第二章连续时间系统时域分析

1、第第二二章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析2.1 引言引言2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解2.3 起始点的跳变起始点的跳变从从0- 到到0+ 状态的转换状态的转换2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应2.6 卷积卷积2.7 卷积的性质卷积的性质2.8 用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程2.9 以以“分配函数分配函数”的概念认识冲激函数的概念认识冲激函数（t）2.1 引言引言系统数学模型的时域表示系统数学模型的时域表示 时域分析方法时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、不涉及任何变

2、换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。习各种变换域方法的基础。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 : :NN本章中我们主要讨论输入、输出描述法。本章中我们主要讨论输入、输出描述法。2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解主要内容主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微

3、分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数线性常系数微分方程微分方程来描述。来描述。输入输入激励激励输出输出响应响应对于线性时不变系统，在时间域通常使用对于线性时不变系统，在时间域通常使用线性常系数微分方线性常系数微分方程程来表示输入输出之间的关系。来表示输入输出之间的关系。一、一、 物理系统的数学模型物理系统的数学模型二微分方程的建立二微分方程的建立根据实际系统的物理特性建立系统的微分方程。根据实际系统的物理特性建立系统的微分方程。

4、对于电路系统，主要是按照元件的约束特性及系统结构的约对于电路系统，主要是按照元件的约束特性及系统结构的约束特性网络拓扑约束来建立对应的微分方程。束特性网络拓扑约束来建立对应的微分方程。 元件的约束特性：表征元件特性的关系式。例如二端元件元件的约束特性：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等。电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL（基尔霍夫电流定律），（基尔霍夫电流定律），KVL （基尔霍夫电压定律）（基尔霍夫电压定律） 。例例2-2-1电感电感电阻电阻

5、tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd根据根据KCL titititiCLRS代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22这是一个代表这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求求RLC并联电路的端电压并联电路的端电压 与激励源与激励源 间的关系。间的关系。 tv tis ( )Lditv tLdt解：解： tisRRiLLiCciab tv弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加，外加牵引力为牵引力为 ，其外

6、加牵引力，其外加牵引力 与刚体运动速度与刚体运动速度 间的间的关系可以根据达朗贝尔定律推导出为关系可以根据达朗贝尔定律推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材教材P43-44 两个不同性质的系统具有相同的数学模型两个不同性质的系统具有相同的数学模型（二阶微分方（二阶微分方程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。系统，则可以用高阶微分方程表示。 例例2-2-2kmsFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，的刚体一端由弹簧牵

7、引， tv tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22三三n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关系，之间的关系，可以用下列形式的高阶微分方程式来描述可以用下列形式的高阶微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常

8、微分方程。四求解系统微分方程的经典法四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：建立方程，求解方程建立方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束建建立立方方程程: ,:求解方程时域经典法就是：求解方程时域经典法就是：齐次解齐次解+特解特解。 解系统微分方程，也就是在已知输入激励的条件下求系统的响解系统微分方程，也就是在已知输入激励的条件下求系统的响应应r(t)。齐次解：齐次解：由特征

9、方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式nktkkA1e注意重根情况处理方法注意重根情况处理方法。（例。（例2-2-3）特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解 函数式函数式代入原方程，比较系数定出特解。代入原方程，比较系数定出特解。 （例（例2-2-4）经典法经典法全全 解：齐次解解：齐次解+特解，特解，由初始条件定出齐次解由初始条件定出齐次解 。 kA例例2-2-3 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为012167

10、23 03223 , 221二二重重根根 tthAAtAtr33221ee特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为解：解：例例2-2-4 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此方程的特分别求两种情况下此方程的特解。解。 tettetrttrttrdd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette给定微分方程式给定微分方程式 3221pBtBtBtr为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBBttBBBtBBt

11、B2322 34323212121解：解：等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321BBB所以，特解为所以，特解为 271092312ptttr 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee , ,etttttBBBeee3e2e31B。于于是是，特特解解为为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解将将求求出出的的齐齐次次解解trtrph 由由初初始始条条件件确确定定ip1ieAt

