Chap2线性控制系统的数学模型

1、线性控制系统的数学模型线性控制系统的数学模型2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 2.3 2.3 系统组成部件介绍系统组成部件介绍2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2.5 2.5 传递函数传递函数第第 二二 章章构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。如调速系统，温控系统等。如调速系统，温控系统等。 2.1 2.1 引言引言1. 1. 工程最终目的工程最终目的经验法：依靠丰富的经验，加试凑方法。对比较简单系统，可经验法：依靠丰富的经验，加试凑方法。对比较简单系统，可 得到满意结果。得到满

2、意结果。2. 2. 方法方法解析法：复杂系统一般采用解析法。解析法的解析法：复杂系统一般采用解析法。解析法的前题前题是应先建立是应先建立 数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表 达式。达式。 建立数学模型一般较困难，需结合简化和理想化处理手段建立数学模型一般较困难，需结合简化和理想化处理手段2.1 2.1 引言引言3. 3. 数学模型数学模型描述系统内部物理量之描述系统内部物理量之间关系的数学表达式间关系的数学表达式 微分方程微分方程 差分方程差分方程 波特图（频率特性）波特图（频率特性） 传递函数、结构图、信号流图传递函数、结构图、信号流

3、图 状态方程状态方程2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节1. 1. 相似系统相似系统（1 1）位置控制系统）位置控制系统火炮跟踪雷达的伺服系统火炮跟踪雷达的伺服系统运算放大器运算放大器+-)(ti功率放大器功率放大器电动机电动机齿轮比齿轮比)(toOKTK)(mmsTsK11:n)1 ()(mmTOsTsKKnKsG 开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数mTOmmTOKKnKssTKKnKs21)(把主反馈通道断开，得到的传递函数把主反馈通道断开，得到的传递函数2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节1. 1. 相似系统相似系统（2 2）RLC 网络微分

4、方程网络微分方程1122RCsLCssUsUsio)()()(系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数RsLsC1)(sUi)(sUo结构完全不同，但运动方程类似，此类具有形结构完全不同，但运动方程类似，此类具有形式相同传递函数的系统称为相似系统。式相同传递函数的系统称为相似系统。 mTOmmTOKKnKssTKKnKs21)(2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节1. 1. 相似系统相似系统2222)(nnnsss （3 3）二阶系统的标准方程）二阶系统的标准方程系统自然谐振角频率，也称固有频率系统自然谐振角频率，也称固有频率 n系统相对阻尼系数系统相对阻尼系数 mmTOnTKKn

5、KmTOKKnK21 LCn1LCR2 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节2. 2. 典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换sAtAUtr)()(2sAtAtUtr)()(322sAtUAttr)()(1nnsntUt!)( sesAtUtUAtr 1 )()()( 20200sttr)sin()(2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节3. 3. 典型环节典型环节 放大环节（比例环节）放大环节（比例环节）K)(txi)(txo时域关系时域关系)( )(txKtxio传递函数传递函数 )(KsG 物理系统中的杠杆（无弹性变形）物理系统中的杠杆（无弹性变形）运

6、算放大器运算放大器测速发电机电压和转速的关系测速发电机电压和转速的关系2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节时域关系时域关系)( )()(txtxtxTioo直流电机的励磁回路，交流放大器直流电机的励磁回路，交流放大器 惯性环节（非周期惯性环节（非周期环节环节）)(txi)(txosT11传递函数传递函数sTsG 11)(T 为惯性时常数为惯性时常数假设输入信号假设输入信号 ，试写出惯性环节输出，试写出惯性环节输出 。)()(tUtxi)(txo)( )(/tUeKtxTto12.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节时域关系时域关系dttxKtxio)( )(电动机以

