统计4假设检验

1、设总体设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，为一组样本，1:2已知已知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间： (1)选择包含选择包含的分布已知的函数的分布已知的函数:/XUn )1 ,0(N(2)构造构造U的的 一个一个1-区间区间:22()1/XPuun 2 ()12u (3)变形得到变形得到的的1-置信区间置信区间:22(,)XuXunn 置信区间求解步骤：置信区间求解步骤： (4)带入数值带入数值, 得到具体的区间得到具体的区间.2:2未知未知,求求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间： (1)选择包含选择包含的分布已知函数的分布已知函数: (1)/XTt

2、 nSn (2)构造构造T的的 一个一个1-区间区间:(|(1)1P Ttn(1)(1)1SSP XtnXtnnn (3) 得到得到的的1-置信区间置信区间:(1),(1)SSXtnXtnnn (4)带入数值带入数值, 得到具体的区间得到具体的区间. 3:求求2置信度为置信度为1-的置信区间：的置信区间： (1)选择包含选择包含2的分布已知函数的分布已知函数:2222(1)(1)nS n (2)构造构造 的的 一个一个1-区间区间:22121P 2222122(1)(1)(1)1nSP nn (3)变形得到变形得到2的的1-置信区间置信区间:2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn

3、 (4)带入数值带入数值, 得到具体的区间得到具体的区间.一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理二、假设检验的一般步骤二、假设检验的一般步骤四、一个正态总体的假设检验四、一个正态总体的假设检验第八章第八章 假设检验假设检验三、假设检验的两类错误三、假设检验的两类错误一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理此时常常作出适当的假设此时常常作出适当的假设, ,然后进行试验或然后进行试验或观测观测,得到统计样本得到统计样本,构造统计方法进行判断构造统计方法进行判断,以以 在实际工作中常会遇到这样的在实际工作中常会遇到这样的问题：问题：（1）某药物在改进工艺后的疗效是否有提高？）某药物在改进工

4、艺后的疗效是否有提高？（2）假定总体服从某种分布是否成立？）假定总体服从某种分布是否成立？如何通过抽检的样本对上述问题做出如何通过抽检的样本对上述问题做出判断判断？决定是否接受这个假设决定是否接受这个假设.假设检验假设检验就是这样一种统计推断方法就是这样一种统计推断方法，根据样本提供的信息对所提出的假设作出根据样本提供的信息对所提出的假设作出判断判断: : 是接受是接受, , 还是拒绝还是拒绝. .假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验总体分布已总体分布已知，检验关知，检验关于未知参数于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的假设检验问题总体分布未知时的假设检

5、验问题且只考虑正态总体期望方差的检验且只考虑正态总体期望方差的检验.我们讨论对参数的假设检验我们讨论对参数的假设检验 ,请看下面的例子请看下面的例子 生产流水线上罐装可乐不生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运断地封装，然后装箱外运. 怎怎么知道这批罐装可乐的容量是么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？否合格呢？罐装可乐的容量服从正态分布罐装可乐的容量服从正态分布,标准容量为标准容量为350毫升毫升,标准差为标准差为2.通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查. 很明显，不能由很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产的情况下就判断生产 不正

6、常不正常,停产损失很大停产损失很大. 当然也不能总认为正常，有了问题不能及时当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失发现，这也要造成损失. 如何处理这两者的关系，假设检验面对的就如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾是这种矛盾.如抽查如抽查5罐，得罐，得5个容量的值个容量的值X1，X5，根据这，根据这些值来判断生产是否正常些值来判断生产是否正常.它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设为原假设（或基本假设或零假设）；（或基本假设或零假设）；称称H1为备选假设为备选假设（或对立假设）（或对立假设）.在实际工作中，在实际工作中，往往把着重考往往把着重考察且便于处

7、理察且便于处理的假设作为原的假设作为原假设假设. 0 H0：（ =350)0 H1：0 由抽样，我们可以认为由抽样，我们可以认为X1,X5是取自正态是取自正态总体总体 的样本，的样本，2( ,2 )N 现在要检验的假设是：现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？处？应由什么原则来确定？较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当X- |0 生产已不正常生产已不正常.当当较大时，应认为较大时，应认为H0不成立，即不成立，即-

8、 |X|0 由于由于 是正态分布的期望值，它的估计量是样本是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值均值 ，因此，因此 可以根据可以根据 与与 的差距的差距XX 0 来判断来判断H0 是否成立是否成立.X- |0 X问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差它反映了偶然、非本质的因素所引起的随机波动它反映了偶然、非本质的因素所引起的随机波动. 然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限

9、度，则我们就不能用抽样的果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了随机性来解释了. 必须认为这个差异反映了事物的本质差别，必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常即反映了生产已不正常.这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差” 问题是，根据所观察到的差异，如何判断问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？不正常？即差异是即差异是“抽样误差抽样误差”还是还是“系统误差系统误差”所引所引起的？起的？这里需要给出一个量的界限这里需要给出一个量的界限 .如何给出这个量的界限？如何给出这个

10、量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生 . 现在回到我们前面罐装可乐的例中：现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝后，如何作出接受和拒绝H0的结的结论呢？论呢？ 在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水显著性水平平，用，用 表示表示. 常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。 .05. 0,01. 0, 1 . 0 罐装可乐的标准容量为罐装可乐的标准容量为350毫升毫升,标准