12、rAtrniti(2)几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数K)(常常数数Apt1121ppppBtBtBtBtBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121KtBtAte(特征根特征根s )tBte(特征根特征根s=)te 我们一般将我们一般将激励信号加入的时刻激励信号加入的时刻定义为定义为t=0 ，将，将响应响应定义为定义为 时对应微分方程的解，时对应微分方程的解，初始条件初始条件定义为定义为

13、 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr 初始条件的确定初始条件的确定是重点要解决的问题。是重点要解决的问题。下一节将给出解微分方程的例题下一节将给出解微分方程的例题2.3 起始点的跳变起始点的跳变从从0- 到到0+ 状态的转换状态的转换起始状态起始状态初始状态初始状态起始点的跳变起始点的跳变响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间 一般在一般在t=0时刻加入，响应区间为时刻加入，响应区间为t0状状态态起起始始状状态态0O 0 0t 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr导出的起始状态导出的

14、起始状态状态、状态、初始条件初始条件 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有没有跳变状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。及其各阶导数项。 00 t说明说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的发生突变。这就是在电路分析中的换路定则换路定则：.00 ,00LLCCiivv对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中

15、储能元件状态就是系统中储能元件的的储能情况储能情况; ;0但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫作用于强迫作用于电感，电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 00 到到例例2-3-1 时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R根据电路形式，列回路方程根据电路形式

16、，列回路方程 tetvtiRC1 2ddRtititLtvLLC列结点电流方程列结点电流方程 titvtCtiLCdd , tvC先消去变量先消去变量 , 把把电电路路参参数数代代入入整整理理得得再再消消去去变变量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222(1)（1）建立电路的微分方程）建立电路的微分方程21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R解：解：(2)求系统的完全响应求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程01072052 即即特征根特征根5 , 221齐次解齐次解 0 ee5221tAAtitth V

17、4 0 tet时时由由于于代入式代入式(1) , , 44pBti因因此此令令特特解解4410B581016B方程右端自由项为方程右端自由项为要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 2512128ee 05tti tAAtA A下求特解特解 tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222(3)00itidd和和确确定定换换路路后后的的A5420021RRiiL00dditV56V23540Cv换路前换路前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R1116000411455CievRAA11100111 144 01002 0

18、0A/5s115CLietRvtitetiCRdddddddd因而有因而有:00 itidd和和换换路路后后的的由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R( )( ( )( )( )11)(CCLttCCdvtitCditi ttdti tdvCttC(4) 时时的的完完全全响响应应在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为1523421AA 0 581523452tAeet

19、itt 0 58ee5221tAAtitt 当系统已经用微分方程表示时，系统的当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到状态到0+状态状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各及其各阶导数。如果包含有阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的及其各阶导数，说明相应的0-到到0+状态发生了跳变，即状态发生了跳变，即r(0+) r(0-)或或r(0+) r(0-)等等。这时等等。这时为确定为确定r(0+) 、r(0+) 等等0+状态值，可以用状态值，可以用冲激函数匹配法冲激函数匹配法。 冲激函数匹配法的原理是冲激函数匹配法的原理是根

20、据根据t=0时刻微分方程左右两时刻微分方程左右两端的端的(t)及其各阶导数应该平衡相等及其各阶导数应该平衡相等。例例2-3-2如果描述系统的微分方程为如果描述系统的微分方程为给定给定0-状态起始值为状态起始值为r(0-) ，确定它的，确定它的0+状态状态r(0+)。)(3)(3)(ttrtrdtd解：解：方程右端存在方程右端存在 ，因而有，因而有 必定含有必定含有由此推出由此推出而方程右端不含而方程右端不含因此因此 除含有除含有 以外，还必须包含以外，还必须包含以平衡以平衡由于由于 t)(trdtd t3）（含有含有t3)(tr t)(trdtd t3 t9）项项（产产生生的的t9)(3tr）

