.3PX Y Eu|X =1 0.7PX YAu|X =2=0.3PY Eu -1| X =1 0.7PY Eu由于X和Y独立，可见G(u) =0.3PY 空 u -10.7PY 乞 u 2=0.3F(u -1) 0.7F(u -2).由此，得U的概率密度为g(u) =G (u) =0.3F (u -1) 0.7F (u -2)-0.3f(u -1) 0.7f (u -2).25. 25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 Pmax X,Y w 1.解：因为随即变量服从0 , 3上的均匀分布，于是有1f(x)二 30 辽 xA3,1f(y)二