11、差为标准差为2, 一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n 罐，罐，测得容量为测得容量为 X1,X2,Xn，问这一批可乐的容量是问这一批可乐的容量是否合格？否合格？提出假设提出假设选检验统计量选检验统计量0XUn N(0,1) |2uUPH0：0350 H1： 350由于由于 已知，已知， 它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知 .0|X 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ， 可以在可以在N(0,1)表中查到表中查到分位点的值分位点的值 ，使，使2u 故我们可以取拒绝域故我们可以取拒绝域(否定域否定域)为为:也就是说也就是说,“2| uU

12、 ”是一个小概率事件是一个小概率事件.W：2|U |u 如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝；否则，不能拒绝H0 . |2uUP2 u称为临界值称为临界值. 如果如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域量落入区域 W(拒绝域拒绝域) 是个小概率事件是个小概率事件. 如果该统如果该统计量的实测值落入计量的实测值落入W，也就是说，也就是说， H0 成立下的小概成立下的小概率事件发生了，那么就认为率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它不可信而否定它. 否否则我们就不

13、能否定则我们就不能否定H0 （只好接受它）（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：这里所依据的逻辑是： 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对，而只是一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度的程度 .所以假设检验又叫所以假设检验又叫 “显著性检验显著性检验” 在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法了假设检验的基本思想和方法 . 下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤设检验的一般步骤 .二、假设检验的一般步骤二、假设

14、检验的一般步骤 例例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米. 实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布假定服从正态分布 未知未知，现从该厂生产的一批产品中抽，现从该厂生产的一批产品中抽取取6件件, 得尺寸数据如下得尺寸数据如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格? a=0.01分析：这批产品分析：这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全的全体组成问题的总体体组成问题的总体X. 现在要现在要检检验验E(X)是否为是否为32.5.提

15、出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 01:32.5:32.5HH第一步：第一步：已知已知 X),(2 N2 未知未知.第二步：第二步：能衡量差异大小且分布已知能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布32.5 (5)6XttS 第三步：第三步：即即“ ”是一个是一个小概率事件小概率事件 . | |(5)tt 小概率事件在一次小概率事件在一次试验中基本上不会试验中基本上不会发生发生 . 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 = =0.01，查表确定，查表确定临界值临界值0322. 4)5()5(01. 0 tt , ,使使| |(5)

16、Ptt 得否定域得否定域 W: |t |4.0322故不能拒绝故不能拒绝H0 ,即不能认为产品不合格即不能认为产品不合格.第四步第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的实测值, ,| t |=2.997 )= , 即即 ( )=1 /2；2u2u2u2u(4) 根据样本观察值根据样本观察值,计算统计量计算统计量U的值的值u并与临界值并与临界值 比较；比较；2u(5) 若若|u| ,则否定则否定H0, 否则接收否则接收H0 。0 例例3 根据长期经验和资料的分析根据长期经验和资料的分析, 某砖瓦厂生产砖的某砖瓦厂生产砖的“抗断强度抗断强度”x x服从正态分布服从正态分

17、布, 方差方差 2=1.21. 从该厂产从该厂产品中随机抽取品中随机抽取6块块, 测得抗断强度如下测得抗断强度如下(单位单位: kg/cm2): 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03;检验这批砖检验这批砖的平均抗断强度为的平均抗断强度为32.50kg/cm2 是否成立是否成立( =0.05)?X.U N( , ). / 32 500 11 16 .|u|. / 31 1332 503 051 961 16拒绝原假设！拒绝原假设！解：设解：设H0:m=32.50. 若若H0正确正确, 则则 样本样本(X1,., X6)来自正态总体来自正态总体N(32.

18、50, 1.12), 令令2u2u2u即这批砖的平均抗断强度即这批砖的平均抗断强度为为32.50不成立。不成立。2.方差方差2未知未知, 对期望对期望的检验（的检验（t检验）检验） (1) 提出待检假设提出待检假设H0: = 0( 未知未知);(2) 选取样本选取样本(X1,.,Xn)的统计量的统计量, 如如H0成立成立,则则XT t(n)S /n 01 (3) 根据检验水平根据检验水平 , 查表确定临界值查表确定临界值t , 使使 P(|T|t )= ; (4) 根据样本观察值计算统计量根据样本观察值计算统计量T的值的值t并与临界值并与临界值t 比较比较; (5) 若若|t|t 则否定则否定

19、H0, 否则接收否则接收H0 。0 例例4 从从1975年的新生儿中随机地抽取年的新生儿中随机地抽取20个个, 测得其测得其平均体重为平均体重为3160克克, 样本标准差为样本标准差为300克克. 而根据过而根据过去统计资料去统计资料, 新生儿平均体重为新生儿平均体重为3140克克. 问现在与问现在与过去的新生儿体重有无显著差异过去的新生儿体重有无显著差异(假设新生儿体重假设新生儿体重服从正态分布服从正态分布)?( =0.01)XT t()S / 31401920.XPt().,t().S / 0 010 013140190 01192 86120即即查查表表得得|t |./ 316031400 2982 86130020而而如果如果H0成立成立, 则则解：假设解：假设H0:m=3140. 3.关于方差关于方差2的检验的检验( 检验检验) (1) 建立待检假设建立待检假设H0: 2= 02; (2) 如如H0成立成立, 则则222011(n)SW (n) (3) 由给定的检验水平由给定的检验水平 查表