21、存存在在（时时刻刻有有在在），得得出出（含含有有tu90t)(t9)(trtrdtd)0(9)0(9)0()0(00)(rrrrtu即即因因而而有有：相相对对单单位位跳跳变变函函数数到到表表示示解题思路解题思路数学方法描述数学方法描述)0(9)0( 9)0()0( 00)()(9)(3)(2793 03033)(3)()(3)()()()()()( )()()()()()()(3)(3)(rrbrrtututtrcbabcabattubtatuctbtatubtatrtuctbtatrdtdtrdtdtttrtrdtd或或因因此此相相对对单单位位跳跳变变函函数数到到表表示示解解得得得得出出有有

22、将将上上面面两两式式代代入入方方程程式式积积分分得得，因因而而可可以以设设，其其一一定定属属于于，方方程程右右端端含含由由的积分为零的积分为零)()()()(tutuKttudtd例例2-3-3 （即例（即例 2-3-1）（1）将）将e(t)代入，得代入，得时的微分方程为时的微分方程为 trtrttrt10dd7dd22 tutt8122解：解： te24Ot（一般式）（一般式）2)(2)(1 2)(4)(2)(4)(tututututute)(2)(02)0()0(2420)(tutetrrtte时时，有有故故即即相相对对跳跳变变为为处处有有跳跳变变在在。和和用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配

23、法求和和如图，已知如图，已知输入输入的微分方程为的微分方程为描述描述0dd0, 00dd540 )(LTIrtrrtrte tetettettrtrttrt4dd6dd10dd7dd2222(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有，因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrtdddd22)00( t trtrttrt10dd7dd22 tutt8122代入微分方程代入微分方程 tuatubtatuctbta107 tutt8122的积分为零的积分为零)()()()(tutuKttudtd81071272abcaba求得求得20dd0dd20dd

24、0dd2002222crtrtbrtrtarr状状态态为为要要求求的的0因而有因而有20dd20dd514542020rtrtrr经典法不足之处经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 *另一种方法是卷积法（将在另一种方法是卷积法（将在2.6节讨论）节讨论）系统完全响应系统完全

25、响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应卷积法卷积法2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应先看一个实例先看一个实例例例2-4-1 已知电容两端起已知电容两端起始电压始电压vc(0-)，激励源为，激励源为e(t),求求t0时的系统响应时的系统响应vc(t)。微分方程为微分方程为vc(0-)-R+-+-vc(t)e(t)( )i t解：解：KVLteRCtvRCtvdtdcc11 cRdCdtvt vtc e t( )i t teRCtvRCtvdtdcc11RCte将将上上列列方方程程两两端端乘乘以以 teeRCtveRCtvdtdeRCtRCtRCtcc11 teeRCt

26、vedtdRCtRCtc1或或写写作作 deeRCdveddtctRCRC001两边求积分：两边求积分： dteeRCvtvetccRCRCt010 deeRCvetvtcctRCRCt0110系统的完全响应可以看作由系统的完全响应可以看作由外加激励源外加激励源和和起始状态起始状态共同作用共同作用的结果。的结果。系统的完全响应系统的完全响应 = 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应 一般情况，设系统是一般情况，设系统是线性时不变线性时不变的，含起始状态系统方框图为：的，含起始状态系统方框图为：He(t)x(0-)r(t)= He(t)+ Hx(0-)零输入响应零输入响应rzi(t)：

27、Hx(0-)没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统电容、没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统电容、电感储能）所产生的响应。电感储能）所产生的响应。 零状态响应零状态响应rzs(t)：He(t) 不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零 ），），由系统的外加激励信号产生的响应。由系统的外加激励信号产生的响应。 （H 表示系统作用的结果）表示系统作用的结果）零输入响应零输入响应满足方程满足方程 确定。确定。可以由可以由中的常数中的常数，所以，所以即即发生变化，发生变化，因而系统的状态不会，因而系统的状态不会由于没有外界激励作