7、转速电动机以转速 n ( r/min )为输入，齿轮减速比为为输入，齿轮减速比为 i : 1，以角位移以角位移为输出量；为输出量； 积分环节积分环节)(txi)(txosK传递函数传递函数sKsG )(运算放大器组成的积分器运算放大器组成的积分器dtint 60 2)(2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节时域关系时域关系)()()(txtxKtxiio 微分环节微分环节)(txi)(txosK1传递函数传递函数 sKsG 1)( 为微分时常数为微分时常数RsRCsCRsCRsUsIsGio 111)()()(RsC1)(sUi)(sIoi1i2RsRCCsRsUsIRtUtUC

8、tititiio1121)()(/ )()( )()()(2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节时域关系时域关系)()()(2)(2tKxtxtxTtxTiooo 振荡环节振荡环节)(txi)(txo2221sTTsK 传递函数传递函数)( 21)(22nTsTTsKsG 10 1 1 122, 1Ts“+ +”为稳定的振荡环节为稳定的振荡环节图为振荡环节的三种工作状态图为振荡环节的三种工作状态2.3.1 2.3.1 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件1. 1. 比较元件比较元件误差敏感元件误差敏感元件作用作用将控制系统的输出量和输入量相比较，从中鉴别将控制系统的输出量和输入量

9、相比较，从中鉴别出它们之间的差量，即偏差出它们之间的差量，即偏差(t)，并输出一个与该，并输出一个与该偏差成比例的偏差成比例的电信号电信号，可以是交流也可以是直流。，可以是交流也可以是直流。框图框图输入量输入量放大器放大器输出量输出量反馈反馈)(t)(tUsK要求要求灵敏度高，精确度高，死区要小（线性范围大），惯性灵敏度高，精确度高，死区要小（线性范围大），惯性小，动态范围大等。所以一般由小，动态范围大等。所以一般由敏感元件（传感器）和敏感元件（传感器）和电子线路组成电子线路组成。2.3.1 2.3.1 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件2. 2. 传感器传感器（1 1）角度传感器）角度传感

10、器常见的有常见的有电位器，自整角机，旋转变压器电位器，自整角机，旋转变压器等等 电位器组，一般用于闭环控制电位器组，一般用于闭环控制( (Page 2) )灵敏度灵敏度maxEKs 单个电位器，一般用于开环控制单个电位器，一般用于开环控制)()(tKtes11)()(tKtes22)()()(ttKtUs21)()()()(21sssEsG sKssEsG )()()(为工作的最大转角为工作的最大转角max2.3.1 2.3.1 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件2. 2. 传感器传感器（2 2）速度传感器）速度传感器)()(tKtKeTTT 直流测速发电机直流测速发电机fETe输出电压和转

11、速的关系为线性输出电压和转速的关系为线性温度变化对输出特性的影响要小温度变化对输出特性的影响要小输出特性的斜率要大输出特性的斜率要大输出电压的纹波要小输出电压的纹波要小（3 3）温度、照度、湿度和压力敏感元件）温度、照度、湿度和压力敏感元件2.3.2 2.3.2 执行元件执行元件将前级送来的控制信号（通常是电信号）转换为机械将前级送来的控制信号（通常是电信号）转换为机械转矩，用以拖动负载跟随系统的输入轴一同运动。转矩，用以拖动负载跟随系统的输入轴一同运动。激磁控制（磁场控制）激磁控制（磁场控制）电枢控制（转子控制）电枢控制（转子控制）调速范围宽，惯性小，响应速度快。调速范围宽，惯性小，响应速度

12、快。 他励式直流伺服电动机他励式直流伺服电动机二相异步交流伺服电动机二相异步交流伺服电动机力矩电动机力矩电动机步进电动机步进电动机他励式直流他励式直流伺服电动机伺服电动机控制方式控制方式小功率随动系小功率随动系统中一般采用统中一般采用电动机作为执电动机作为执行元件行元件 2.3.2 2.3.2 执行元件执行元件电枢控制下传递函数电枢控制下传递函数 Page 14他励式伺服电动机他励式伺服电动机（1 1）转速输出控制）转速输出控制aiaUaRaLaEmmJfuaRaLaEmJ电枢电阻和炭刷接触电阻电枢电阻和炭刷接触电阻电枢电感电枢电感电动机的反电势电动机的反电势电枢的转动惯量电枢的转动惯量2.3