28、用由于没有外界激励作用零输入响应零输入响应部分自由响应）部分自由响应）次解中的一部分次解中的一部分可见，零输入响应是齐可见，零输入响应是齐及起始状态及起始状态0 0 0 (1, 2 , 1 , 0 0 0111110kzikzikktnkzikzikzinzinzinnzinnrAtrrreAtrnkrtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCk满足方程满足方程 1, 2 , 1 , 0 00 1111011110nkrteEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCkmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及及起起始始状状态态 tBeAtrnktzskzs

29、k1 零状态响应零状态响应 构构成成。强强迫迫响响应应自自由由响响应应的的一一部部分分和和信信号号作作用用下下，其其响响应应由由可可见见零零状状态态响响应应在在激激励励确确定定由由是是特特解解其其中中：tBrAtBkzsk0 , 零状态响应零状态响应 tBeAeAtBeAtrnktzsktnkziknktkkkk111自由响应自由响应齐次解齐次解强迫响应强迫响应 特解特解零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应完全响应完全响应例例2-4-2)()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt)()2sin(2e )(2)()(3zszi2tuttrtrtrt解：解：)()()(0z

30、szi3ttrtrtr)()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt)(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5 . 0e3233解得解得)(e3)(3zitutrt)()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 .0e5 .53例例2-4-3时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC

31、tiLH41 L 232R把把t0时的零输入响应和零时的零输入响应和零状态响应。状态响应。Avc540i , v560L起始储能：起始储能：1、零输入响应、零输入响应t 0电路：电路：+-e(t)R1CL+-vc(0- )iL(0- )R2i(t)解：解：R1=1C=1FL=1/4H+-vc(0- )=6/5ViL(0- )=4/5AR2=3/2 i(t)满足微分方程：满足微分方程： 010722titidtdtidtdzizizit 0零输入等效电路：零输入等效电路：R1=1+-vc(0- )=6/5ViL(0- )=4/5AR2=3/2 izi(0+)iL(0+)作出作出t = 0+时刻的

32、等效电路时刻的等效电路求得：求得：AvRiczi560101000001LzizicciiiRdtdCvdtdCisAiiCRidtdLzizi/20010 1所以所以 0t 5221tzitzizieAeAtiAizi560零输入响应的形式：零输入响应的形式：sAidtdzi/20 和和将将代入求出常数代入求出常数 152 3421ziziAA 0t)A 15234(52ttzieeti要求的零输入响应：要求的零输入响应：2. 零状态响应零状态响应+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2izs(t)R1=1等效电路：等效电路： tuteidtditetedtdtedtdtit

33、idtdtidtdzszszszszs4 000461072222和和及起始状态及起始状态微分方程：微分方程：由例由例2-3-1 可求得可求得 0t 58 5221tzstzszseAeAti零状态响应零状态响应00 zszsidtdi和和确定确定 162444622tttetedtdtedtd把把e ( t )=4 u( t )代入方程右端得自由项代入方程右端得自由项利用冲激函数匹配法：利用冲激函数匹配法： 0t0 -22tuatitubtatidtdtuctbtatidtdzszszs代入原方程：代入原方程： tutttuatubtatuctbta16244107444 161072474

34、cbaabcaba解解得得得得4040 400400zszszszszszsidtdibidtdidtdaii 58 5221tzstzszseAeAti代代入入求得求得1543821zszsAA 0 5815438 52tAeetittzs系统的零状态响应系统的零状态响应3. 完全响应完全响应 5815234 52tteeti 581543815234 5252tttteeee零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应 5815234 52ttee瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应t时保留下来的时保留下来的那部分分量那部分分量 自由响应自由响应 齐次解齐次解强迫响应强迫响应 特解特解He(t)x

35、(0-)r(t)= He(t)+ Hx(0-) 对外加激励信号对外加激励信号e(t)和它对应的响应和它对应的响应rzs(t)=He(t)的关系而言，的关系而言，若系统的起始状态为零，若系统的起始状态为零，xi(0-) =0，则零输入响应为零，那么，则零输入响应为零，那么用常系数微分方程描述的系统是线性的和时不变的用常系数微分方程描述的系统是线性的和时不变的。如果起始如果起始状态状态xi(0-) 0，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外加激励对外加激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而而是

36、非线性时变系统是非线性时变系统。同时由于零输入分量存在，使响应的变。同时由于零输入分量存在，使响应的变化不可能只发生在激励变化之后，因而系统化不可能只发生在激励变化之后，因而系统也是非因果的也是非因果的。这。这样可以说样可以说用常系数微分方程描述的系统只有在起始状态为零的用常系数微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。 如果如果将起始状态也看成是一种激励将起始状态也看成是一种激励，如电压源，如电压源vC(0-)和电流和电流源源iL (0-)，则对零输入响应，则对零输入响应rzi(t)而言也而言也满足叠加性和均匀

37、性满足叠加性和均匀性，因，因而可以而可以把常系数微分方程描述的系统的线性加以扩展把常系数微分方程描述的系统的线性加以扩展：（1）响应的可分解性：）响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。状态响应。（2）零状态线性：）零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应当起始状态为零时，系统的零状态响应rzs(t)对于外加激励信号对于外加激励信号e(t)呈现线性，称为零状态线性。呈现线性，称为零状态线性。（3）零输入线性：）零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应当外加激励为零时，系统的零输入响应rzi(t)对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线

38、性。对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。始始状状态态和和激激励励信信号号决决定定要要同同时时由由起起，而而自自由由响响应应的的仅仅由由起起始始储储能能情情况况决决定定零零输输入入响响应应的的然然而而它它们们的的系系数数不不同同。都都满满足足齐齐次次方方程程之之解解，自自由由响响应应和和零零输输入入响响应应kzikAA) 1 (系系统统自自身身参参数数有有关关。励励信信号号决决定定，二二者者都都与与定定，另另一一部部分分由由激激，一一部部分分由由起起始始状状态态决决自自由由响响应应由由两两部部分分组组成成)2(决决定定。励励信信号号和和系系统统参参数数共共同同响响应应可可以以不不为为零零，

39、由由激激应应为为零零，但但自自由由条条件件为为零零，则则零零输输入入响响若若系系统统起起始始无无储储能能，即即0)3(。出出现现在在零零状状态态响响应应之之中中发发生生跳跳变变只只可可能能时时刻刻不不跳跳变变。此此时时刻刻若若时时刻刻到到零零输输入入响响应应由由00)4(之之关关系系仍仍为为线线性性。与与，但但是是增增量量不不满满足足叠叠加加性性和和齐齐次次性性而而对对于于满满足足线线性性关关系系；如如合合叠叠加加性性和和齐齐次次性性。，输输入入输输出出之之增增量量符符之之差差的的线线性性函函数数。也也即即响响应应之之差差是是两两激激励励任任意意两两个个激激励励信信号号产产生生增增量量线线性性

40、系系统统的的概概念念)()()()()()(:)5(tetrbtaetrtaetr注意注意2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一定义一定义1冲激响应冲激响应h(t) 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 )(t2阶跃响应阶跃响应g(t)系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号 激励下产生的零状态响应，称为单位激励下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。表示。 )(tu3h(t)与与g(

41、t)的关系的关系冲激信号冲激信号 与单位阶跃信号与单位阶跃信号 之间存在微分与积分关系，因之间存在微分与积分关系，因而对于而对于LTI系统，系统，h(t)与与g(t) 间也同样存在微分积分关系，即间也同样存在微分积分关系，即)(tu)(ttdhtgtgdtdth)()()()( 由于系统冲激响应由于系统冲激响应h(t)要求系统在零状态条件下，且输入要求系统在零状态条件下，且输入激励为单位冲激信号激励为单位冲激信号(t)，因而冲激响应，因而冲激响应h(t)仅取决于系统的仅取决于系统的内部结构及其元件参数。也就是说，不同结构和元件参数的内部结构及其元件参数。也就是说，不同结构和元件参数的系统，将具