13、.2 2.3.2 执行元件执行元件他励式伺服电动机他励式伺服电动机（1 1）转速输出控制）转速输出控制aaaaaaEiLRiU 由原理图可得由原理图可得Ea 与电动机的转速成正比与电动机的转速成正比meaCE 电动机的输出转矩电动机的输出转矩 MmammiCM mmmJM 转矩转矩 Mm与转动惯量与转动惯量JmmmmmmaCJCMi 由由得得amemmmammmaUCCJRCJL 得微分方程：得微分方程：aiaUaRaLaEmmJfu2.3.2 2.3.2 执行元件执行元件他励式伺服电动机他励式伺服电动机Tm 电动机机械时常数，电动机机械时常数，F摩擦系数摩擦系数FJCCJRTmemmam a

14、memmmammmaUCCJRCJL ammmmmemUKTTT 整理得：整理得：aaeRLT Te 电动机电磁时常数电动机电磁时常数emCK1 Km 电动机传递系数电动机传递系数2.3.2 2.3.2 执行元件执行元件他励式伺服电动机他励式伺服电动机 LA很小，简化得很小，简化得ammmmmemUKTTT ammmmUKT mmsTKsG 1)(假设输入信号假设输入信号)()(tUtUa mmmamTsKsKsGsUs/1)()()( )( 1)(/tUeKtmTtmm 2.3.2 2.3.2 执行元件执行元件电枢控制下的传递函数电枢控制下的传递函数他励式伺服电动机他励式伺服电动机（1 1）

15、转速输出控制）转速输出控制mmsTKsG 1)(ammmmUKT （2 2）转角输出控制）转角输出控制 mmsTsKsG 1)(ammmmUKT 2.3.3 2.3.3 放大元件放大元件小功率放大小功率放大晶体管放大器，这类放大晶体管放大器，这类放大器一般采用集成电路构成器一般采用集成电路构成中、大功率放大中、大功率放大可控硅，磁放大器（交、直流控制系统）可控硅，磁放大器（交、直流控制系统）放大电机（直流控制系统）放大电机（直流控制系统）传递函数都可以看成是一个比例环节传递函数都可以看成是一个比例环节 2.3.4 2.3.4 变换元件变换元件将前级信号变换成后级部分所需的信号，如前级将前级信号

16、变换成后级部分所需的信号，如前级比较元件得出的偏差信号为交流，但后级执行元比较元件得出的偏差信号为交流，但后级执行元件却需要直流控制的情况。件却需要直流控制的情况。1 1）线性工作范围宽）线性工作范围宽2 2）剩余电压小）剩余电压小3 3）交流变换直流，输出电压波纹小，零点要稳定；直）交流变换直流，输出电压波纹小，零点要稳定；直 流转换交流，输出交流的谐波分量小，相位稳定。流转换交流，输出交流的谐波分量小，相位稳定。4 4）时常数越小越好。）时常数越小越好。交流变换直流交流变换直流相敏检波器（解调器）相敏检波器（解调器）直流变换交流直流变换交流极性调制器（斩波器）极性调制器（斩波器）传递函数都

17、可传递函数都可以看成是一个以看成是一个惯性环节惯性环节 2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换1. 1. 动态结构图组成动态结构图组成(1) (1) 信号线：信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。(2) (2) 引出点：引出点：信号引出或测量的位置。信号引出或测量的位置。从同一信号线上引出的信从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全号，数值和性质完全相同。相同。2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换1. 1. 动态结构图组成动态结构图组成(3) (3) 综合点：综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，对两个或两个