42、有不同的冲激响应。因此，系统，将具有不同的冲激响应。因此，系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)可可以表征系统本身的特性以表征系统本身的特性。换句话说，。换句话说，不同的系统就会有不同不同的系统就会有不同的冲激响应的冲激响应h(t)。二二h(t)表示系统特性表示系统特性任意信号都可以用冲激信号的组合来表示：任意信号都可以用冲激信号的组合来表示：dtete)()()(若将若将e(t)作用到作用到冲激响应为冲激响应为h(t)的的线性时不变系统线性时不变系统，则系统的响，则系统的响应为：应为： )(*)()()()()()()()()(thtedthedtHedteHteHtr 由于由于h(t)是在零

43、状态下定义的，因而上式表示的响应是系统的零是在零状态下定义的，因而上式表示的响应是系统的零状态响应状态响应rzs(t)。（卷积积分的计算及性质将在。（卷积积分的计算及性质将在2.6、2.7节介绍）节介绍）卷积卷积（H 表示系统作用的结果）表示系统作用的结果）系统的时域、频域系统的时域、频域 、 S域模型域模型( )( )( )r th te t( )( ) ( )RHE( )( ) ( )R sH s E s冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H() 、H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。面表征了同一系统的本性。( )( )( )( )( ) ( )r

44、 te th tRHE( )( )( )( )( ) ( )r te th tR sH s E s响应及其响应及其各阶导数各阶导数(最高阶最高阶为为n次次)三三. 冲激响应求解冲激响应求解(1)冲激响应的数学模型冲激响应的数学模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶常系数微分方程表示可以用一高阶常系数微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnn

45、n激励及其各阶导数激励及其各阶导数(最高阶为最高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)（式一）（式一）起始状态起始状态) 1,.,2 , 1 , 0(0)()0()(nkthdtdhkkk(2) h(t) 解的形式解的形式)(e)(1tuAthnktkk 由于由于（t）及其各阶导数在）及其各阶导数在t0+时都为零，因而方程式右端时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。在式相同。在nm时，时， h(t)可以表示为可以表示为（式二）（式二）式中待定系数式中待定系数Ak (k=

46、1,2,n)可以采用可以采用冲激函数匹配法冲激函数匹配法确定，确定，即将即将式二式二代入代入式一式一中，为保持系统对应的动态方程式恒等，方中，为保持系统对应的动态方程式恒等，方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数必须相等，根据此规程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数必须相等，根据此规则即可求得系统的冲激响应则即可求得系统的冲激响应h(t)中的待定系数。当中的待定系数。当nm时时, 要使要使方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数相等，则方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数相等，则h(t) 表示表示式中还应含有式中还应含有(t)及其相应阶的导数及其相应阶的导数(m-n)(t), (m-n-1)(

47、t), (t)等等项。此时可设项。此时可设 nmdttdBtueAthkknmkktankkk01 冲激响应冲激响应h(t)中是否含有冲激信号中是否含有冲激信号(t)及其高阶导数，及其高阶导数，是通过观察动态方程右边的是通过观察动态方程右边的(t)的最高次与左边的最高次与左边h(t)的导数的导数最高次来决定。对于最高次来决定。对于h(t)中的含中的含u(t)项，其形式由特征方程项，其形式由特征方程的特征根来决定，其设定形式与零输入响应的设定方式相的特征根来决定，其设定形式与零输入响应的设定方式相同，即将特征根分为不等根、重根、共轭根等几种情况分同，即将特征根分为不等根、重根、共轭根等几种情况分

48、别设定。别设定。例例2-5-1 设系统微分方程为设系统微分方程为求其求其冲激响应。冲激响应。（方法一）（方法一） tedttdetrdttdrdttrd56522解解:n=2m=1方程的特征根为方程的特征根为a1=-2,a2=-3,可以设可以设tueAeAthtt3221而而 tAAtueAeAdttdhtt21322132 tAAtAAtueAeAdtthdtt21213221223294方程右端为方程右端为 tt5将上述结果代入后对比可得将上述结果代入后对比可得52321AA121 AA最后解出最后解出A1=3，A2=-2冲激响应为冲激响应为 tueethtt3223 为了保证等式两边系数

49、相平衡，显然当为了保证等式两边系数相平衡，显然当m=n时，时，h(t)的表达式中应包含的表达式中应包含(t) 项；当项；当mn时时, h(t) 中还应包含中还应包含(t)的相应阶导数项。此时可设的相应阶导数项。此时可设 nmdttdBtueAthkknmkktankkk01(t)的筛选特性：的筛选特性：(t)f(t)=f(0) (t)无须求无须求h(0+)0hdtd和和例例2-5-2 对例对例2-3-1所示电路，求电流所示电路，求电流i(t)对激励对激励e(t)=(t)的冲激响的冲激响应。应。 （方法二）（方法二）解：解：)(4)(6)()(10d)(d7d)(d22tttthtthtth 冲

50、激响应冲激响应系统的微分方程系统的微分方程 )(4d)(d6)(dd)(10)(dd7)(dd2222tettetettitittit将将e(t) (t)，i(t)h(t) 0t 5221tteAeAth下面利用冲激函数匹配法求下面利用冲激函数匹配法求h(0+)0hdtd和和由于方程右端自由项由于方程右端自由项 (t)的最高阶导数为的最高阶导数为 (t)，所以，所以须求须求h(0+)0hdtd和和代入方程代入方程 )(4)(6)()(10)(7)(ttttubtatuctbtatudtctbta 111 4107671cbaabcaba解解得得得得1)0()0(1)0()0()(chdtdch

51、dtdbhbhtu的的含含义义，故故由由 0t0 )( )()( -22tubtathtuctbtathdtdtudtctbtathdtd设设的的相相对对单单位位跳跳变变到到表表示示对对应应项项00)(tu 0t 5221tteAeAth代代入入进一步求参数进一步求参数A1、A2)(3134)()()()(1 3134 152152212121tueetthtthaAAAAAAtt响响应应为为，因因而而得得出出要要求求的的冲冲激激中中有有一一项项，即即考考虑虑到到得得响应及其响应及其各阶导数各阶导数(最高阶最高阶为为n次次)四四. 阶跃响应求解阶跃响应求解(1)阶跃响应的数学模型阶跃响应的数学

52、模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶常系数微分方程表示可以用一高阶常系数微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tuEtuEtuEtuEtgCtgCtgCtgCmmmmnnnn激励及其各阶导数激励及其各阶导数(最高阶为最高阶为m次次)令令 e(t)=u(t) 则则 r(t)=g(t)（式一）（式一）起始状态起始状态) 1,.,2 , 1 , 0(0)()0()(nktgdtdgkkk(2)

53、 g(t) 解的形式解的形式)()e()(1tuBAtgnktkk 与冲激响应方程右端恒为零不同，阶跃响应方程右端的自与冲激响应方程右端恒为零不同，阶跃响应方程右端的自由项含有由项含有(t)及其各阶导数，同时还包含阶跃函数及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶，因而阶跃响应表示式中，除去含齐次解形式之外，还应含有特解项。跃响应表示式中，除去含齐次解形式之外，还应含有特解项。（式二）（式二）例例2-5-3 求电流求电流i(t)对激励对激励e(t)=u(t)的阶跃响应的阶跃响应g(t)(4d)(d6)(dd)(10)(dd7)(dd2222tettetettitittit阶跃响应阶跃响应

54、g(t)满足方程满足方程 000)(46)()(10)(dd7)(dd22ggtutttgtgttgt及及起起始始状状态态 0t B 525221tteAeAtg，故故可可设设阶阶跃跃响响应应和和特特征征根根为为求特解求特解B，对，对t0+代入方程代入方程10 B = 4 故故 B = 2/5解：解：B为常数，因为激励为阶跃信号，即为常数，因为激励为阶跃信号，即时，其为常数时，其为常数1，由，由P46表表2-2有，激励函有，激励函数为常数时，响应函数的特解也为常数。数为常数时，响应函数的特解也为常数。 0t利用冲激函数匹配法求常数利用冲激函数匹配法求常数A1、A2，由于方程右端自由项由于方程右