18、以上的信号进行代数运算， “”表示相加，常省略，表示相加，常省略，“”表示相减。表示相减。(4) (4) 方框：方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函 数数 ，两侧为输入、输出信号线。，两侧为输入、输出信号线。+)(sE)(sE2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2. 2. 动态结构图动态结构图建立建立建立如图所示双建立如图所示双T T网络的动态结构图网络的动态结构图(1) (1) 建立各元件微分方程建立各元件微分方程2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2. 2. 动态结构图动态结构图建立建立(1) (1)

19、 建立各元件微分方程建立各元件微分方程(2) (2) 微分方程微分方程进行拉氏变换，进行拉氏变换，并改写并改写成以下相乘形式成以下相乘形式2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2. 2. 动态结构图动态结构图建立建立(3)(3) 按照按照变量的传递顺序，依次将变量的传递顺序，依次将各元件各元件的结构图连接起来的结构图连接起来2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换3. 3. 典型连接及等效变换典型连接及等效变换(1) (1) 级级联及等效联及等效2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换3. 3. 典型连接及等效变换典型连接及等效变换(2) (2

20、) 并联及等效并联及等效+2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换3. 3. 典型连接及等效变换典型连接及等效变换(3) (3) 反馈及等效反馈及等效+-2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则(1) (1) 引出点前移及后移引出点前移及后移2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则(2) (2) 综合点前移及后移综合点前移及后移2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则(3) (3) 相邻综合点移动相邻综合点移动相邻综合点之间

21、可以随意调换位置相邻综合点之间可以随意调换位置 注意：相邻引出点和综合注意：相邻引出点和综合点之间不能互换点之间不能互换! !！2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。2.4 2.4 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换4. 4. 等效移动规则等效移动规则例：试简化系统结构图，并求系统传递函

22、数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。1212121( )1Gs GsC sR sGsGsGs Gs Hs( )( )( )( )( )( )( )( )2.5 2.5 传递函数传递函数1. 1. 传递函数的求取方法传递函数的求取方法原理图原理图微分方程微分方程结构图（方框图）结构图（方框图）信号流图信号流图频率特性曲线频率特性曲线波特图波特图时域响应曲线（响应解析式）时域响应曲线（响应解析式）2.5 2.5 传递函数传递函数2. 2. 闭环传递函数传递函数（1） 输入作用下系统的闭环传递函数，扰动为输入作用下系统的闭环传递函数，扰动为0)()()(sRsCs )()()(1)()(21

23、21sHsGsGsGsG +-)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sC)(sH)(sN+)(sB2.5 2.5 传递函数传递函数2. 2. 闭环传递函数传递函数（2） 扰动作用下系统的闭环传递函数，输入为扰动作用下系统的闭环传递函数，输入为0)()()(sNsCsN )()()(1)(212sHsGsGsG +-)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sC)(sH)(sN+)(sB2.5 2.5 传递函数传递函数采用叠加原理，系统的总输出为采用叠加原理，系统的总输出为)()()(sNsCsN )()()(1)(212sHsGsGsG )()()(sRsCs )()()(1)()(2121s

24、HsGsGsGsG )(sC)()()(1)()()(2121sHsGsGsRsGsG )()()(1)()(212sHsGsGsNsG )()(sCsCNR 2.5 2.5 传递函数传递函数 )(sC)()()(1)()()(2121sHsGsGsRsGsG )()()(1)()(212sHsGsGsNsG 1)()()(21 sHsGsG若 )( sC)()(sHsR 1)()(1 sHsG若)()()(sHsRsCR 0)()()()(1 sHsGsNsCN单位反馈时，输出由输入决定，具备单位反馈时，输出由输入决定，具备抗扰动能力，满足输出能复现输入。抗扰动能力，满足输出能复现输入。2.5 2.5 传递函数传递函数2. 2. 闭环传递函数传递函数（3） 闭环系统误差传递函数闭环系统误差传递函数)()()(sRsEse )()()(1121sHsGsG +-)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sC)(sH)(sN