55、端自由项 (t)的最高的最高阶导数为阶导数为 (t)，所以，所以111 4107671cbaabcaba解解得得得得 100100 gdtdbgdtdgag因因而而有有15132 152152212121AAAAAA得得 tueetgtt5215132 52因因而而阶阶跃跃响响应应注意：该题也可以直接利用例注意：该题也可以直接利用例2-5-2的结果以及的结果以及h(t)与与g(t)的微、的微、积分的关系求得。积分的关系求得。 0t0 )()( -22tuatgtubtatgdtdtuctbtatgdtd设设的的相相对对单单位位跳跳变变到到表表示示对对应应项项00)(tu代入方程代入方程 )(4

56、)(6)(10)(7)(tutttuatubtatuctbta 0t 525221tteAeAtg代入代入一卷积（一卷积（Convolution）积积分分和和设设有有两两个个函函数数),()(21tftf d21 tfftftftftftftftf2121)(或或记记为为简简称称卷卷积积的的卷卷积积积积分分和和称称为为,)()(21tftf卷积积分的结果为另一个新的时间信号。卷积积分的结果为另一个新的时间信号。 信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示为其本身与单位脉冲函数的信号的脉冲分量分解之实质是将信号表示为其本身与单位脉冲函数的卷积，换句话说，即任意信号可以用冲激信号的组合表示。线性时不卷积

57、，换句话说，即任意信号可以用冲激信号的组合表示。线性时不变系统的零状态响应为：变系统的零状态响应为： d( )( )f tftf tt 2.卷积卷积)(*)()()()()()()()()(thtedthedtHedteHteHtrzs由上式知由上式知卷积的物理意义卷积的物理意义：卷积的原理就是将信号分解为冲激信号之：卷积的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。二卷积的计算二卷积的计算信号存在时间的局限性（如分段信号），卷积的积分限会有信号存在时间的局限性（如分段信号），卷积的积分限

58、会有所变化。卷积积分中所变化。卷积积分中积分限的确定积分限的确定是非常关键的。是非常关键的。(1)利用图解说明确定积分限利用图解说明确定积分限(2) 借助于阶跃函数借助于阶跃函数u(t)确定积分限确定积分限 d2121tfftftftf卷积的图解步骤卷积的图解步骤)()()()( . 12211ftfftft，积积分分变变量量改改为为改改为为变变量量代代换换，由由)()(. 321tff相相乘乘：d)(. )(. 421tff乘乘积积的的积积分分：tt)(t时时延延对对的的函函数数积积分分结结果果为为t 1222,ffff的图形不动，反褶为再移动)()()()( . 22222 tffftf时

59、时延延反反褶褶反反褶褶、移移位位 d2121tfftftftf方法一：利用图解确定积分限方法一：利用图解确定积分限例例2-6-1)30(2)(1011)(21tttftttfO 2f3 23O tf2233 tt t ttOt tf1111 O 1f111 tf2Ot323O 231 1浮动坐标浮动坐标浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离：移动的距离t =0 未移动未移动 f2(t- )t 0 右移右移 f2(t- )t 0 右移右移 f2(t- )O 1f111 t -13 tt tf2两波形没有重合处，二者乘积为两波形没有重合处，二者乘积

60、为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg0)(1)(0)(2)(12112时时有有非非零零值值而而，时时有有非非零零值值时时 tfffttft-1 t 1O 1f111 3tt tf2向右移向右移tf2d)()()(211tfftgtd211tt1422tt41242tt 时两波形有重合部分，积分开始不为时两波形有重合部分，积分开始不为0，积分下限，积分下限- -1，上限上限t ，t 为移动时间为移动时间;1t2)(1)(21ttff1 t 2O 1f111 3 tt tf2113tt即即1 t 2tttgd21)(111 t 2范围内两波形有重合部分，积分不为